综合
(一)
等腰三角形的性质与判定 1.性质 23 腰三角形的两个底角相等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重 2判定 定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角 形
等腰三角形的性质与判定 1.性质 (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角 形。 (一)
等腰三角形性质与判定的应用 (1)计算角的度数 利用等腰三角形的性质,结合三角形 内角和定理及推论计算角的度数,是等腰 角形性质的重要应用 ①已知角的度数,求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形(此时 往往设法用未知数表示图中的角,从中得 到含这些未知数的方程或方程组) (2)证明线段或角相等
• 等腰三角形性质与判定的应用 （1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形 内角和定理及推论计算角的度数，是等腰 三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时 往往设法用未知数表示图中的角，从中得 到含这些未知数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等
以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图:若AB=AC ①作AD⊥BC于D,必有结论:∠1=∠2, BD=DC ②若BD=DC,连结AD,必有结论:∠1∠2, AD⊥BC ③作AD平分∠BAC必有结论:AD⊥BC BDEDC 作辅助线时,一定要作满足其中一个性质 的辅助线,然后证出其它两个性质,不能 这样作:作AD⊥BC,使∠1=∠2
• 以等腰三角形为条件时的常用辅助线: • 如图：若AB=AC • ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2， BD=DC • ②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2， AD⊥BC • ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC， BD=DC • 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质 的辅助线，然后证出其它两个性质，不能 这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2. A B D C 1 2
例题分析 ·例1已知一腰和底边上的高,求作等腰三角形。 分析:我们首先在草稿上画好一个示意图,然后对照此图写出已知和求作并 构思整个作图过程 已知:线段a、h 求作:△ABC,使AB=AC=a,高AD=h 作法 1、作PQ⊥MN,垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心,以a为半径作弧,交PQ 于点B、C D A 4、连结AB、AC 则△ABC为所求的三角形 B D
• 例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。 分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并 构思整个作图过程…… 已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h 作法： 1、作PQ⊥MN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ 于点B、C 4、连结AB、AC 则△ABC为所求的三角形。 A B D C a h A B D C M N h a P Q
例题分析 例2如图,已知在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D, CE⊥AB于E,BD与CE相交于M点。求证:BM=CM。 证明::AB=AC ∠ABC=∠ACB(等边对等角) BD⊥AC于D,CE⊥AB于E ∠BEC=∠CDB=90° ∠1+∠ACB=90 ∠2+∠ABC=90°(直角三角形 两个锐角互余) 说明:本题易习惯性地用全等来 ∴∠1=∠2(等角的余角相等) 证明,虽然也可以证明,但过程 ∴BM=CM(等角对等边) 较复杂,应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。 • 证明：∵AB=AC • ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） • ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E • ∴∠BEC=∠CDB=90° • ∴∠1+∠ACB=90° ， ∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余） • ∴∠1=∠2（等角的余角相等） • ∴BM=CM（等角对等边） A B C D 1 2 E M 说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用
例题分析 例3.已知:如图,∠A=90°,∠B=15°,BD=DC 请说明AC=BD的理由 解∵BD=DC,∠B=15° ∵∠DCB=∠B=15°(等角对等 边) ∠ADC=∠B+∠DCB=30° (三角形的外角等于和它不相 A 邻的两个内角的和) ∠A=90 AC=DC B ∴AC=BD
例3.已知：如图，∠A=90° ，∠B=15° ，BD=DC. 请说明AC= BD的理由. • 解∵BD=DC，∠B=15° • ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等 边） • ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° • （三角形的外角等于和它不相 邻的两个内角的和） • ∵∠A=90° • ∴AC= DC • ∴AC= BD 2 1 2 1 A B C D 2 1
例题分析 例4.已知:如图,∠C=90°,BC=AC,D、E分别在BC和 AC上,且BD=CE,M是AB的中点 求证:△MDE是等腰三角形 分析:要证△MDE是等腰三角形,只需证MD=ME。连结 CM,可利用△BMD≌△CME得到结果 证明:连结CM ∵∠C=90°,BC=AC .∠A=∠B=45 M是AB的中点 CM平分∠BCA(等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合) ∠MCE=∠MCB=∠BCA=45 ∴∠B=∠MCE=∠MCB CM=MB(等角对等边) 在△BDE和△CEM中 BD= CE ∴△BDMN△CEM(SAS) ∠B=∠MCE MD=ME BM=CM △MDE是等腰三角形 E
例4.已知：如图，∠C=90° ，BC=AC，D、E分别在BC和 AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形. • 分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结 CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。 证明：连结CM ∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB（等角对等边） 在△BDE和△CEM中 ∴△BDM≌△CEM（SAS） ∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形 = = = BM CM B MCE BD CE A B C D E M
例题分析 例5如图,在等边△ABC中,AF=BD=CE, 请说明△DEF也是等边三角形的理由 解:∵△ABC是等边三角形 A ∴AC=BC,∠A=∠C ∵CE=BD BC--BC=AC-CE CD=AE ·在△AEF和△CDE中 F AE=CD D C ∠A=∠C AF=CE 说明:证明等边三角形有三种思路: ①证明三边相等②证明三角相等 △AEF△CDE(SAS) ③证明三角形是有一个角为 EF=DE 60°的等腰三角形 同理可证EF=DF 具体问题中可利用不同的方式进行求 EF=DE=DE 解 ∴△DEF是等边三角形
例5.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE， 请说明△DEF也是等边三角形的理由. • 解：∵△ABC是等边三角形 • ∴AC=BC，∠A=∠C • ∵CE=BD • ∴BC－BC=AC－CE • ∴CD=AE • 在△AEF和△CDE中 • ∴△AEF≌△CDE（SAS） • ∴EF=DE • 同理可证EF=DF • ∴EF=DE=DF • ∴△DEF是等边三角形 = = = AF CE A C AE CD A B D C E F 说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为 60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求 解
例题分析 例6如图2-8-1,中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长 线上一点,且BD=CE,DE交BC于G 请说明DG=EG的理由 ·思路因为△GDB和△GEC不全等,所以考虑在△GDB 内作出一个与△GEC全等的三角形。 D C 图2-8-1 说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等,故要构造三 角形的全等,本题的另一种证法是过E作EFBD,交BC的延长线于F,证明 △DBG△EFG,同学们不妨试一试
例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长 线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由. • 思路 因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB 内作出一个与△GEC全等的三角形。 说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三 角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明 △DBG≌△EFG，同学们不妨试一试