4.33余角和补角 教学目标一 1.在具体情境中认识余角和补角,掌握余角和补角的性质:(重点) 2.能利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.(重点) 数学心程 一、情境导入 让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔. 比萨斜塔建于1173年,工程曾间断了两次很长的时间,历经约二百年才完工.设计为 垂直建造,但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜 二、合作探究 探究点一:余角和补角及其性质 【类型一】余角和补角的概念 1如果a与B互为余角,则( A.a+B=180°B.a-B=180 C.a-B=90°D.a+B=90° 解析:如果a与β互为余角,则a+B=90°.故选D. 方法总结:正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键 【类型二】利用余角和补角计算求值 例2已知∠A与∠B互余,且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°,求∠B的度数 解析:根据∠A与∠B互余,得出∠A+∠B=90°,再由∠A的度数比∠B度数的3倍还 多30°,从而得到∠A=3∠B+30°,再把两个算式联立即可求出∠2的值 解:∵∠A与∠B互余,∴∠A+∠B=90°,又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30° ∠A=3∠B+30°,∴3∠B+30°+∠B=90°,解得∠B=15°故∠B的度数为15 方法总结:此题把角的关系结合方程问题一起解决,即把相等关系的问题转化为方程问 题,利用方程组来解决 【类型三】余角、补角和角平分线的综合计算 3如图,已知∠AOB在∠ACC内部,∠BC=90°,OM、ON分别是∠AOB,∠AOC的平 分线,∠AOB与∠COM互补,求∠BON的度数
4．3.3 余角和补角 1．在具体情境中认识余角和补角，掌握余角和补角的性质；(重点) 2．能利用余角和补角的性质进行计算和简单的推理．(重点) 一、情境导入 让学生观察意大利著名建筑比萨斜塔． 比萨斜塔建于 1173 年，工程曾间断了两次很长的时间，历经约二百年才完工．设计为 垂直建造，但是在工程开始后不久便由于地基不均匀和土层松软而倾斜． 二、合作探究 探究点一：余角和补角及其性质 【类型一】 余角和补角的概念 如果 α 与 β 互为余角，则( ) A．α＋β＝180° B．α－β＝180° C．α－β＝90° D．α＋β＝90° 解析：如果 α 与 β 互为余角，则 α＋β＝90°.故选 D. 方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键． 【类型二】 利用余角和补角计算求值 已知∠A 与∠B 互余，且∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°，求∠B 的度数． 解析：根据∠A 与∠B 互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还 多 30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2 的值． 解：∵∠A 与∠B 互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°， ∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B 的度数为 15°. 方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问 题，利用方程组来解决． 【类型三】 余角、补角和角平分线的综合计算 如图，已知∠AOB 在∠AOC 内部，∠BOC＝90°，OM、ON 分别是∠AOB，∠AOC 的平 分线，∠AOB 与∠COM 互补，求∠BON 的度数．
解析:根据补角的性质,可得∠AB+∠COM=180°,根据角的和差,可得∠AOB+∠BO∥ 90°,根据角平分线的性质,可得∠BM=。∠AOB,根据解方程,可得∠AOB的度数,根据 角的和差,可得答案 解:由∠AOB与∠COM互补,得∠AOB+∠COM=180° 由角的和差,得∠AOB+∠BOM+∠COB=180°,∠AOB+∠BOM=90° 由OM是∠AOB的平分线,得∠BOM==∠AOB, 即∠AOB+∠AOB=90°.解得∠AOB=60° 由角的和差,得∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°+60°=150° 由OW平分∠AOC得∠AOM=∠AOC=×150°=75°,由角的和差,得∠BOM=∠AON ∠AB=75°-60°=15° 方法总结:本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识,利用了补角的性质,角的和 差,角平分线的性质进行计算,解决问题一定要结合图形认真分析,做到数形结合 探究点二:方位角 【类型一】利用方位角确定方向 囹4M地是海上观测站,从M地发现两艘船A、B的方位如图所示,下列说法中正确的 是() A.船A在M的南偏东30°方向 B.船A在M的南偏西30°方向 C.船B在M的北偏东40°方向 D.船B在M的北偏东50°方向 北 西 解析:船A在M的南偏西90°-30°=60°方向,故A、B选项错误;船β在M的北偏 东90°-50°=40°方向,故C正确,D错误.故选C. 方法总结:用方位角描述方向时,通常以正北或正南方向为角的始边,以对象所处的射
解析：根据补角的性质，可得∠AOB＋∠COM＝180°，根据角的和差，可得∠AOB＋∠BOM ＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM＝ 1 2 ∠AOB，根据解方程，可得∠AOB 的度数，根据 角的和差，可得答案． 解：由∠AOB 与∠COM 互补，得∠AOB＋∠COM＝180°. 由角的和差，得∠AOB＋∠BOM＋∠COB＝180°，∠AOB＋∠BOM＝90°. 由 OM 是∠AOB 的平分线，得∠BOM＝ 1 2 ∠AOB， 即∠AOB＋ 1 2 ∠AOB＝90°.解得∠AOB＝60°. 由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°. 由 ON 平分∠AOC 得∠AON＝ 1 2 ∠AOC＝ 1 2 ×150°＝75°.由角的和差，得∠BON＝∠AON－ ∠AOB＝75°－60°＝15°. 方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和 差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合． 探究点二：方位角 【类型一】 利用方位角确定方向 M 地是海上观测站，从 M 地发现两艘船 A、B 的方位如图所示，下列说法中正确的 是( ) A．船 A 在 M 的南偏东 30°方向 B．船 A 在 M 的南偏西 30°方向 C．船 B 在 M 的北偏东 40°方向 D．船 B 在 M 的北偏东 50°方向 解析：船 A 在 M 的南偏西 90°－30°＝60°方向，故 A、B 选项错误；船 B 在 M 的北偏 东 90°－50°＝40°方向，故 C 正确，D 错误．故选 C. 方法总结：用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射
线为终边,故描述方位角时,一般先叙述北或南,再叙述偏东或偏西 【类型二】方位角的有关让算 例5如图所示,甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发,当分别行驶到A、B、C处时,经 测量得甲船位于港口的北偏东44°方向,乙船位于港口的北偏东76°方向,丙船位于港口 的北偏西45°方向 (1)求∠BO的度数 2)求∠AOB的度数 解析:(1)根据方向角的表示方法,可得∠BOB,∠ECC的度数,根据角的和差,可得答 案 (2)根据方向角的表示方法,可得∠EOB,∠EOA的度数,根据角的和差,可得答案 解:如图,(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向,丙船位于港口的北偏西45°方向, 得∠BOB=76°,∠EOC=45°.由角的和差,得∠BOC=∠EOB+∠EOC=76°+45°=121 (2)由甲船位于港口的北偏东44°方向,乙船位于港口的北偏东76°方向,得∠EOB= 76°,∠EOA=44°.由角的和差,得∠AOB=∠EOB-∠EOA=76°-44°=32° 方法总结:解决本题主要是理解方向角的表示方法,结合图形找到相应的角,然后进行 计算 三、板书设计 1.互余、互补 (1)和为90°的两个角互余 (2)和为180°的两个角互补 2.方位角 数学厦思 通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑激发学生的学习兴趣,再运用现代化的教学手 段,把图形的“静”变成“动”,在动态课件演示中引出概念,增强了趣味性,并且可以充 分调动学生的学习兴趣,一下子把学生吸引到课堂上来.这样也把书本上原本呆板的概念激 活了,使数学知识充满新鲜感,实现了书本知识和学生发现的一种沟通,增强学生对几何图 形的敏感性
线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西． 【类型二】 方位角的有关计算 如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口 O 出发，当分别行驶到 A、B、C 处时，经 测量得甲船位于港口的北偏东 44°方向，乙船位于港口的北偏东 76°方向，丙船位于港口 的北偏西 45°方向． (1)求∠BOC 的度数； (2)求∠AOB 的度数． 解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC 的度数，根据角的和差，可得答 案； (2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA 的度数，根据角的和差，可得答案． 解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东 76°方向，丙船位于港口的北偏西 45°方向， 得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°； (2)由甲船位于港口的北偏东 44°方向，乙船位于港口的北偏东 76°方向，得∠EOB＝ 76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°. 方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行 计算． 三、板书设计 1．互余、互补 (1)和为 90°的两个角互余； (2)和为 180°的两个角互补． 2．方位角 通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑激发学生的学习兴趣，再运用现代化的教学手 段，把图形的“静”变成“动”，在动态课件演示中引出概念，增强了趣味性，并且可以充 分调动学生的学习兴趣，一下子把学生吸引到课堂上来．这样也把书本上原本呆板的概念激 活了，使数学知识充满新鲜感，实现了书本知识和学生发现的一种沟通，增强学生对几何图 形的敏感性．
