等比数列的前n项和
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等差数列 等比数列 定义 n+1 n+1 通项公式an=a1+(m-1)d 1-1 an=aq a,=am+(n-md n- n 性质 m+n=r+s(m,n,r,S∈N) a ta =a +a nn H(a1+ S 2 nn S =n1 d n 2
等差数列 等比数列 定义 通项公式 性质 Sn 1 ( 1) n a a n d = + − 1 1 n- n a a q = n n 1 a a d + − = n 1 n a q a + = ( ) n m a a n m d = + − n m n m a a q − = * m n r s m n r s N + = + ( , , , ) m n r s a a a a + = + m n r s a a a a = 1 ( ) 2 n n n a a S + = 1 ( 1) 2 n n n S na d − = +
思考1:等比数列{an}中,q2,a2+a3+a4+a5+a6=10, atatatata 50 思考2:记S=a1+a2+a3+a4+a5,能用a1和a表示S吗? ∴S5=a1+a2+m3+a4+as 2S5=a2+a3+a4+a+ S=2S-S=a6-a1=a1(q-1) 探究:已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q 如何确定等比数列的前n项和S,?
思考1：等比数列{an }中，q=2，a2+a3+a4+a5+a6 =100， 则a1+a2+a3+a4+a5=_________ 50 ； 探究：已知等比数列{an }的首项为a1，公比为q， 如何确定等比数列的前n项和Sn？ 思考2：记S5=a1+a2+a3+a4+a5，能用a1和a6表示S5吗？ 5 1 2 3 4 5 5 2 3 4 5 6 2 S a a a a a S a a a a a = + + + + = + + + + 5 5 5 6 1 = − = − S S S a a 2 5 1 = − a q( 1)
等比数列的前n项和 设等比数列a1,a2,a3?…,an 它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an 即Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1q"2+a1q"-1……(1 (1)×q,得T Sn=aq+a1q2+…+a1q"2+a1q+a1gn…(2) (1)-(2)得(1-q)Sn=a1-a1q", q 由此得q≠l时,Sn= q错位相减法 显然,当q=时,Sn=na1
n qS = 2 2 1 1 1 1 1 1 (2) n n n a q a q a q a q a q − − + + + + + ( ) 1 1 (1) (2) 1 , n n − − = − 得 q S a a q 1 (1 ) 1 1 n n a q q S q − = − 由此得 时， S a a a a n n = + + + + 1 2 3 设等比数列 1 2 3 , , , , , n a a a a 它的前n项和是 2 2 1 1 1 1 1 1 (1) n n S a a q a q a q a q n − − 即 = + + + + + 1 1 n 显然，当q S na = = 时， (1)q，得 等比数列的前n项和 错位相减法
二、基础知识讲解 1、等比数列的前m项和公式 (q=1) (q≠1) q q 注意: 1、使用公式求和时,需注意对q=1和q≠1的情 况加以讨论; 2、推导公式的方法:错位相减法
1、使用公式求和时，需注意对 q=1 和 q≠1 的情 况加以讨论； 2、推导公式的方法：错位相减法。 注意： ( ) 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 n n na q S a q q q = = − − 二、基础知识讲解 1、等比数列的前n项和公式 1 1 n a a q q − = −
三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和: (1) (2) 34 (a≠0 24816 解:(1)∵依题意知a1 S = 2
例1、求下列等比数列前n项的和： 1 1 [1 ( ) ] 1 2 2 1 ( ) 1 2 1 2 n n Sn − = = − − 1 1 1 1 2 2 解：（） 依题意知a q = = , 三、例题分析 1 1 1 1 2 3 4 1 , , , , ; 2 , , , , ( 0) 2 4 8 16 （ ） （ ）a a a a a
三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和: (1) (2) 34 (a≠0 24816 解:(2)由题意可知a1=1,=a 当a≠1时,S a·(1-a") 1-a 当a=1时,S=na1=n
例1、求下列等比数列前n项的和： 1 1 1 1 2 3 4 1 , , , , ; 2 , , , , ( 0) 2 4 8 16 （ ） （ ）a a a a a 1 解：（2 1 ）由题意可知a q a = = , 三、例题分析 (1 ) 1 n n a a S a − = − 1 (1 ) 1 1 1 n n n a a a S a a S na n − = − = = = 当 时， 当 时
三、例题分析 例1、求下列等比数列前n项的和: (1) (2) 34 (a≠0 24816 随堂练习:求和(a-1)+(a2-2)+…(a"-n) 当a=0时,S n(1+n) 2 当a=时,=~(1+n)_n(1-m) 2 2 当a≠1且a≠0时,Sn a·(1-a")n(1+n) 2
例1、求下列等比数列前n项的和： 1 1 1 1 2 3 4 1 , , , , ; 2 , , , , ( 0) 2 4 8 16 （ ） （ ）a a a a a 三、例题分析 2 ( -1) ( - 2) ( - ) n 随堂练习:求和：a a a n + + (1 ) 0 2 (1 ) (1 ) 1 2 2 (1 ) (1 ) 1 0 1 2 n n n n n n a S n n n n a S n a a n n a a S a + = = − + − = = − = − + = − − 当 时， 当 时， 当 且 时
例题分析 例2、在等比数列{an中 (1)a1=27, 求S8 243 (2)a1=2,S3=14,求q和a3 5 (3)a1+a3=10,a2+a=,求S和4
例2、在等比数列{an }中 三、例题分析 1 3 4 6 5 4 5 (3) 10 4 a a a a S a + = + = ， ，求 和 1 3 3 (2) 2 14 a S q a = = ， ，求 和 1 9 8 1 1 27, , 243 （ ）a a S = = 求