西安开放大学 《高等数学基础》 第六讲 微分高阶导数 主讲：侯新昌教授
主讲：侯新昌 教授 《高等数学基础》 第六讲 微分 高阶导数
微分高阶导数 第三章导数与微分 33微分 3.4高阶导数
微分 高阶导数 第三章 导数与微分 3.3微分 3.4 高阶导数
3.3微分 定义设函数y=f(x)在点x处可导，△x是自变量x的改变量， 称f'(xo)△x为函数y=f(x)在点xo处的微分， 记作dylx=xo 即dylx=x。=f'(xo)△x 并称函数f(x)在点xo处可微： 对于函数y=f(x)在任意点x处的微分，有dy=f'(x)△x 当y=x时，dx=△x,所以dy=f'(x)dx 是-ro→dy=f'eodx
3.3 微分 即 𝑑𝑦ȁ𝑥=𝑥0 = 𝑓 ′ 𝑥0 Δ𝑥 并称函数 𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 处可微. 对于函数 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在任意点 𝑥 处的微分，有 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)Δ𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 当 𝑦 = 𝑥 时，𝑑𝑥 = Δ𝑥 , 所以 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓′(𝑥) ⟹ 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 定义 设函数 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 处可导，Δ𝑥 是自变量 𝑥 的改变量， 称 𝑓 ′ 𝑥0 Δ𝑥 为函数 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 处的微分， 记作 𝑑𝑦ȁ𝑥=𝑥0
3.3微分 dy f'(x)dx 例1求函数y=cosx的微分 解dy=(s)=-sindix.dk-受=-sin2dx=-d π 例2求函数y=eax sinbx的微分. .y'=(eax)'sin bx eax (sinbx)' aeax sin bx +beax cosbx .dy =(aeax sin bx+beax cos bx)dx
3.3 微分 𝑑𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 𝑑𝑥 例1 求函数 𝑦 = cos 𝑥 的微分. 解 𝑑𝑦 = cos 𝑥 ′𝑑𝑥 = − sin 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑑𝑦ቚ 𝑥= 𝜋 2 = − sin 𝜋 2 𝑑𝑥 = −𝑑𝑥. 例2 求函数 𝑦 = 𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 的微分. 解 𝑦 ′ = 𝑒 𝑎𝑥 ′ sin 𝑏𝑥 + 𝑒 𝑎𝑥(sin 𝑏𝑥)′ = 𝑎𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 + 𝑏𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 ∵ ∴ 𝑑𝑦 = (𝑎𝑒 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 + 𝑏𝑒𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥)𝑑𝑥
3.4高阶导数 y=f(x),y',f'(x), dy df dx'dx y”,f"(x), d2y d2f d3y d3f dx2’dx2: y",f"(x), dx3’ dx3· y,f4(x), d4y dAf dx4, dx4 y(n),f(n)(x) dry dnf dxn' dxn
3.4 高阶导数 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑦 ′ , 𝑓 ′ 𝑥 , 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , 𝑑𝑓 𝑑𝑥 . 𝑦 ′′ , 𝑓 ′′ 𝑥 , 𝑑 2𝑦 𝑑𝑥 2 , 𝑑 2𝑓 𝑑𝑥 2 . 𝑦 ′′′ ,𝑓 ′′′ 𝑥 , 𝑑 3𝑦 𝑑𝑥 3 , 𝑑 3𝑓 𝑑𝑥 3 . 𝑦 (4) , 𝑓 (4) 𝑥 , 𝑑 4𝑦 𝑑𝑥 4 , 𝑑 4𝑓 𝑑𝑥 4 . …… 𝑦 (𝑛) , 𝑓 (𝑛) 𝑥 , 𝑑 𝑛𝑦 𝑑𝑥 𝑛 , 𝑑 𝑛𝑓 𝑑𝑥 𝑛
3.4高阶导数 例1设y=x2+3x-1,求y",y". 解y'=2x+3. y"=2.y"=0. 例2设y=x coSx,求y",y". 解y'=cosx-x sinx. y"=-sinx-sinx -x cosx =-2 sinx-x cosx. y=-2 cosx -cosx +x sinx =-3 cosx +xsinx
3.4 高阶导数 例1 设 𝑦 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 1 , 求 𝑦 ′′ , 𝑦 ′′′ . 例2 设 𝑦 = 𝑥 cos 𝑥 , 求 𝑦 ′′ , 𝑦 ′′′ . 解 𝑦 ′ = 2𝑥 + 3 . 𝑦 ′′ = 2 . 𝑦 ′′′ = 0 . 解 𝑦 ′ = cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 . 𝑦 ′′ = −sin 𝑥 − sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 = −2 sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥 . 𝑦 ′′′ = −2 cos 𝑥 − cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥 = −3 cos 𝑥 + 𝑥 sin 𝑥
微分高阶导数 小结 关键词：微分；高阶导数 练习题：135页10、11题.140页1题
微分 高阶导数 小结 关键词：微分； 高阶导数 练习题：135页 10、11题 . 140页 1 题
西安开放大学 《高等数学基础》 谢谢聆听！
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