相似与位似 r解读考点 知识点 名师点晴 1.比例 知道什么是比例式、第四比例项、比例中项 黄金分割 知道黄金分割的意义和生活中的应用 比和比 3.比例的基本性质及定理能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算 4.平行线分线段成比例定理会直接运用定理进行计算和证明 5.相似三角形 知道什么是相似三角形 6.相似三角形的判定和性质能运用相似三角形的性质和判定方法证明 间 相似形 单问题. 7.相似多边形的性质 了解相似多边形的性质 8.位似图形 知道位似是相似的特殊情况.能利用位似放大 和缩小一个图形 r2年中考 【2015年题组】 y y 1.(2015东营)若x4,则x的值为() 【答案】D 【解析】 x+y4+37 试题分析 4=4.故选D 考点:比例的性质 AD 2.(2015南京)如图所示,△ABC中,DE∥BC,若DB2,则下列结论中正确的是
相似与位似 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 比和比 例 1．比例 知道什么是比例式、第四比例项、比例中项． 2．黄金分割 知道黄金分割的意义和生活中的应用． 3．比例的基本性质及定理 能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算． 4．平行线分线段成比例定理 会直接运用定理进行计算和证明． 相似形 5．相似三角形 知道什么是相似三角形． 6．相似三角形的判定和性质 能运用相似三角形的性质和判定方法证明简 单问题． 7．相似多边形的性质 了解相似多边形的性质． 8．位似图形 知道位似是相似的特殊情况．能利用位似放大 和缩小一个图形． ☞2 年中考 【2015 年题组】 1．（2015 东营）若 3 4 y x = ，则 x y x + 的值为（ ） A．1 B． 4 7 C． 5 4 D． 7 4 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵ 3 4 y x = ，∴ x y x + = 4 3 4 + = 7 4 ．故选 D． 考点：比例的性质． 2．（2015 南京）如图所示，△ABC 中，DE∥BC，若 1 2 AD DB = ，则下列结论中正确的是（ ）
AE DE △ADE的周长1 △ADE的面积1 B.BC2c.△ABC的周长3 △ABC的面积3 【答案】C 【解析】 试题分析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵AD:DB=1:2,∴AD:AB=1:3,∴两相似三角形的相似比 为1:3,∵周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方,∴C正确.故选C 考点:相似三角形的判定与性质 3.(2015荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件, 不正确的是() AP AB AB AC A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC. AB AC D.BPCB 【答案】D. 【解析】 试题分析:A.当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错 B.当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误; AP AB C.当ABAC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误: D.无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确 故选D 考点:相似三角形的判定 4.(2015随州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中不能判断 △ABC∽△AED的是()
A． 1 2 AE EC = B． 1 2 DE BC = C． 1 = 3 ADE ABC △ 的周长 △ 的周长 D． 1 = 3 ADE ABC △ 的面积 △ 的面积 【答案】C． 考点：相似三角形的判定与性质． 3．（2015 荆州）如图，点 P 在△ABC 的边 AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件， 不正确的是（ ） A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． AP AB AB AC = D． AB AC BP CB = 【答案】D． 【解析】 试题分析：A．当∠ABP=∠C 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B．当∠APB=∠ABC 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C．当 AP AB AB AC = 时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选 D． 考点：相似三角形的判定． 4．（2015 随州）如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，下列条件中不能判断 △ABC∽△AED 的是（ ）
AD AC AD AE A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.AEAB D.AB AC 【答案】D. 【解析】 试题分析:∵∠DAE=∠CAB,∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时,△ABC∽△AED当、DE 时,△ 4C B ABC△AED.故选D 考点:相似三角形的判定 5.(2015贵阳)如果两个相似三角形对应边的比为2:3,那么这两个相似三角形面积的比 是() B.√2: 4 D.8:27 【答案】C 【解析】 试题分析:两个相似三角形面积的比是3′=4:9.故选C 考点:相似三角形的性质 6.(2015白银)如图,D.E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE: S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为() B 4 【答案】D. 【解析】 试题分析:∵S△BDE:S△CDE=1:3,∴BE:EC=1:3;∴BE:BC=1:4;∵DE∥AC DE BE 1 DE、,1 △DOE∽△AOC,∴ACBC=4,∴S△DOE:S△AOC=AC=16,故选D
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． AD AC AE AB = D． AD AE AB AC = 【答案】D． 考点：相似三角形的判定． 5．（2015 贵阳）如果两个相似三角形对应边的比为 2：3，那么这两个相似三角形面积的比 是（ ） A．2：3 B． 2 : 3 C．4：9 D．8：27 【答案】C． 【解析】 试题分析：两个相似三角形面积的比是 2 2 ( ) 3 =4：9．故选 C． 考点：相似三角形的性质． 6．（2015 白银）如图，D．E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，DE∥AC，若 S△BDE： S△CDE=1：3，则 S△DOE：S△AOC 的值为（ ） A． 1 3 B． 1 4 C． 1 9 D． 1 16 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵S△BDE：S△CDE=1：3，∴BE：EC=1：3；∴BE：BC=1：4；∵DE∥AC， ∴△DOE∽△AOC，∴ DE BE AC BC = = 1 4 ，∴S△DOE：S△AOC= 2 ( ) DE AC = 1 16 ，故选 D．
考点:相似三角形的判定与性质 7.(2015淮安)如图,11∥12∥3,直线a,b与11、12、B分别相交于A、B、C和点D、E、 F.若BC3,DE=4,则EF的长是 It 3 B.3 【答案】C. 【解析】 HB DE 试题分析:∵h1∥l2Ml2, 即 ,解得:EF=6.故选C. BC EF 考点:平行线分线段成比例 8.(2015乐山)如图,4∥2m4,两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D AB 3 DE E、F.已知BC2,则DF的值为() B 【答案】D. 【解析】 Ab 3 DE AB 3 3 试题分析:∵ hAul2u Bc 2 DF=AC=3+2=5,故选D 考点:平行线分线段成比例 9.(2015宜宾)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2, ∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为()
考点：相似三角形的判定与性质． 7．（2015 淮安）如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1、l2、l3 分别相交于 A、B、C 和点 D、E、 F．若 3 2 = BC AB ，DE=4，则 EF 的长是（ ） A． 3 8 B． 3 20 C．6 D．10 【答案】C． 考点：平行线分线段成比例． 8．（2015 乐山）如图， 1 l ∥ 2 l ∥ 3 l ，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、B、C 和 D、 E、F．已知 3 2 AB BC = ，则 DE DF 的值为（ ） A． 3 2 B． 2 3 C． 2 5 D． 3 5 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵ 1 l ∥ 2 l ∥ 3 l ， 3 2 AB BC = ，∴ DE DF = AB AC = 3 3 2 + = 3 5 ，故选 D． 考点：平行线分线段成比例． 9．（2015 宜宾）如图，△OAB 与△OCD 是以点 O 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2， ∠OCD=90°，CO=CD．若 B（1，0），则点 C 的坐标为（ ）
B.(1,1) D.(2,1) 【答案】B 【解析】 试题分析:∵∠OAB=∠OCD=90°,A0=AB,CO=CD,等腰R△Q4B与等腰R△OCD是位似图形,点B 的坐标为(1,0),∴,B0=1,则A0=AB=-,∴,A(,),∴等腰R△O4B与等腰R△OCD是位似图 形,O为位似中心,相似比为1:2,∴点C的坐标为:(1,1).故选B 考点:1.位似变换:2.坐标与图形性质 10.(2015十堰)在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(-6,-4),以原点O为 位似中心,相似比为2,把△ABO缩小,则点A的对应点A的坐标是() B.(-8,4 C.(-8,4)或(8,-4) 【答案】D 【解析】 试题分析:∵点A(-4,2),B(-6,-4),以原点O为位似中心,相似比为2,把△ ABO缩小,∴点A的对应点A的坐标是:(-2,1)或(2,-1).故选D. 考点:1.位似变换;2.坐标与图形性质 k 11.(2015眉山)如图,A、B是双曲线x上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D 点,垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为() 8 B
A．（1，2） B．（1，1） C．（ 2 ， 2 ） D．（2，1） 【答案】B． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 10．（2015 十堰）在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点 O 为 位似中心，相似比为 1 2 ，把△ABO 缩小，则点 A 的对应点 A′的坐标是（ ） A．（﹣2，1） B．（﹣8，4） C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2， ﹣1） 【答案】D． 【解析】 试题分析：∵点 A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点 O 为位似中心，相似比为 1 2 ，把△ ABO 缩小，∴点 A 的对应点 A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选 D． 考点：1．位似变换；2．坐标与图形性质． 11．（2015 眉山）如图，A、B 是双曲线 x k y = 上的两点，过 A 点作 AC⊥x 轴，交 OB 于 D 点，垂足为 C．若△ADO 的面积为 1，D 为 OB 的中点，则 k 的值为（ ） A． 3 4 B． 3 8 C．3 D．4
【答案】B 【解析】 试题分析:过点B作BE⊥x轴于点E,∵D为OB的中点,∴CD是△OBE的中位线,即CD=BE,设A (x,2),则B(2,y),故CD=y,AD=2-y,△ADO的面积为1,:1ADOC=1, 1(-2)x=1 x 4. 解得y=21…k=xy=y23·故选B 考点:1.反比例函数系数k的几何意义;2.相似三角形的判定与性质 12.(2015绵阳)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC 折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE:CF=() 4 4 7 【答案】B 【解析】
【答案】B． 考点：1．反比例函数系数 k 的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 12．（2015 绵阳）如图，D 是等边△ABC 边 AB 上的一点，且 AD：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点 C 与 D 重合，折痕为 EF，点 E，F 分别在 AC 和 BC 上，则 CE：CF=（ ） A． 3 4 B． 4 5 C． 5 6 D． 6 7 【答案】B． 【解析】
试题分析:由折叠的性质可得,∠EDF=∠C=60°,CE=DE,CF=DF.∵∠BDF-∠ADE=∠BDF-∠BFD=120°, ∠ADE=∠BFD,又∵∠A=∠B=60°,∴△AED△BD,, DE AD AE ,设AD=a,BD=2a, DF BF BD AB=BC=CA=3a,再设CE=DE=x,CF==DF-y,则AE=3ax,BF=3ay,所以 ,整理可 得a=3a-y,2a=3a-y,即x=3a-q①,=3a-2a②;把①代入②可得3a-a=3q-2a,所以5a=4a, x 4a 4 CE y5a5,即CF5,故选B 考点:1.翻折变换(折叠问题):2.相似三角形的判定与性质:3.综合题. 13.(2015常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则这称这两个扇形相似.如 图,如果扇形AOB与扇形AlO1B1是相似扇形,且半径OA:O1A1=k(k为不等于0的常 数).那么下面四个结论: ①∠AOB=∠AOBl:②△AOB∽△A1OB1: AB :④扇形AOB与扇形A1OlBl 的面积之比为 成立的个数为() BI B 1个 3个D.4个 【答案】D. 【解析】 nZI 180_F 试题分析:由扇形相似的定义可得:180 所以n=n1故① 因为∠AOB=∠A101B1,OA:O1A=k,所以△AOB∽△A101B1,故②正确
5 4 5 4 = = a a y x ，即 5 4 = CF CE ，故选 B． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题． 13．（2015 常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如 图，如果扇形 AOB 与扇形 A1O1B1 是相似扇形，且半径 OA：O1A1=k（k 为不等于 0 的常 数）．那么下面四个结论： ①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③ 1 1 AB k AB = ；④扇形 AOB 与扇形 A1O1B1 的面积之比为 2 k ． 成立的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D． 【解析】 试题分析：由扇形相似的定义可得： 1 1 1 180 180 n r r n r r = ，所以 n=n1 故①正确； 因为∠AOB=∠A101B1，OA：O1A1=k，所以△AOB∽△A101B1，故②正确；
AB OA 因为△AOB∽△A1O1B1,故4B1A=,故国正确 由扇形面积公式0·xr2 可得到④正确 故选D 考点:1.相似三角形的判定与性质:2.弧长的计算:3.扇形面积的计算;4.新定义;5.压 轴题 14.(2015株洲)如图,已知AB、CD、FF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1, CD=3,那么EF的长是() 4 B 4 【答案】C. 【解析】 试题分析:4B、CD、EF都与BD垂直,:AB∥CD∥EF,:△DEF△DB,△BERC△BCD,E=D5, AB DB EF BF EFEF DF BF BD EFEF =1.∵AB=1,CD=3,∴+ 1,∴:EP=3.故选C CD BD AB CD DB BD BD 考点:相似三角形的判定与性质 15.(2015黔西南州)在数轴上截取从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M, 如图1:将AB折成正三角形,使点A、B重合于点P,如图2:建立平面直角坐标系,平 移此三角形,使它关于y轴对称,且点P的坐标为(0,2),PM的延长线与x轴交于点N (n,0),如图3,当m=√3 时,n的值为() 2 4-2 B 2√3 y 图1
因为△AOB∽△A101B1，故 1 1 1 1 AB OA A B O A = =k，故③正确； 由扇形面积公式 2 360 n r 可得到④正确． 故选 D． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；4．新定义；5．压 轴题． 14．（2015 株洲）如图，已知 AB、CD、EF 都与 BD 垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB=1， CD=3，那么 EF 的长是（ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 3 4 D． 4 5 【答案】C． 考点：相似三角形的判定与性质． 15．（2015 黔西南州）在数轴上截取从 0 到 3 的对应线段 AB，实数 m 对应 AB 上的点 M， 如图 1；将 AB 折成正三角形，使点 A、B 重合于点 P，如图 2；建立平面直角坐标系，平 移此三角形，使它关于 y 轴对称，且点 P 的坐标为（0，2），PM 的延长线与 x 轴交于点 N （n，0），如图 3，当 m= 3 时，n 的值为（ ） A． 4 2 3 − B． 2 3 − 4 C． 3 3 2 − D． 3 3 2
【答案】A 【解析】 试题分析:∵AB=3,△PDE是等边三角形,∴PD=PE=DE=1,以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系, △PDE关于y轴对称,∴P⊥DE,DF=EF,DE∥x轴,∴P=y,∴△PM△PON,∵:m=√,∴ PMA 3-3 PF PM 即 OP ON ON 解得:M=4-2√3.故选A 考点:1.相似三角形的判定与性质;2.实数与数轴:3.等边三角形的性质:4.平移的性 质;5.综合题:6.压轴题 16.(2015宁波)如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的 A2处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为hl:还原纸片后,再将△ADE沿着过 AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕DIE1到 BC的距离记为h2:按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕 D2014E2014到BC的距离记为h2015,到BC的距离记为h2015.若h1=1,则h2015的值为 Az B 【答案】D 【解析】 试题分析:连接AA1,由折叠的性质可得:AA1⊥DE,DA=DA1,又∵D是AB中点,∴ DA=DB,∴DB=DA1,∴∠BAID=∠B,∴∠ADAl=2∠B,又∵∠ADA1=2∠ADE,∴∠ ADE=∠B,:DE∥BC,:A1⊥BC,:A=2,:h=2=1=1,同理,b2 11 h3= 2 经过第n次操作后得到的折痕Dn-1En-1到BC的距离hm=2, 2014 2015 故选D
【答案】A． 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．实数与数轴；3．等边三角形的性质；4．平移的性 质；5．综合题；6．压轴题． 16．（2015 宁波）如图，将△ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的 A2 处，称为第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过 AD 中点 D1 的直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A2 处，称为第 2 次操作，折痕 D1E1 到 BC 的距离记为 h2；按上述方法不断操作下去…，经过第 2015 次操作后得到的折痕 D2014E2014 到 BC 的距离记为 h2015，到 BC 的距离记为 h2015．若 h1=1，则 h2015 的值为 （ ） A． 2015 2 1 B． 2014 2 1 C． 2015 2 1 1− D． 2014 2 1 2 − 【答案】D． 【解析】 试题分析：连接 AA1，由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，又∵D 是 AB 中点，∴ DA=DB，∴DB=DA1，∴∠BA1D=∠B，∴∠ADA1=2∠B，又∵∠ADA1=2∠ADE，∴∠ ADE=∠B，∴DE∥BC，∴AA1⊥BC，∴AA1=2，∴h1=2﹣1=1，同理，h2= 1 2 2 − ， h3= 1 1 2 2 2 − = 2 1 2 2 − ， … ∴经过 第 n 次 操作后 得到的 折痕 Dn﹣1En﹣ 1 到 BC 的距离 hn= 1 1 2 2 n− − ，∴ h2015= 2014 2 1 2 − ，故选 D．
D, 考点:1.相似三角形的判定与性质:2.三角形中位线定理;3.翻折变换(折叠问题):4.规 律型;5.综合题 17.(2015天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放 水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB ⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是米 【答案】8 【解析】 试题分析:由题意可得:∠APE=∠CPE,∴,∠APB=∠CPD,∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴,∠ABP=∠CDP=90° B CD △ABPC△CDP,·'BPPD B=2米,BP=3米,PD=12米,∴=,CD=8米,故答案为 考点:相似三角形的应用 18.(2015柳州)如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2, EF=3EH,那么EH的长为 C 【答案】 2
考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规 律型；5．综合题． 17．（2015 天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点 P 处放 一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB ⊥BD，CD⊥BD，测得 AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度 CD 是 米． 【答案】8． 考点：相似三角形的应用． 18．（2015 柳州）如图，矩形 EFGH 内接于△ABC，且边 FG 落在 BC 上．若 BC=3，AD=2， EF= 2 3 EH，那么 EH 的长为 ． 【答案】 3 2 ．