9.5三角形的中位线
9.5 三角形的中位线
情景创设 样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的 部分能拼成一个平行四边形?
情景创设 • 怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的 两部分能拼成一个平行四边形？
儿 1.剪一个三角形,记为△ABC 2.分别取AB、AC的中点D、E,并连接DE 3.沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕点E旋转180° 得四边形DBCF 四边形DBCF是什么特殊的四边形?为什么? 答:四边形DBCF是平行四边形。 由操作可知:△ADE与△CFE关于点E成中心对称 则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得:AB∥CF B 又由CF=AD,AD=DB可得:DB=CF 所以四边形BCFD是平行四边形 理由:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1. 剪一个三角形，记为ΔABC 2．分别取AB、AC的中点D、E，并连接DE 3．沿DE将ΔABC剪成两部分，并将ΔADE绕点E旋转180° 得四边形DBCF 1.操作： ❖ 四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？ 2.思考： 答：四边形DBCF是平行四边形。 由操作可知：ΔADE与ΔCFE关于点E成中心对称 则CF=AD,∠F=∠ADE 由∠F=∠ADE可得：AB∥CF 又由CF=AD，AD=DB可得：DB=CF 所以四边形BCFD是平行四边形 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 A B C D E F
位 连接三角形两边的中点的线段 叫做三角形的中位线 想一想: 三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么? 答:三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点,另一端是顶点
3.三角形中位线的概念 连接三角形两边的中点的线段 叫做三角形的中位线 三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？ 答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线一端是中点，另一端是顶点 想一想：
议一: △ABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系?A 为什么? 答:DE∥BC,DE=2BC 通过探索得知:四边形BCFD是平行四边形D 则DF∥BCDF=BC 即DE∥BCDE=2DF=2BC 三角形中位线的性质: 角形的中位线平行与第三边,并且等于它的一半。 说明此性质的特点:同一条件下有2个结论 因为DE为△ABC的中位线 所以①DE∥BC,②DE=BC 关系 关系
议一议： ΔABC的中位线DE与BC有怎样的位置和数量关系？ 为什么？ 答：DE∥BC，DE=½BC 通过探索得知：四边形BCFD是平行四边形 则DF∥BC DF=BC 即DE∥BC DE=½DF=½BC 三角形中位线的性质: 三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。 说明 此性质的特点：同一条件下有2个结论 因为DE为ΔABC的中位线 所以①DE∥BC，②DE=½BC ↓ ↓ 位置关系 数量关系 A B C E F
例题讲解 例1.在四边形ABCD中,AC=BD,E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点 HD 求证:四边形EFH是菱形 G 正明:E、F分别是AB、BC的中点 ∴EF=1/2AC B 理由:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 同理:FG=BD/2,GH=AC/2,HE=BD/2 AC=BD ..EF===HE 边形EGH是菱形 理由:一四边相等的四边形是菱形
例1. 在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是菱形 ∵E、F分别是AB、BC的中点 ∴EF=1/2AC 理由：三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 同理:FG=BD/2，GH=AC/2，HE=BD/2. ∵AC=BD ∴四边形EFGH是菱形 理由：一四边相等的四边形是菱形. ∴EF=FG=GH=HE 证明：
例题解析 猜 画一个任意四边形,并画出四边的中点,再顺次连 接四笾形的中点,得到的四边形的形状是什么? 如图,四边形ABCD中,EFGH分别是 AB CD AD BC的中点, 四边形EFGH是平行四边形吗?为什么? 解:四边形EGH是平行四边形 连接DB 因为E、H分别是AB、AD的中点, 即EH是△ABD的中位线 所以EH∥BD,EH=%2BD,理由是:三角形的中位线平 第三边,并且等于它的一半。 同理可得,FG∥BDFG=BD 所以EH∥FG,EH=FG 故四边形EFGH是平行四边形,理由是;一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形
例题解析 • 猜一猜：画一个任意四边形，并画出四边的中点，再顺次连 接四边形的中点，得到的四边形的形状是什么？ ❖如图，四边形ABCD中，E F G H分别是AB CD AD BC的中点， 四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？ ❖解：四边形EFGH是平行四边形 连接DB 因为E、H分别是AB、AD的中点 ， 即EH是ΔABD的中位线 所以EH∥BD，EH=½ BD，理由是：三角形的中位线平 行于第三边，并且等于它的一半。 同理可得，FG∥BD FG=½BD 所以EH∥FG，EH=FG 故四边形EFGH是平行四边形，理由是；一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形 A B C D H E F G
顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状?为什么? 如果将“矩形”改成“菱形”呢? 结论 (1)顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 (2)顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 (3)顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形
⑴顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形 议一议： ❖顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是什么形状？为什么？ 如果将“矩形”改成“菱形”呢？ ⑵顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形 ⑶顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形 结论： (1) (2) (3)
一 巅贺透脔講蓁孬龚茬牛麥买鑠的四边形是菱形,那么 (两条对角线相等) 2.上间中的菱形改为矩形呢? (两条对角线互相垂直) 3当四边形满足什么条件时,顺次连接它的四边中点 所得的四边形是正方形 (两条对角线互相垂直且相等)
议一议： • 1.如果顺次连接四边形四边中点所得的四边形是菱形，那么 原四边形的两条对角线存在什么关系 ？ （两条对角线相等） ❖2.上问中的菱形改为矩形呢？ （两条对角线互相垂直） ❖3.当四边形满足什么条件时，顺次连接它的四边中点 所得的四边形是正方形？ （两条对角线互相垂直且相等）
课堂训练 1.如图(1)△ABC中,AB=6cm, AC=8cm,BC=10cm,D、E、F分 别是AB、AC、BC的中点,则 △DEF的周长是2cm 面积是6cm2 2.如图(2)△ABC中,DE是 中位线,AF是中线,则DE与 AF的关系是互相平分 3.若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是菱形,则 原四边形(D) (A)一定是矩形 (B)一定是菱形 (C)对角线一定互相垂直)对角线一定相等
课堂训练 1.如图（1）ΔABC中，AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝，D﹑E﹑F分 别是AB、AC、BC的中点，则 ΔDEF的周长是＿＿ ， 面积是＿＿ . 2.如图（2）ΔABC中，DE是 中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是＿＿＿＿ 3.若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是菱形，则 原四边形（ ） （A）一定是矩形 （B）一定是菱形 （C）对角线一定互相垂直 （D）对角线一定相等 F A B c D E (1) A C B D E F (2) 互相平分 6cm2 12cm D