吕次起38性圆 要点、考点聚焦 课前热身 典型例题解析 课时训练
12.5 二次根式及其性质 ➢ 要点、考点聚焦 ➢ 课前热身 ➢ 典型例题解析 ➢ 课时训练
要点、考点聚焦 1二次根式的定义 (1)式子a≥0)叫做二次根式 (2)二次根式中,被开方数必须非负,即a20, 据此可以确定被开方数为非负数 (3)公式(好=a(a≥0) 2.积的算术平方根 (1)积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的 积 (2)公式ak=ⅶ(≥0,b≥0)
➢ 要点、考点聚焦 1.二次根式的定义 (1)式子 (a≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 中，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. (3)公式( )2=a(a≥0). a a a 2.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. (2)公式 ab = (a≥0，b≥0). a • b
3二次根式的乘法 (1)公式axb.√ahb (2)二次根式的运算结果,应该尽量化简,有理数的运算 律在实数范围内仍可使用 4商的算术平方根 (1)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的 算术平方根 (2)公式a(a0,b>0) 5二次根式的除法 1)∠公就 (2)二次根式的除法运算,通过采用化去分母中的根号的 方法来进行,把分母中的根号化去叫做分母有理化
3.二次根式的乘法 (1)公式 = . (2)二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运算 律在实数范围内仍可使用 a • b ab 4.商的算术平方根 (1)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的 算术平方根. (2)公式 （a≥0,b＞0）. b a b a = 5.二次根式的除法 (1) 公式. (2)二次根式的除法运算，通过采用化去分母中的根号的 方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化. b a b a =
6满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式 (1)被开方数的因数是整数,因式是整式 (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式 (3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数 7几个二次根式化成最简二次根式以后,若被开方数 相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式 8 a(a≥0) a|= a(a<0)
6.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽的因数或因式. (3)化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数. 7.几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 8. − = = a( a 0 ) a( a 0 ) a |a| 2
课前热身 1.如果最简二次根式√3a-8与√4a-2x 是同类根式,那么使有意义的x的取值范围是(A) A.x≤10B.x210C.x10 2.计算:8·√8的结果是12。 3若√(x-22=2-x,则的取值范围是X≤2 4在函数y=中,自变量x的取值范围是(C) A.x≥4“B.x≤4C.x>4D.x<4
1. 如果最简二次根式 与 是同类根式，那么使有意义的x的取值范围是 ( ) A.x ≤10 B. x ≥10 C. x 10 ➢ 课前热身 A 2. 计算： 的结果是 。 x 4 1 y − = 3.若 ，则的取值范围是 。 4a −2x ( x 2 ) 2 x 2 − = − 3a −8 18 • 8 12 x≤2 4.在函数 中，自变量x的取值范围是( ) C A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4 D. x <4
课前热身 5化简 √5-5 6直接写出下列各题的计算结果: (1)√(1-2)2 (2从-16)×(-9)=12 (3)、502-142=48 (4)(3+√10)2002(3 10)2003=3-√10 7在(012、75、2V中与是同类二次根式的是 27 √75
5.化简 ➢ 课前热身 6.直接写出下列各题的计算结果： (1) = ； (2) ； (3) = ； (4)(3+ ) 2002·(3 ) 2003= . 2 ( 1 −2 ) ( −1 6 ) ( −9 ) = 2 2 50 −14 10 − 10 3 − 10 1 12 48 = − 5 5 5 1 − 5 7.在 、 、 、 中与 是同类二次根式的是 、 . 50 1 27 1 75 6 1 2 12 27 1 75
课前热身 8.下列各式属于最简二次根式的是(B) v+1 9(1)化简(a-1)V1a的结果是-y7-a (2)当x>5时,化简 V16-8x+x+x-4=2x8 (3)若1<x<4时,则 (x-4)2+(x-1)2 3 10计算: +√27-6 2 3 解;原式=2-3+33-6x5=2=+35-2 (2+
8. 下列各式属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 9. (1)化简(a-1) 的结果是 . (2)当x＞5时，化简 . (3)若1＜x＜4时，则 = 。 3 x 1 y 2 + 1 a 1 − − 1 −a 1 6 −8 x + x + x −4 = 2 2 2 ( x − 4 ) + ( x −1 ) 3 2x-8 ➢ 课前热身 8 2 1 B 10.计算： 3 1 2 7 6 2 3 1 + − + 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 3 6 2 3 2 3 2 3 + − = − + − = + − − （ ） （ ） 解：原式＝
典型例题解析 【例1】x为何值时,下列各式在实数范围内才有意义: x+2 x+5 (1)√2-x(2) x 解:(1)由2x20x≤2, ∵x≤2时,√2-在实数范围的有意义 (2)由 x+2≥0 Jx≥-2 x-3>0 x>3 X>3时,x-3在实数范围内有意义 (3)由 x+5≥0 x-3 5sX<3时 x十 在实数范围内有意义 x
➢ 典型例题解析 【例1】 x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： (1) 2 − x (2) x x x x − + − + 3 5 ;(3) 3 2 解:(1)由2-x≥0 x≤2， ∴x≤2时， 在实数范围的有意义. (2)由 ∴x＞3时， 在实数范围内有意义. 2 − x − − + x 3 x 2 x 3 0 x 2 0 x 3 x 2 − + (3)由 ∴-5≤x＜3时， 在实数范围内有意义. − − + x 3 x 5 3 x 0 x 5 0 x 3 x 5 − +
【例2】计算:(1)(3√48-427)÷23 (2) 10a2a6●5、0÷15 a (3)(v2+√3-6)2-(V2-√3+6)2 (4)(2+√3-6)x(V2-3+6) 解:(1)原式=(123-123)÷23=0 10,6 (2)原式=(0n2×X5÷1X√a6×V2Xxa3a2°√m =-a6√a6 (3)原式=(√2+3-6+√2-3+62+√3-6-√2+3-6) 2√2+(2 24 (4)原式=[2+3-6][2-(-6)=(2)2-(3-6 2-(3-12√3+36)=-37+123
【例2】 计算：(1) (2) (3) (4) ( 3 4 8 −4 2 7 ) 2 3 b a 1 5 a b 1 0a ab 5 2 • 2 2 ( 2 + 3 −6 ) −( 2 − 3 +6 ) ( 2 + 3 − 6) ( 2 − 3 + 6) 解：(1)原式= (2)原式=(10a２×5÷15)( × × )= = (3)原式= = (4)原式=［ ］［ ］= = ab a b a b ab a b a 3 10 2 • ( 2 + 3 −6 + 2 − 3 +6 ) ( 2 + 3 −6 − 2 + 3 −6 ) 2 2 +( 2 3 −1 2 ) = 4 6 −2 4 2 2 + 3 −6 2 −( 3 −6 ) 2 2 ( 2 ) −( 3 −6 ) 2 −( 3 −1 2 3 +3 6 ) = −3 7 +1 2 3 ( 1 2 3 −1 2 3 ) 2 3 = 0 ab ab 3 10
例3】求代数式的值 若 2+√3 a26+a62 b≈ 求 的值 2+√3 a2+6 (2)若x24x+1=0,求(+x-5的值 2+√32-√3 解:(1)a+6 十 (2+√3)2+(2-√3)2=14 2-√32+ 2+√32-√3 1. 2-√32+ 原式= abla+ 14 (a+6)2-2a6142-297 (2)由x2-4x+1=0→X+4=0→X+-=4 x 原式=、(x+22-2-5=V4-7=√9=3 x
【例3】 求代数式的值. (1) (2) 若x 2 -4x+1=0，求 的值. . a b a b ab , 2 3 2 3 ,b 2 3 2 3 a 2 2 2 2 若 求 的 值 + + + − = − + = 5 x 1 x 2 2 + − 解:(1) 1. 2 3 2 3 2 3 2 3 ab ( 2 3 ) ( 2 3 ) 1 4, 2 3 2 3 2 3 2 3 a b 2 2 = + − − + = = + + − = + − + − + + = 原式＝ ＝ ( a b ) 2ab ab( a b ) 2 + − + = 14 −2 14 2 97 7 (2)由x 2 -4x+1=0 x+ -4=0 x+ =4. ∴原式= x 1 x 1 ) 2 5 4 7 9 3 x 1 ( x 2 2 + − − = − = =