北师大新版九年级上册《第2章一元二次方程》2015年单元测 试卷 精心选一选,相信自己的判断!(每小题3分,共30分) 1.方程2x2-3=0的一次项系数是() A.-3B.2C.0D.3 2.方程x2=2x的解是() 方程x2-4=0的根是() A.x=2B.x=-2C.x1=2,x2=-2D.x=4 4.若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0无实数根,则k的最小整数值是() 1B.0C.1 用配方法解一元二次方程x2-4x-5=0的过程中,配方正确的是() A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9D.(x-2)2=9 6.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如 图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程 是() ( 50ct C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0 7.已知直角三角形的三边长为三个连续整数,那么,这个三角形的面积是() 6B.8C.10D 8.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为() A.12B.12或15C.15D.不能确定 9.若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等,则k的取值范围是() A.1B.1或-1C.-1D.2
北师大新版九年级上册《第 2 章 一元二次方程》2015 年单元测 试卷 一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题 3 分，共 30 分） 1．方程 2x2﹣3=0 的一次项系数是( ) A．﹣3 B．2 C．0 D．3 2．方程 x 2=2x 的解是( ) A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 3．方程 x 2﹣4=0 的根是( ) A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 4．若一元二次方程 2x（kx﹣4）﹣x 2+6=0 无实数根，则 k 的最小整数值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．用配方法解一元二次方程 x 2﹣4x﹣5=0 的过程中，配方正确的是( ) A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 6．在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如 图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程 是( ) A．x 2+130x﹣1400=0 B．x 2+65x﹣350=0 C．x 2﹣130x﹣1400=0 D．x 2﹣65x﹣350=0 7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( ) A．6 B．8 C．10 D．12 8．方程 x 2﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A．12 B．12 或 15 C．15 D．不能确定 9．若关于一元二次方程 x 2+2x+k+2=0 的两个根相等，则 k 的取值范围是( ) A．1 B．1 或﹣1 C．﹣1 D．2
10.科学兴趣小组的同学们,将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件,全组共互赠 了132件,那么全组共有()名学生 A.12B.12或66C.15D.33 二、耐心填一填:(把答案填放相应的空格里.每小题3分,共15分) 11.写一个一元二次方程,使它的二次项系数是-3,一次项系数是2 12.-1是方程x2+bx-5=0的一个根,则b= 另一个根是 方程(2y+1)(2y-3)=0的根是 14.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2,x1+x2= 1.用换元法解方程22x=2-3时,如果设y=2-2x,则原方程可化为关于y的 元二次方程的一般形式是 、按要求解一元二次方程: 16.按要求解一元二次方程 (1)4x2-8x+1=0(配方法 (2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法) (3)3x2+5(2x+1)=0(公式法) (4)x2-2x-8=0 四、细心做一做 20.有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成 如果竹篱笆的总长为35m,求鸡场的长与宽各为多少? 墙长18米 150平方米 篙笆 21.如图所示,在一块长为32米,宽为15米的矩形草地上,在中间要设计-横二竖的等宽 的、供居民散步的小路,要使小路的面积是草地总面积的八分之一,请问小路的宽应是多少 米?
10．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠 了 132 件，那么全组共有( )名学生． A．12 B．12 或 66 C．15 D．33 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题 3 分，共 15 分）． 11．写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是 2：__________． 12．﹣1 是方程 x 2+bx﹣5=0 的一个根，则 b=__________，另一个根是__________． 13．方程（2y+1）（2y﹣3）=0 的根是__________． 14．已知一元二次方程 x 2﹣3x﹣1=0 的两根为 x1、x2，x1+x2=__________． 15．用换元法解方程 +2x=x2﹣3 时，如果设 y=x2﹣2x，则原方程可化为关于 y 的一 元二次方程的一般形式是__________． 三、按要求解一元二次方程： 16．按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x 2﹣2x﹣8=0． 四、细心做一做： 20．有一面积为 150m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m），另三边用竹篱笆围成， 如果竹篱笆的总长为 35 m，求鸡场的长与宽各为多少？ 21．如图所示，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽 的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少 米？
22.某企业2006年盈利1500万元,2008年克服全球金融危机的不利影响,仍实现盈利2160 万元.从2006年到2008年,如果该企业每年盈利的年增长率相同,求 (1)该企业2007年盈利多少万元? (2)若该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计2009年盈利多少万元? 23.中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时,每月能卖出500件,经市场调查,这种 衬衫每件涨价4元,其销售量就减少40件.如果商场计划每月赚得8000元利润,那么售价 应定为多少?这时每月应进多少件衬衫? 24.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8m,BC=6m,点P由C点出发以2m/s的速度 向终点A匀速移动,同时点Q由点B出发以lm/s的速度向终点C匀速移动,当一个点到 达终点时另一个点也随之停止移动 (1)经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的? (2)经过几秒,△PCQ与△ACB相似? (3)如图2,设CD为△ACB的中线,那么在运动的过程中,PQ与CD有可能互相垂直吗? 若有可能,求出运动的时间:若没有可能,请说明理由 图1 图2
22．某企业 2006 年盈利 1500 万元，2008 年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利 2160 万元．从 2006 年到 2008 年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业 2007 年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计 2009 年盈利多少万元？ 23．中华商场将进价为 40 元的衬衫按 50 元售出时，每月能卖出 500 件，经市场调查，这种 衬衫每件涨价 4 元，其销售量就减少 40 件．如果商场计划每月赚得 8000 元利润，那么售价 应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？ 24．如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点 P 由 C 点出发以 2m/s 的速度 向终点 A 匀速移动，同时点 Q 由点 B 出发以 1m/s 的速度向终点 C 匀速移动，当一个点到 达终点时另一个点也随之停止移动． （1）经过几秒△PCQ 的面积为△ACB 的面积的 ？ （2）经过几秒，△PCQ 与△ACB 相似？ （3）如图 2，设 CD 为△ACB 的中线，那么在运动的过程中，PQ 与 CD 有可能互相垂直吗？ 若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．
北师大新版九年级上册《第2章一元二次方程》2015 年单元测试卷 精心选一选,相信自己的判断!(每小题3分,共30分) 1.方程2x2-3=0的一次项系数是() A.-3B.2C.0D.3 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a0)特别要注意a≠0 的条件,这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项, c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项 【解答】解:方程2x2-3=0没有一次项,所以一次项系数是0.故选C 【点评】要特别注意不含有一次项,因而一次项系数是0,注意不要说是没有 2.方程x2=2x的解是() A.x=0B.x=2C.x1=0,x2=2D.x1=0,x2=√2 【考点】解一元二次方程-因式分解法:因式分解-提公因式法 【专题】因式分解 【分析】把右边的项移到左边,用提公因式法因式分解,可以求出方程的两个根 【解答】解:x2-2x=0 x(x-2)=0 x1=0, 故选C. 【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程,把右边的项移到左边,用提公因式法 因式分解,可以求出方程的根 方程x2-4=0的根是() A.x=2B.X=-2C.x1=2,x2=-2D.x=4 【考点】解一元二次方程-直接开平方法. 【分析】先移项,然后利用数的开方解答 【解答】解:移项得ⅹ2=4,开方得ⅹ=±2 x1=2, 故选C. 【点评】(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0),ax2=b(a,b同号 且a≠0),(x+a)2=b(b≥0),a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:要把方程化为“左平方 右常数,先把系数化为1,再开平方取正负,分开求得方程解” (2)运用整体思想,会把被开方数看成整体 (3)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点 4.若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0无实数根,则k的最小整数值是() lB.0C.1D.2
北师大新版九年级上册《第 2 章 一元二次方程》2015 年单元测试卷 一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题 3 分，共 30 分） 1．方程 2x2﹣3=0 的一次项系数是( ) A．﹣3 B．2 C．0 D．3 【考点】一元二次方程的一般形式． 【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项， c 是常数项．其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【解答】解：方程 2x2﹣3=0 没有一次项，所以一次项系数是 0．故选 C． 【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是 0，注意不要说是没有． 2．方程 x 2=2x 的解是( ) A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法． 【专题】因式分解． 【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根． 【解答】解：x 2﹣2x=0 x（x﹣2）=0 ∴x1=0，x2=2． 故选 C． 【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法 因式分解，可以求出方程的根． 3．方程 x 2﹣4=0 的根是( ) A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】先移项，然后利用数的开方解答． 【解答】解：移项得 x 2=4，开方得 x=±2， ∴x1=2，x2=﹣2． 故选 C． 【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a（a≥0），ax2=b（a，b 同号 且 a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c 同号且 a≠0）．法则：要把方程化为“左平方， 右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”； （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体； （3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 4．若一元二次方程 2x（kx﹣4）﹣x 2+6=0 无实数根，则 k 的最小整数值是( ) A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】根的判别式:一元二次方程的定义 【分析】先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式:(2k-1)x2-8x+6=0,要方程 无实数根,则△=82-4×6(2k-1)一,则满足条件的最小整数k为2 故选D 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+e=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△ >0,方程有两个不相等的实数根:当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有 实数根 5.用配方法解一元二次方程x2-4x-5=0的过程中,配方正确的是() A.(x+2)2=1B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9D.(x-2)2=9 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】先移项,再方程两边都加上一次项系数一半的平方,即可得出答案. 【解答】解:移项得:x2-4x= 配方得:x2-4x+22=5+22, 故选D 【点评】本题考查了解一元二次方程,关键是能正确配方 6.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如 图所示,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程 是() 80cm ( 50ct C.x2-130x-1400=0D.x2-65x-350=0 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题 【分析】本题可设长为(80+2x),宽为(50+2x),再根据面积公式列出方程,化简即可 【解答】解:依题意得:(80+2x)(50+2x)=5400 即4000+260x+4x2=5400, 化简为:4x2+260x-1400=0 即x2+65x-350= 故选:B
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】先把方程变形为关于 x 的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x 2﹣8x+6=0，要方程 无实数根，则△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数 k． 【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x 2﹣8x+6=0， 当△＜0，方程没有实数根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0， 解得 k＞ ，则满足条件的最小整数 k 为 2． 故选 D． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式．当△ ＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有 实数根． 5．用配方法解一元二次方程 x 2﹣4x﹣5=0 的过程中，配方正确的是( ) A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考点】解一元二次方程-配方法． 【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【解答】解：移项得：x 2﹣4x=5， 配方得：x 2﹣4x+22=5+22， （x﹣2）2=9， 故选 D． 【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方． 6．在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如 图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么 x 满足的方程 是( ) A．x 2+130x﹣1400=0 B．x 2+65x﹣350=0 C．x 2﹣130x﹣1400=0 D．x 2﹣65x﹣350=0 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】几何图形问题． 【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可． 【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400， 即 4000+260x+4x2=5400， 化简为：4x2+260x﹣1400=0， 即 x 2+65x﹣350=0． 故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程的运用,解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再 进行化简. 7.已知直角三角形的三边长为三个连续整数,那么,这个三角形的面积是() A.6B.8C.10D.12 【考点】勾股定理 【分析】设这三边长分别为x,x+1,x+2,根据勾股定理可得出(x+2)2=(x+1)2+x2,解 方程可求得三角形的三边长,利用直角三角形的性质直接求得面积即可 【解答】解:设这三边长分别为x,x+1,x+2, 根据勾股定理得:(x+2)2=(x+1)2+x2 解得:x=-1(不合题意舍去),或ⅹ=3 ∴x+1=4,x+2=5 则三边长是3,4,5, ∴三角形的面积=x4=6 故选:A 【点评】本题考査了勾股定理、直角三角形面积的计算方法;熟练掌握勾股定理,由勾股定 理得出方程是解决问题的关键 8.方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为() A.12B.12或15C.15D.不能确定 【考点】等腰三角形的性质:解一元二次方程因式分解法:三角形三边关系 【专题】分类讨论 【分析】先解一元二次方程,由于未说明两根哪个是腰哪个是底,故需分情况讨论,从而得 到其周长 【解答】解:解方程x2-9x+18=0,得x1=6,x2=3 ∵当底为6,腰为3时,由于3+3=6,不符合三角形三边关系 等腰三角形的腰为6,底为3 ∴周长为6+6+3=15 故选C. 【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用,注意分类讨论 9.若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等,则k的取值范围是( A.1B.1或-1C 【考点】根的判别式 【分析】根据判别式的意义得到△=22-4(k+2)=0,然后解一次方程即可 【解答】解:根据题意得Δ=22-4(k+2)=0 解得k=-1 故选 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式△=b2-4ac:当△>0, 方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数 根
【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再 进行化简． 7．已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是( ) A．6 B．8 C．10 D．12 【考点】勾股定理． 【分析】设这三边长分别为 x，x+1，x+2，根据勾股定理可得出（x+2）2=（x+1）2+x2，解 方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可． 【解答】解：设这三边长分别为 x，x+1，x+2， 根据勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2 解得：x=﹣1（不合题意舍去），或 x=3， ∴x+1=4，x+2=5， 则三边长是 3，4，5， ∴三角形的面积= ××4=6； 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定 理得出方程是解决问题的关键． 8．方程 x 2﹣9x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A．12 B．12 或 15 C．15 D．不能确定 【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系． 【专题】分类讨论． 【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得 到其周长． 【解答】解：解方程 x 2﹣9x+18=0，得 x1=6，x2=3 ∵当底为 6，腰为 3 时，由于 3+3=6，不符合三角形三边关系 ∴等腰三角形的腰为 6，底为 3 ∴周长为 6+6+3=15 故选 C． 【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论． 9．若关于一元二次方程 x 2+2x+k+2=0 的两个根相等，则 k 的取值范围是( ) A．1 B．1 或﹣1 C．﹣1 D．2 【考点】根的判别式． 【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根据题意得△=22﹣4（k+2）=0， 解得 k=﹣1． 故选 C． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0， 方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数 根．
10.科学兴趣小组的同学们,将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件,全组共互赠 了132件,那么全组共有()名学生 A.12B.12或66C.15D.33 【考点】一元二次方程的应用 【分析】设全组共有ⅹ名学生,每一个人赠送ⅹ-1件,全组共互赠了ⅹ(x-1)件,共互 赠了132件,可得到方程,求解即可 【解答】解:设全组共有x名学生,由题意得 x(x-1)=13 解得 (不合题意舍去),x2=12 答:全组共有12名学生 故选:A 【点评】本题考查一元二次方程的实际运用,找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键 二、耐心填一填:(把答案填放相应的空格里.每小题3分,共15分). 11.写一个一元二次方程,使它的二次项系数是-3,一次项系数是2:-3x2+2x-3=0 【考点】一元二次方程的一般形式 【专题】开放型. 【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可 【解答】解:由题意得:-3x2+2x-3=0 故答案为:-3x2+2x-3=0 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0 (a,b,c是常数且a0)特别要注意a≠0的条件.在一般形式中a,b,c分别叫二次项系 数,一次项系数,常数项 12.-1是方程x2+bx-5=0的一个根,则b=-4,另一个根是 【考点】一元二次方程的解 【分析】把x=-1代入方程得出关于b的方程1+b-2=0,求出b,代入方程,求出方程的 解即可 【解答】解:∵x=-1是方程x2+bx-5=0的一个实数根 把x=-1代入得:1-b-5=0, 解得b= 即方程为x2-4x-5=0, (x+1)(x-5)=0 解得:x1=-1,x2=5, 即b的值是-4,另一个实数根式5 故答案为:-4,5 【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念:使方程两边成立的未知数的值叫方程的解 13.方程(2y+1)(2y-3)=0的根是y三 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】因式分解 【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程,解这两个一次方程即可求 得
10．科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠 了 132 件，那么全组共有( )名学生． A．12 B．12 或 66 C．15 D．33 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】设全组共有 x 名学生，每一个人赠送 x﹣1 件，全组共互赠了 x（x﹣1）件，共互 赠了 132 件，可得到方程，求解即可． 【解答】解：设全组共有 x 名学生，由题意得 x（x﹣1）=132 解得：x1=﹣11（不合题意舍去），x2=12， 答：全组共有 12 名学生． 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题 3 分，共 15 分）． 11．写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是 2：﹣3x2+2x﹣3=0． 【考点】一元二次方程的一般形式． 【专题】开放型． 【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可． 【解答】解：由题意得：﹣3x2+2x﹣3=0， 故答案为：﹣3x2+2x﹣3=0． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0 （a，b，c 是常数且 a≠0）特别要注意 a≠0 的条件．在一般形式中 a，b，c 分别叫二次项系 数，一次项系数，常数项． 12．﹣1 是方程 x 2+bx﹣5=0 的一个根，则 b=﹣4，另一个根是 5． 【考点】一元二次方程的解． 【分析】把 x=﹣1 代入方程得出关于 b 的方程 1+b﹣2=0，求出 b，代入方程，求出方程的 解即可． 【解答】解：∵x=﹣1 是方程 x 2+bx﹣5=0 的一个实数根， ∴把 x=﹣1 代入得：1﹣b﹣5=0， 解得 b=﹣4， 即方程为 x 2﹣4x﹣5=0， （x+1）（x﹣5）=0， 解得：x1=﹣1，x2=5， 即 b 的值是﹣4，另一个实数根式 5． 故答案为：﹣4，5； 【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解． 13．方程（2y+1）（2y﹣3）=0 的根是 y1=﹣ ，y2= ． 【考点】解一元二次方程-因式分解法． 【专题】因式分解． 【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求 得．
【解答】解:∵(2y+1)(2y-3) 2y+1=0或2y-3=0, 解得y=-2922 【点评】解此题要掌握降次的思想,把高次的降为低次的,把多元的降为低元的,这是解复 杂问题的一个原则 14.已知一元二次方程x2-3x-1=0的两根为x1、x2,x1+x2=3. 【考点】根与系数的关系. 【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1,x2, 则 b 代入计算即可 【解答】解:∵一元二次方程x2-3x-1=0的两根是x1、x2 故答案为:3. 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为 5.用换元法解方程 +2x=x2-3时,如果设y=x2-2x,则原方程可化为关于y的 元二次方程的一般形式是y2-3y-1=0. 【考点】换元法解分式方程. 【专题】换元法 【分析】此题考查了换元思想,解题的关键是要把x2-2x看做一个整体 【解答】解:原方程可化为: y-x 1 3=0 1-y2+3y=0 【点评】此题考査了学生的整体思想,也就是准确使用换元法.解题的关键是找到哪个是换 元的整体 按要求解一元二次方程 16.按要求解一元二次方程 (1)4x2-8x+1=0(配方法) (2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法) (3)3x2+5(2x+1)=0(公式法)
【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0， ∴2y+1=0 或 2y﹣3=0， 解得 y1= ，y2= ． 【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复 杂问题的一个原则． 14．已知一元二次方程 x 2﹣3x﹣1=0 的两根为 x1、x2，x1+x2=3． 【考点】根与系数的关系． 【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x2， 则 x1+x2=﹣ ，代入计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程 x 2﹣3x﹣1=0 的两根是 x1、x2， ∴x1+x2=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1，x2，则 x1+x2=﹣ ，x1•x2= ． 15．用换元法解方程 +2x=x2﹣3 时，如果设 y=x2﹣2x，则原方程可化为关于 y 的一 元二次方程的一般形式是 y 2﹣3y﹣1=0． 【考点】换元法解分式方程． 【专题】换元法． 【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把 x 2﹣2x 看做一个整体． 【解答】解：原方程可化为： ﹣（x 2﹣2x）+3=0 设 y=x2﹣2x ﹣y+3=0 ∴1﹣y 2+3y=0 ∴y 2﹣3y﹣1=0． 【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换 元的整体． 三、按要求解一元二次方程： 16．按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x 2﹣2x﹣8=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法:解一元二次方程-配方法;解一元二次方程公式法 【分析】(1)首先将常数项移到等号的右侧,将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平 方,即可将等号左边的代数式写成完全平方形式 (2)方程移项变形后,采用提公因式法,可得方程因式分解的形式,即可求解 (3)方程化为一般形式,找出二次项系数,一次项系数及常数项,计算出根的判别式,发 现其结果大于0,故利用求根公式可得出方程的两个解 (4)方程左边分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可 【解答】解:(1)4x2-8x+1=0(配方法) 移项得,x2-2=-1. 配方得,x2-2x+1=-+1, (x-1) X1=1+。,x2 (2)7x(5x+2)=6(5x+2)(因式分解法 7x(5x+2)-6(5x+2) (5x+2)(7x-6)=0, ∴5X+2=0,7x-6=0, (3)3x2+5(2x+1)=0(公式法) 整理得,3x2+10x+5=0 ∵a=3,b=10,c=5,b2-4ac=100-60=40, b± ∴X 4ac-10± 2 2×3 5+ (4)x2-2x-8=0 (x+4)(x-2)=0 x+4=0,x-2=0 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元 次方程 四、细心做一做: 20.有一面积为150m2的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成 如果竹篱笆的总长为35m,求鸡场的长与宽各为多少?
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平 方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． （2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解． （3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发 现其结果大于 0，故利用求根公式可得出方程的两个解． （4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法） 移项得，x 2﹣2x=﹣ ， 配方得，x 2﹣2x+1=﹣ +1， （x﹣1）2= ， ∴x﹣1=± ∴x1=1+ ，x2=1﹣ ． （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） 7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0， （5x+2）（7x﹣6）=0， ∴5x+2=0，7x﹣6=0， ∴x1=﹣ ，x2= ； （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） 整理得，3x2+10x+5=0 ∵a=3，b=10，c=5，b 2﹣4ac=100﹣60=40， ∴x= = = ， ∴x1= ，x2= ； （4）x 2﹣2x﹣8=0． （x+4）（x﹣2）=0， ∴x+4=0，x﹣2=0， ∴x1=﹣4，x2=2． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元 一次方程． 四、细心做一做： 20．有一面积为 150m2 的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 m），另三边用竹篱笆围成， 如果竹篱笆的总长为 35 m，求鸡场的长与宽各为多少？
墙长18米 150平方米 篙笆 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】设养鸡场的宽为xm,则长为(35-2x),根据矩形的面积公式即可列方程,列方程 求解 【解答】解:设养鸡场的宽为xm,则长为(35-2x),由题意得ⅹ(35-2x)=150 解这个方程x115 x2=10 当养鸡场的宽为x1=15时,养鸡场的长为20m不符合题意,应舍去, 当养鸡场的宽为x1=10m时,养鸡场的长为15m. 答:鸡场的长与宽各为15m,10m 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用,难度一般 21.如图所示,在一块长为32米,宽为15米的矩形草地上,在中间要设计-横二竖的等宽 的、供居民散步的小路,要使小路的面积是草地总面积的八分之一,请问小路的宽应是多少 米 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题 【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”,把小路移到一起正好构 成一个矩形,矩形的长和宽分别是(32-2x)和(15-x),列方程即可求解 【解答】解:设小路的宽应是x米,则剩下草总长为(32-2x)米,总宽为(15-x)米 由题意得(32-2x)(15-x)=32×15×(1-) 即x2-31x+30=0 解得x1=30x2=1 路宽不超过15米 x=30不合题意舍去 答:小路的宽应是1米 【点评】找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键
【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】设养鸡场的宽为 xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程 求解． 【解答】解：设养鸡场的宽为 xm，则长为（35﹣2x），由题意得 x（35﹣2x）=150 解这个方程 ；x2=10 当养鸡场的宽为 时，养鸡场的长为 20m 不符合题意，应舍去， 当养鸡场的宽为 x1=10m 时，养鸡场的长为 15m． 答：鸡场的长与宽各为 15m，10m． 【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般． 21．如图所示，在一块长为 32 米，宽为 15 米的矩形草地上，在中间要设计﹣横二竖的等宽 的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少 米？ 【考点】一元二次方程的应用． 【专题】几何图形问题． 【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好构 成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解． 【解答】解：设小路的宽应是 x 米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米， 由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣ ） 即 x 2﹣31x+30=0 解得 x1=30 x2=1 ∵路宽不超过 15 米 ∴x=30 不合题意舍去 答：小路的宽应是 1 米． 【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．