图形的相似综合复习题 、选择题(每小题6分,共24分) E 1.(2014·重庆)如图,△ABC∽△DEF,相似比为1:2,若BC=1,则EF的长是(B B.2 2.(2014·泰安)在△ABC和△ABC1中,下列四个命题: ①若AB=AB1,AC=AC1,∠A=∠A1,则△ABC≌△ABC1;②若AB=AB,AC=AC1,∠ B=∠B1,则△ABC≌△ABC;③若∠A=∠A,∠C=∠C,则△ABC∽△ABC:④若AC:AC1 =CB:C1B1,∠C=∠C1,则△ABC∽△A1BC1.其中真命题的个数为(B) A.4个B.3个C.2个D.1个 3.(2014·宁波)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB △ABC与△DCA的面积比为(C) A.2:3B.2:5 C.4:9DV: 解析:∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,又∵∠B=∠ACD=90° △CBA∽△ACD,B_AC DC, AB=2, DC=3,. BC AC AB 2. BC 2 C3,…Cos∠ACB cos∠DAC= BC Ac 2 4 BC 4 ACDA339,·DA9 △ABC与△DCA的面积比=n,∴△ABC与△DCA的面积比 故选:C 4.(2013·孝感)在平面直角坐标系中,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点0为 位似中心,相似比为,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标是(D) A.(-2,1)B.(-8,4 C.(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1) 解析:如图 二、填空题(每小题6分,共24分) (2014·邵阳)如图,在□ABCD中,F是BC上的一点,直线DF与AB的延长线相交于 点E,BP∥DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形:△ABP∽△AED(答
图形的相似综合复习题 一、选择题(每小题 6 分，共 24 分) 1．(2014·重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为 1∶2，若 BC＝1，则 EF 的长是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(2014·泰安)在△ABC 和△A1B1C1 中，下列四个命题： ①若 AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若 AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠ B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若 AC：A1C1 ＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( B ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 3．(2014·宁波)如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则 △ABC 与△DCA 的面积比为( C ) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D. 2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD， BC AC＝ AC AD ＝ AB DC，AB＝2，DC＝3，∴ BC AC＝ AC AD＝ AB DC＝ 2 3 ，∴ BC AC＝ 2 3 ，∴cos∠ACB＝ BC AC＝ 2 3 ，cos∠DAC＝ AC DA＝ 2 3 ， ∴ BC AC· AC DA＝ 2 3 × 2 3 ＝ 4 9 ，∴ BC DA＝ 4 9 ，∵△ABC 与△DCA 的面积比＝BC DA，∴△ABC 与△DCA 的面积比 ＝ 4 9 ，故选：C 4．(2013·孝感)在平面直角坐标系中，已知点 E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点 O 为 位似中心，相似比为1 2 ，把△EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标是( D ) A．(－2，1) B．(－8，4) C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1) 解析：如图 二、填空题(每小题 6 分，共 24 分) 5．(2014·邵阳)如图，在▱ABCD 中，F 是 BC 上的一点，直线 DF 与 AB 的延长线相交于 点 E，BP∥DF，且与 AD 相交于点 P，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答 案不唯一)__．
,第5题图) 第6题图) 6.(2014·滨州)如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则 AB 7.(2013·安徽)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点 △PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2=8 解析:过点P作PQ∥DC交BC于点Q,由DC∥AB,得到PQ∥AB,∴四边形PQC与四边 形APQB都为平行四边形,∴△PDC≌△CQP,△ABP≌△QPB,∴S△P=S△C,S△Am=S△,∵ EF为△PCB的中位线,∴EF∥BC,EF=BC,∴△PEF∽△PBC,且相似比为1:2,∴Ss:S 第7题图) 第8题图) 8.(2014·娄底)如图,小明用长为3m的竹竿CD做测量工具,测量学校旗杆AB的高 度,移动竹竿,使竹竿与旗杆的距离DB=12m,则旗杆AB的高为_9m 三、解答题(共52分) 9.(10分)(2013·巴中)如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为点 连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC (2)若AB=8,AD=65,AF=4V3,求AE的长 (1)证明:∵ABCD,∴AB∥CD,AD∥BC,∴∠C+∠B=180°,∠ADF=∠DEC.∵∠AFD +∠AFE=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C.在△ADF与△DEC中, ∠ADF=∠DEC,…4 F∽△DEC (2)解:∵口ABC,∴CD=AB=8.由(1)知△ADF∽△DEC,∴ DE=CD,∴:DE=AD·CD 8 12.在Rt△ADE中,由勾股定理得AE= 10.(10分)(2014·巴中)如图,在平面直角坐标系x0y中,△ABC三个顶点坐标分别为 A(-2,4),B(-2,1),C(-5,2) (1)请画出△ABC关于x轴对称的△ABC1 2)将△ABC1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A2,B2,C2,请 画出△A2B2C2
,第 5 题图) ,第 6 题图) 6．(2014·滨州)如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则 AD AB＝ __ 2 2 __． 7．(2013·安徽)如图，P 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点，E，F 分别为 PB，PC 的中点， △PEF，△PDC，△PAB 的面积分别为 S，S1，S2，若 S＝2，则 S1＋S2＝__8__． 解析：过点 P 作 PQ∥DC 交 BC 于点 Q，由 DC∥AB，得到 PQ∥AB，∴四边形 PQCD 与四边 形 APQB 都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵ EF 为△PCB 的中位线，∴EF∥BC，EF＝ 1 2 BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为 1∶2，∴S△PEF∶S △PBC＝1∶4，S△PEF＝2，∴S△PBC＝S△CQP＋S△QPB＝S△PDC＋S△ABP＝S1＋S2＝8 ,第 7 题图) ,第 8 题图) 8．(2014·娄底)如图，小明用长为 3 m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高 度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB＝12 m，则旗杆 AB 的高为__9__m. 三、解答题(共 52 分) 9．(10 分)(2013·巴中)如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E， 连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC； (2)若 AB＝8，AD＝6 3，AF＝4 3，求 AE 的长． (1)证明：∵▱ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C＋∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C.在△ADF 与△DEC 中， ∠AFD＝∠C， ∠ADF＝∠DEC， ∴△ ADF∽△DEC (2)解：∵▱ABCD，∴CD＝AB＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴ AD DE＝ AF CD，∴DE＝ AD·CD AF ＝ 6 3×8 4 3 ＝12.在 Rt△ADE 中，由勾股定理得 AE＝ DE2－AD2＝ 122－（6 3） 2＝6 10．(10 分)(2014·巴中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为 A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)． (1)请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； (2)将△A1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点 A2，B2，C2，请 画出△A2B2C2；
(3)求△A1BC1与△ABC2的面积比,即S△ABC:S△ABC2=(不写解答过程,直接 写出结果) 解:(1)如图所示:△ABC1即为所求 (2)如图所示:△ABC2即为所求 (3)∵将△A1BC1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以-2,得到对应的点A,B2,C2 ∴△ABC1与△AB2C2的相似比为1:2,∴S△ABC1:S△AB2C2=1:4 11.(10分)(2013·德宏州)如图,是一个照相机成像的示意图 (1)如果像高MN是35mm,焦距是50皿m,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物 有多远? (2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物,拍摄点离景物有4m,像高不变,则相机的 焦距应调整为多少毫米? 4.9m 解:根据物体成像原理知:△LN△LB,∴:M一C(1)∵像高MN是35m,焦距是 B LD 50m,拍摄的景物高度AB是49m,∴35=4.9,解得LD=7,拍摄点距离景物7米 2 (2)拍摄高度是2m的景物,拍摄点离景物有4m,像高不变,=4解得LC=70, 相机的焦距应调整为70m 12.(10分)(2014·遵义)如图,ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E,F分别是AB,CD 上的点,且BE=DF,连接EF交BD于点 (1)求证:BO=D0; (2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于点G,当FG=1时,求AD的长
(3)求△A1B1C1 与△A2B2C2 的面积比，即 S△A1B1C1：S△A2B2C2＝____(不写解答过程，直接 写出结果)． 解：(1)如图所示：△A1B1C1 即为所求 (2)如图所示：△A2B2C2 即为所求 (3)∵将△A1B1C1 的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点 A2，B2，C2， ∴△A1B1C1 与△A2B2C2 的相似比为 1∶2，∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4 11．(10 分)(2013·德宏州)如图，是一个照相机成像的示意图． (1)如果像高 MN 是 35 mm，焦距是 50 mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 m，拍摄点离景物 有多远？ (2)如果要完整的拍摄高度是 2 m 的景物，拍摄点离景物有 4 m，像高不变，则相机的 焦距应调整为多少毫米？ 解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴ MN AB＝ LC LD.(1)∵像高 MN 是 35 mm，焦距是 50 mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 m，∴ 35 50＝ 4.9 LD ，解得 LD＝7，∴拍摄点距离景物 7 米 (2)拍摄高度是 2 m 的景物，拍摄点离景物有 4 m，像高不变，∴ 35 LC＝ 2 4 ，解得 LC＝70， ∴相机的焦距应调整为 70 mm 12．(10 分)(2014·遵义)如图，▱ABCD 中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F 分别是 AB，CD 上的点，且 BE＝DF，连接 EF 交 BD 于点 O. (1)求证：BO＝DO； (2)若 EF⊥AB，延长 EF 交 AD 的延长线于点 G，当 FG＝1 时，求 AD 的长．
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC=AB,DC∥AB,∴∠ODF=∠OBE,在△ODF ∠ODF=∠OBE, 与△OBE中,∠DOF=∠BOE,∴△ODF≌△OBE(AS),∴B=D0 (2)解:∵BD⊥AD,∴∠ADB=90°,∵∠A=45°,∴∠DBA=∠A=45°,∵EF⊥AB, G=∠A=45°,∴△ODG是等腰直角三角形,AB∥CD,EF⊥AB,∴DF⊥0G,∴OF=FG △DFG是等腰直角三角形,∵△ODF≌△OBE(AAS),∴OE=0F,∴GF=0F=OE,即2FG=EF △DG是等腰直角三角形,:D=0=,:D=F+=:,:比 ∴AD P21 VE 13.(12分)(2013·衢州) 1)提出问题 如图①,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM 为边作等边△AMN,连接CN.求证:∠ABC=∠ACN (2)类比探究 如图②,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变, (3)拓展延伸 如图③,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B,C),连接AM, 以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连接CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系, 并说明理由 图② (1)证明:∵△ABC,△AMN是等边三角形,∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60 AB=AC ∴∠BAM=∠CAN,∵在△BM和△CAN中,∠BAM=∠CAN,∴△BAM≌△CAN(SAS),∴∠ABC AM= AN ∠ACN (2)解:结论∠ABC=∠ACN仍成立.理由如下:∵△ABC,△AMN是等边三角形 AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,∴∠BAM=∠CAN,∵在△BAM和△CAN中 ∠BAM=∠CAN,∴△BAM≌△CAN(SAS),∴∠ABC=∠ACN(3)解:∠ABC=∠ACN.理由如下 AC ∵BA=BC,MA=N,顶角∠ABC=∠AMN,∴底角∠BAC=∠MAN,∴△ABC∽△AMN,∴ 又∵∴∠BAM=∠BAC-∠MAC,∠CAN=∠MAN-∠MAC,∴∠BAM=∠CAN,∴△BAM∽△CAN,∴ ∠ABC=∠ACN 015年名师预测
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE，在△ODF 与△OBE 中， ∠ODF＝∠OBE， ∠DOF＝∠BOE， DF＝BE， ∴△ODF≌△OBE(AAS)，∴BO＝DO (2)解：∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵∠A＝45°，∴∠DBA＝∠A＝45°，∵EF⊥AB， ∴∠G＝∠A＝45°，∴△ODG 是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF＝FG， △DFG 是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE(AAS)，∴OE＝OF，∴GF＝OF＝OE，即 2FG＝EF， ∵△DFG 是等腰直角三角形，∴DF＝FG＝1，∴DG＝ DF2＋FG2＝ 2，∵AB∥CD，∴ AD DG＝ EF FG， 即 AD 2 ＝ 2 1 ，∴AD＝2 2 13．(12 分)(2013·衢州) (1)提出问题 如图①，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B，C)，连接 AM，以 AM 为边作等边△AMN，连接 CN.求证：∠ABC＝∠ACN. (2)类比探究 如图②，在等边△ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点(不含端点 C)，其他条件不变， (1)中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗？请说明理由． (3)拓展延伸 如图③，在等腰△ABC 中，BA＝BC，点 M 是 BC 上的任意一点(不含端点 B，C)，连接 AM， 以 AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接 CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系， 并说明理由． (1)证明：∵△ABC，△AMN 是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中， AB＝AC， ∠BAM＝∠CAN， AM＝AN， ∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC ＝∠ACN (2)解：结论∠ABC＝∠ACN 仍成立．理由如下：∵△ABC，△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中， AB＝AC， ∠BAM＝∠CAN， AM＝AN， ∴△BAM≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN (3)解：∠ABC＝∠ACN.理由如下： ∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴ AB AM＝ AC AN， 又∵∠BAM＝∠BAC－∠MAC，∠CAN＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴ ∠ABC＝∠ACN 2015 年名师预测
1.如图,M是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一定点,过M点作直线截△ABC,使截 得的三角形与△ABC相似,这样的直线共有(C) A.1条B.2条C.3条D.4条 B,第1题图) Ax,第2题图) 2.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,顶点A,C分别在 x,y轴的正半轴上.点Q在对角线OB上,且Q0=0C,连接Q并延长CQ交边AB于点P.则 点P的坐标为_(2,4-2V2)
1．如图，M 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B，C 的一定点，过 M 点作直线截△ABC，使截 得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有( C ) A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 ,第 1 题图) ,第 2 题图) 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 2 的正方形，顶点 A，C 分别在 x，y 轴的正半轴上．点 Q 在对角线 OB 上，且 QO＝OC，连接 CQ 并延长 CQ 交边 AB 于点 P.则 点 P 的坐标为__(2，4－2 2)__．