23.等差数列
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、嶽列前n项和的意: 设数列[an}:a1 ●。●● ●。● 我们把a1+a2+a3+…+an叫做数列{an} 的前n项和,记作Sn
一、数列前n项和的意义: 设数列｛an｝： a1， a2 ， a3 ， … ， an ， … 我们把a1＋a2 ＋a3 ＋ … ＋an叫做数列｛an｝ 的前n项和，记作Sn
实例探究 高斯(17771855) 德国著名数学家。 1+2+3+.+98+99+100= 高斯10岁时曾很快算出这一结果,如何算的呢? ○
实例探究: 高斯(1777—1855） 德国著名数学家。 1+2+3+…+98+99+100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
思考:1+2+3+.+n=? 1+2+ +(n-1)+n n+(n-1)+∴+2 (n+1)+(n+1)+ +(n+1)+(n+1) n(n+ 1+2+3+…+n= 1) 一般地,我们称a1+a2+.+an为数列{an}的前n项和 常用Sn表示,即Sn=a1+a2+.+an 推广:其它等差数列是不是也可以用这个思路来 求前n项和呢?
思考：1+2+3+…+n=？ 1 + 2 + … + ( n-1) + n n + ( n-1) + … + 2 + 1 (n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1) ( 1) 1 2 3 2 n n n + + + + + = 推广：其它等差数列是不是也可以用这个思路来 求前n项和呢？ 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an }的前n项和， 常用Sn表示，即Sn =a1+a2+…+an
等差数列前n项和公式的推导: 对公差为d的等差数列{an},有 Sn=a1+a2+…+an Sn=aun+an1+…+a1 所以2Sn=(an1+a2+.+an)+(an+an1+…+a1) (a1+an)+(a2+an1)+.+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) n个 n(atan n(a,+a) 2
对公差为d的等差数列{an } ，有 Sn =a1+a2+…+an Sn =an+an-1+…+a1 所以2Sn=(a1+a2+…+an )+(an+an-1+…+a1 ) =(a1+an )+(a2+an-1 )+…+(an+a1 ) =(a1+an )+(a1+an )+…+(a1+an ) =n(a1+an ) 1 ( ) 2 n n n a a S + = n个 等差数列前n项和公式的推导：
等差数列的前n项和公式: n(a ta) 2 若把an=a1+(n-1)代入上式,则可得 n(n s=na,+ d 比较:两个公式的共同点是须知a和n, 不同点是前者还需知a,后者还需知d, 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式
等差数列的前n项和公式： 1 ( ) 2 n n n a a S + = 1 ( 1) 2 n n n S na d − = + 若把an =a1+(n-1)d代入上式，则可得 1 , , , n a n a d 比较：两个公式的共同点是须知 和 不同点是前者还需知 后者还需知 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式
例1、等差数列-10,-6,-2,…的前多少项的和为54 解:设该数列的前n项的和为54,则有 10n+ n(n-1) 4=54 整理得n26n-27=0 解得n=9或n=-3(舍去) 这个数列的前9项的和为54 练习:已知在等差数列{an}中 (1)an=4n-1,求S50;5050 (2)a1=12,a3=26,求S20;620 (3)a6+a9=8,求S14;56 思考:若知道a=10,你能求出前几项的和?
例1、等差数列-10，-6，-2，…的前多少项的和为54？ 解： 设该数列的前n项的和为54，则有 ( 1) 10 4 54 2 n n n − − + = 整理得 n 2 -6n-27=0 解得 n=9或n=-3（舍去） ∴这个数列的前9项的和为54 练习：已知在等差数列{an }中 （1）an=4n-1，求S50； （2）a1=12， a8=26 ，求S20； （3）a6+a9=8，求S14； 620 5050 56 思考：若知道a7=10，你能求出前几项的和？
等差数列的前n项和公式: S-n(a+an) 注意a1+an的变形 h=n1+=(2 1) 2 方程的思想
等差数列的前n项和公式： 1 ( ) 2 n n n a a S + = 1 ( 1) 2 n n n S na d − = + 注意a1+an的变形 方程的思想
例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310,前20项 的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前n项和的公式吗? 解:依题意知,S10=310,S2=120 将它们代入公式S=ma+mn=1)a 2 10a1+45=310 得 思考:对于等差数 20a1+190=1220列的相关a,n,dn,Sm 解得a1=4,d=6 已知几个量就可 4=4+6(n-1)=6n-2以确定其他量? nin S.=4n+ 6=3n2+n
例2、已知一个等差数列{an }的前10项的和是310，前20项 的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的通项公式 及前 n 项和的公式吗？ 解：依题意知，S10=310，S20=1220 1 ( 1) 2 n n n S na d − = + 10a1+45d=310 20a1+190d=1220 得 解得 a1=4，d=6 4 6( 1) 6 2 n = + − = − a n n 将它们代入公式 2 ( 1) 4 6 3 2 n n n S n n n − = + = + 思考：对于等差数 列的相关a1 ,an ,d,n,Sn , 已知几个量就可 以确定其他量？