三等差数的
复司回顾 1、前n项和公式 n 1+a 形式1:Sn 2 形式2:Sn=na1+ n(n-1) 2
一、复习回顾 1 ) 2 n n n a a S + = （ 1 1) 2 n n n S na d − = + （ 形式1: 形式2: 1、前n项和公式
复司回顾 2、在等差数列{an}中,如果已知五个元素a1 an,n,d,Sn中的任意三个,可以求出其余两个量 S=ng +n(n-1) +(n-1)d 结论:知三求二 解题思路一般是:建立方程(组)求解
2、在等差数列 {an } 中，如果已知五个元素a1 , an , n, d, Sn 中的任意三个, 可以求出其余两个量 . 1 1) 2 n n n S na d − = + （ a a n d n = + − 1 ( 1) 结论：知 三 求 二 解题思路一般是:建立方程(组)求解 一、复习回顾
例3、已知数列{an的前n项和为S=n2+1m,求该数列 的通项公式,这个数列是等差数列吗? 分析:∵Sn=a1+a2+…+a a1+a2+…+n1(m2) assM(n22 特别地,当n=1时,a=S1 n=1 故a 19 non-1 n≥2
分析：∵Sn =a1+a2+…+an， Sn-1 =a1+a2+…+an-1 (n≥2) ∴an =Sn -Sn-1 (n≥2) 特别地，当n=1时，a1 =S1 例3、已知数列{an }的前n项和为 ，求该数列 的通项公式，这个数列是等差数列吗？ 2 1 2 S n n n = + S1， n=1 Sn -Sn-1，n≥2 a 故 n = S1， n=1 Sn -Sn-1，n≥2 an = S1， n=1 Sn -Sn-1，n≥2 a 故 n =
例3、已知数列on}的前n项和为Sn=n2+1n,求该数列 的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项 和公差分别是什么? 解:当n≥时,n=Sn-Sn1 =n2+n-|(n-1)2+(n-1) 2n-① 2 当n=1时,a=S,=12+×13 2 a1也满足①式 数列{an}的通项公式为an=2n 3 这是首项为,公差为2的等差数列
解：当n≥2时， 1 n n n a S S = − − 2 2 1 1 [( 1) ( 1)] 2 2 = + − − + − n n n n 1 2 2 = − n 当n=1时， 2 1 1 1 3 1 1 2 2 a S = = + = ① ∵a1也满足①式 ∴数列{an }的通项公式为 1 2 2 n a n = − 这是首项为 ，公差为2的等差数列 3 2 例3、已知数列{an }的前n项和为 ，求该数列 的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项 和公差分别是什么？ 2 1 2 S n n n = +
若已知数列{anl前n项和为Sn,则该数列的 通项公式为 =1 n3n1,n>2 注意:(1)这种做法适用于所有数列; (2)用这种方法求通项需检验a1是否满足an
若已知数列{an }前n项和为Sn，则该数列的 通项公式为 S1， n=1 Sn -Sn-1，n≥2 an = 注意：（1）这种做法适用于所有数列； （2）用这种方法求通项需检验a1是否满足an
例3变式、已知数列{an的前n项和为s=n2+1n+1 ,求该数列的通项公式,这个数列是等差数列吗? 2,H=1 2n 2h≥2 45页探究题
例3变式、已知数列{an }的前n项和为 ，求该数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？ 2 1 1 2 S n n n = + + 45页探究题 5 , 1 2 1 2 , 2 2 n n a n n = = −
探究:一般地,如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+gn+r, s=4m2+Bn为常数)n}等差数列数 分析:当n=1时,a1=S1p+q+r 当n>1时 n-1 n2+qn+rp(n-1)2-g(n-1)-r Epn-P+q 又:当n=1时,an=2pp+q=p+q 当且仅当r=0时,a1满足an=2pmp+q 故只有当r=0时该数列才是等差数列, 此时首项a1=p+q,公差=2p(p0)
探究： 一般地，如果数列{an }的前n项和为Sn =pn2+qn+r， 其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数 列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？ 分析：当n=1时，a1=S1=p+q+r 又∵当n=1时，an=2p-p+q=p+q ∴当且仅当r =0时，a1满足an=2pn-p+q 故只有当r =0时该数列才是等差数列， 此时首项a1=p+q，公差d=2p(p≠0) ∵当n>1时，an =Sn -Sn-1 =pn2+qn+r-p(n-1)2 -q(n-1)-r =2pn-p+q 2 { } S An Bn A a n n = + （ 为常数） 等差数列
例4、已知一个等差数列的前10项的和是310,前20 项的和是1220,求该数列前30项的和。 解:设该等差数列的前n项和Sn=Am2+Bn,则 S,=1004+10B=310 S=4004+20B=1220 解得A=3,B=1 ∷Sn=3n+n S,=3×900+30=2730
例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20 项的和是1220，求该数列前30项的和。 2 n , 解：设该等差数列的前 项和S An Bn n = + 则 10 20 100 10 310 400 20 1220 S A B S A B = + = = + = 解得A B = = 3, 1 2 3 = + S n n n 30 = + = S 3 900 30 2730
例5、设正项数列an的前m项和满足Sn=(an+1)2, 求数列{an}的通项公式 解:当n≥2时,an=Sn-Sn1=an+1)2-(an1+1) 整理得(an+an1)(an-an1-2)=0 a.>0 a.,≠0 2=0,即 数列an}是公差为2的等差数列 当n=1母时,a1=S1=(a1+1)2,解得a1=1 an=a1+(n-1)d=2n-1 数列{an}的通项公式为an=2n-1
2 1 1 1 2 [( 1) ( 1)] 4 n n n n n n a S S a a 解：当 时， = − = + − + − − 1 2 5 { } ( 1) 4 { } n n n n a n S a a 例 、设正项数列 的前 项和满足 = + ， 求数列 的通项公式 1 1 ( )( 2) 0 n n n n a a a a 整理得 + − − = − − 1 0 + 0 n n n a a a − 1 1 2 0 2 n n n n a a a a − − = − ，即 − − = { } 2 n 数列 a 是公差为 的等差数列 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) , 1 4 当n a S a a = = = + = 时， 解得 1 ( 1) 2 1 n = + − = − a a n d n { } 2 1 n n = − 数列 a a n 的通项公式为