扰算课 学练优九年级数学上(BS) 专题课件 专题复习:“一线三等角”模型的应用
优翼 课件 学练优九年级数学上(BS) 专题课件 专题复习：“一线三等角”模型的应用
学习目标 1通过观察、比较、归纳,总结“一线三等角”图 形的基本特征 2在不同的背景中认识和把握基本图形,体会抽象 模型,图形变换,变式类比的思想方法 学习重点 运用“一线三等角”模型进行的相关计算与证明
学习目标 1.通过观察、比较、归纳，总结“一线三等角”图 形的基本特征； 2.在不同的背景中认识和把握基本图形，体会抽象 模型，图形变换，变式类比的思想方法. 学习重点 运用“一线三等角”模型进行的相关计算与证明
问题牵引 引例:如图,将矩形ABCD沿线段AE翻折,使得 点D落在BC上点F处,若AB=3,BC=5求CE的长 方法一:利用勾股定理,略 方法二:利用相似三角形 E解:设CE=x,则DE=3x C由折叠可知AF=AD=5,∠AFE=∠D=90° 由勾股定理得BF=4,∴CF=BC-BF=1 由同角的余角相等得∠BAF=∠EFC 又∴∠B=∠C,∴△ABF∽△FCE, B BF AB ∴x CE CF 3
引例：如图，将矩形ABCD沿线段AE翻折，使得 点D落在BC上点F处，若AB=3，BC=5.求CE的长. F D B C A E 方法一：利用勾股定理，略 方法二：利用相似三角形 解：设CE=x，则DE=3-x. 由折叠可知AF=AD=5,∠AFE=∠D=90° 由勾股定理得BF=4，∴CF=BC-BF=1. 由同角的余角相等得∠BAF=∠EFC， 又∵∠B=∠C，∴△ABF∽△FCE, ∴ 即 E B C A F 问题牵引 , BF AB CE CF = 4 3 4 , . 1 3 x x = =
探究新知 问题1:如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90° E,D,F分别在AB,BCAC上,且∠EDF=45°,试判断 △DBE与△FCD是否相似?并说明理由 解:相似理由如下: AB=AC,∠BAC=90°, ∠CBA=∠ACB=45°, ∴∠BED+∠BDE=135° ∠FDE=45° ∴∠CDF+∠BDE=135°,B ∠BED=∠CDF 又∵∠CBA=∠ACB, △EBD∽△DCF
问题1：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°， E,D,F分别在AB,BC,AC上，且∠EDF=45° ,试判断 △DBE与△FCD是否相似？并说明理由. F B C A E 解：相似.理由如下： ∵AB=AC，∠BAC=90° , ∴∠CBA=∠ACB=45°， ∴∠BED+∠BDE=135°， ∵∠FDE=45°， ∴∠CDF+∠BDE=135°， ∴∠BED=∠CDF， 又∵∠CBA=∠ACB， ∴△EBD∽△DCF. 探究新知 D
问题2:若∠B=∠C=∠EDF=60°,△DBE与△FCD是 否相似? 解:相似理由如下: ∠EDF=∠B, ∠EDC=∠B+∠BED, ∠BED=∠FDC ∠B=∠C, △EBD∽△DCF D
问题2：若∠B=∠C=∠EDF=60° ,△DBE与△FCD是 否相似？ F B C A E D 解：相似.理由如下： ∵∠EDF=∠B， ∠EDC=∠B+∠BED, ∴∠BED=∠FDC. ∵∠B=∠C， ∴△EBD∽△DCF
可题3:当三个角为任意角时,结论还成立吗? (1)如图①,在△ABC中,AB=AC,E,DF分别在 AB,BC,AC上,且∠EDF=∠B.这时△DBE与△FCD 是否依然相似? 解:相似理由如下: ∠EDF=∠B, ∠EDC=∠B+∠BED ∠BED=∠FDC D C AB=AC 图① ∠B=∠C, △EBD∽△DCF
问题3：当三个角为任意角时，结论还成立吗？ （1）如图，在△ABC中，AB=AC，E,D,F分别在 AB,BC,AC上，且∠EDF=∠B.这时△DBE与△FCD 是否依然相似？ 解：相似.理由如下： ∵∠EDF=∠B， ∠EDC=∠B+∠BED, ∴∠BED=∠FDC. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△EBD∽△DCF. （1） F B C A E D 图
(2)如图②,点D在BC上,且∠EDA=∠B=∠C. 上述结论是否成立? 解:成立∵∠EDA=∠B ∠ADC=∠B+∠BAD ∠BAD=∠EDC ∠B=∠C, 图② △ABD∽△DCE
（2）如图，点D在BC上，且∠EDA=∠B=∠C. 上述结论是否成立？ （2） E B C A D 图 解：成立.∵∠EDA=∠B， ∠ADC=∠B+∠BAD, ∴∠BAD=∠EDC. ∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△DCE
抽象模型 线三等角:当某条直线或线段上的依次排列着三 个等角时,首尾两个角所在的三角形相似,我们把 这种特殊的相似,叫作“一线三等角” B D C B B 基本方法:利用三角形的外角的性质,实现角的关 系转换,进而运用相似三角形的判定定理加以证明
一线三等角：当某条直线或线段上的依次排列着三 个等角时，首尾两个角所在的三角形相似，我们把 这种特殊的相似，叫作“一线三等角”. 基本方法：利用三角形的外角的性质，实现角的关 系转换，进而运用相似三角形的判定定理加以证明. E B C A F （1） F B C A E D （2） E A B D C 抽象模型
图形辨析 问题4下列每个图形中,∠1=∠2=∠3,请你快速找 出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形 (对应顶点写在对应位置) G C B D B C B E )△EBF∽△FCG;(2)△ABD∽△DCE (3)△AEF△DGE;(4)△BEF∽△CDE
问题4:下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找 出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形 (对应顶点写在对应位置）. 1 2 3 1 2 3 3 2 1 3 2 1 F A D G A D E G C A D B B CB C B C E F A D E F E 图形辨析 (1)△EBF∽△FCG; (2)△ABD∽△DCE; (3)△AEF∽△DGE; (4)△BEF∽△CDE. (1) (2) (3) (4)
变式应用 等腰(等边)三角形为背景的“一线三等角”问题 例:如图,在边长为9的等边三角形ABC中,BD=3, ∠ADE=60°则AE长为7 解析:由题意知∠B=∠C=∠ADE, 易证△ECD∽△DBA, CE CD BD BA AB=BC=9, BD=3 c∴CD=6 ∴CE=2,∴AE=7
等腰(等边)三角形为背景的“一线三等角”问题 例：如图，在边长为9的等边三角形ABC中，BD=3， ∠ADE=60°.则AE长为 . 解析：由题意知∠B=∠C=∠ADE， 易证△ECD∽△DBA, ∵AB=BC=9，BD=3 ∴CD=6 ∴CE=2，∴AE=7. 变式应用 . CE CD BD BA = 7