特殊的平行四边形 r解读考点 名师点晴 1.矩形的性质/会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想,并用 演绎推理加以证明:能运用矩形的性质解决相关问题 矩形 会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否 .矩形的判定 是矩形 1.菱形性质 能应用这些性质计算线段的长度 菱形 2.菱形的判别|能利用定理解决一些简单的问题 1.正方形的性了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关 系,能够熟练运用正方形的性质解决具体问题 正方形 掌握正方形的判定定理,并能综合运用特殊四边形的性质和 2.正方形判定/判定解决问题,发现决定中点四边形形状的因素,熟练运用 2.正方形判定特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断,并能对自 己的猜想进行证明 2年中考 【2015年题组】 1.(2015崇左)下列命题是假命题的是() A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B.对角线互相垂直的矩形是正方形 C.对角线相等的菱形是正方形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 试题分析:A.“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是判定四边形为平行四边形的基本方法,故该命 题正确 B.对角线互相平分的四边形为平行四边形,若对角线再相等则为矩形,矩形的对角线再垂直时为正方形, 故该命题正确; C.平行四边形的对角线若相等则为矩形,是判定四边形为矩形的常见方法,故该命题正确; D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形,不能是任意四边形,故该命题错误; 故选D 考点:1.正方形的判定:2.平行四边形的判定;3.菱形的判定:4.矩形的判定 2.(2015连云港)已知四边形ABCD,下列说法正确的是()
特殊的平行四边形 ☞解读考点 知 识 点 名师点晴 矩形 1．矩形的性质 会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，并用 演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关问题． 2．矩形的判定 会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边形是否 是矩形 菱形 1．菱形性质 能应用这些性质计算线段的长度 2．菱形的判别 能利用定理解决一些简单的问题 正方形 1．正方形的性 质 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关 系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题 2．正方形判定 掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和 判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用 特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自 己的猜想进行证明 ☞2 年中考 【2015 年题组】 1．（2015 崇左）下列命题是假命题的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B．对角线互相垂直的矩形是正方形． C．对角线相等的菱形是正方形． D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形． 【答案】D． 考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定． 2．（2015 连云港）已知四边形 ABCD，下列说法正确的是（ ）
A.当AD=BC,AB∥DC时,四边形ABCD是平行四边形 B.当AD=BC,AB=DC时,四边形ABCD是平行四边形 C.当AC=BD,AC平分BD时,四边形ABCD是矩形 D.当AC=BD,AC⊥BD时,四边形ABCD是正方形 【答案】B. 【解析 试题分析:∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,∴A不正确 两组对边分别相等的四边形是平行四边形,∴B正确 对角线互相平分且相等的四边形是矩形,∴C不正确 ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,∴D不正确 故选 考点:1.平行四边形的判定;2.矩形的判定:3.正方形的判定 3.(2015徐州)如图,菱形中,对角线AC、BD交于点O,E为AD边中点,菱形ABCD 的周长为28,则OE的长等于() B.4 【答案】A 【解析】 试题分析:∵菱形ABCD的周长为28,∴AB=28÷4=7,OB=OD,∵E为AD边中点,∴OE 是△ABD的中位线,∴OE=2AB=2×7=3.5.故选A 考点:菱形的性质 4.(2015柳州)如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF AE=EF,现有如下结论:①BE=2GE:②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH 其中,正确的结论有() A.1个 C.3个 【答案】B
A．当 AD=BC，AB∥DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形 B．当 AD=BC，AB=DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形 C．当 AC=BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形 D．当 AC=BD，AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形 【答案】B． 【解析】 试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A 不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B 正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确； 故选 B． 考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定． 3．（2015 徐州）如图，菱形中，对角线 AC、BD 交于点 O，E 为 AD 边中点，菱形 ABCD 的周长为 28，则 OE 的长等于（ ） A．3.5 B．4 C．7 D．14 【答案】A． 【解析】 试题分析：∵菱形 ABCD 的周长为 28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E 为 AD 边中点，∴OE 是△ABD 的中位线，∴OE= 1 2 AB= 1 2 ×7=3.5．故选 A． 考点：菱形的性质． 4．（2015 柳州）如图，G，E 分别是正方形 ABCD 的边 AB，BC 的点，且 AG=CE，AE⊥EF， AE=EF，现有如下结论：①BE= 1 2 GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B．
【解析】 试题分析:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC,∵AC=CE,∴BC=BE,由勾股定理得 BE=GE,∴①错误 BC=BE,∠B=90°,∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°,∴∠GAE+∠AEG=4 AE⊥EF ∠AEF=90°,∴∠BEC=45°,∴,∠AEG+∠FEC=45°,,∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中,AG=CE ∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF,∴②正确; ∠AGE=∠ECF=135°,∴,∠FCD=135°-90°=45°,∴,③正确; ∠BGE=∠BEG=45°,∠AEC+∠FEC=45°,∴,∠FEC<45°,∴,△GBE和△ECH不相似,∴④错误; 即正确的有2个.故选B 考点:1.全等三角形的判定与性质;2.正方形的性质:3.相似三角形的判定与性质:4.综 合题 5.(2015内江)如图所示,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正 方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为() E 2√3 2√6 【答案】B 【解析】 试题分析:连接BD,与AC交于点F.∵点B与D关于AC对称,∴PD=PB,∴PDPE=PB-P=BE最小∵ 正方形ABCD的面积为12,∴,4B=2√3.又:△ABE是等边三角形,∴,BE=AB=2√3.故所求最小值为 2√.故选B E 考点:1.轴对称-最短路线问题;2.最值问题;3.正方形的性质 6.(2015南充)如图,菱形ABCD的周长为8cm,高AE长为√3cm,则对角线AC长和
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综 合题． 5．（2015 内江）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正 方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A． 3 B． 2 3 C． 2 6 D． 6 【答案】B． 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质． 6．（2015 南充）如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为 3 cm，则对角线 AC 长和
BD长之比为() A.1:2 B.1:3 【答案】D 【解析】 试题分析:如图,设AC,BD相较于点O,∵菱形ABCD的周长为8cm,∴AB=BC=2cm, 高AE长为√3cm,∴BE=√AB2-AE2=1(cm),:CE=BE=1cm,∴:AC=AB=2cm OA=lm. ACLBD,: OB-VAB2-0A'-V3 (cm, BD-20B=2 3cm.:Ac BD=1√3 故选D D 考点:菱形的性质 7.(2015安徽省)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD 上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是() 【答案】C
BD 长之比为（ ） A．1：2 B．1：3 C．1： 2 D．1： 3 【答案】D． 【解析】 试题分析：如图，设 AC，BD 相较于点 O，∵菱形 ABCD 的周长为 8cm，∴AB=BC=2cm， ∵高 AE 长为 3 cm，∴BE= 2 2 AB AE − =1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm， ∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB= 2 2 AB OA − = 3 （cm），∴BD=2OB= 2 3 cm，∴AC： BD=1： 3 ．故选 D． 考点：菱形的性质． 7．（2015 安徽省）如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4．点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上，点 G、H 在对角线 AC 上．若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ） A． 2 5 B．3 5 C．5 D．6 【答案】C．
【解析】 试题分析:连接EF交AC于O,∵四边形EGF是菱形,∴,EF⊥AC,OE=OF,∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB,在△CFO与△AOE中,∵∠FCO=∠OAB,∠FOC=∠AOE, OF=OE, △CPO≌△AOE,:AO=Co,:AC√AB2+BC-45,;A0-1c-25,∠CAB=∠CB,∠E 90°,∴,△AOEC△ABC,∴,AO:AB=AE:AC, 2√5E 84.反,AE=5,故选C H E 考点:1.菱形的性质:2.矩形的性质 8.(2015十堰)如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE 且∠ECF=45°,则CF的长为() 【答案】A 【解析】 试题分析:如图,延长PD到G,使DC=BE,连接CG、EF;∵四边形ABCD为正方形,在△BCE与△DCG 中,∵CB=CD,∠CBE=∠CDG,BE=DG,∴△BCE≌△DCG(S.45),∴,CG=CE,∠DCG=∠BCE,∴∠ GCF=45°,在△GCF与△ECF中,∵GC=EC,∠GCF=∠ECF,CF=CF,,△GCF≌△ECF(SAS),∴GF=EF, C=3,CB=6,:8=VcE-cB2√35)-63,AB3,设AP=,则2=6-x,GP=3+(6 x)=9-x,∴EF=√4E+x2=V9+x2,∴(9-x)2=9+x2,∴x=4,即AF=4,∴GF=5,∴,DF=2, =2√10,故选A
考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质． 8．（2015 十堰）如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E、F 分别在 AB，AD 上，若 CE= 3 5 ， 且∠ECF=45°，则 CF 的长为（ ） A． 2 10 B．3 5 C． 5 10 3 D．10 5 3 【答案】A．
G E 考点:1.全等三角形的判定与性质:2.勾股定理:3.正方形的性质:4.综合题:5.压 轴题 9.(2015鄂州)在平面直角坐标系中,正方形 AIBIClDI、DEIE2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3 A3B3C3D3按如图所示的方式放置,其中点B1在y轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4 C3.在x轴上,已知正方形 AIBICID1的边长为1,∠BC10=60°,BlCl∥B2C2∥B3C3. 则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是() B.2 D JA D, B: C 【答案】D. 【解析】 试题分析:∵正方形A1B1CD1的边长为1,∠B1C10=60°,B1C1MB2C2MB:C3…,∴D1E1=B2E1,D2E1=BE, DCE=∠CE=∠C2BE=30°,∴:.D2E=CD30=,则B:C=y,同理可得:B:C3==(3)2, 故正方形ABCD的边长是:(5y=,则正方形4cD的边长是:()2+,故选D 考点:1.正方形的性质:2.规律型;3.综合题 10.(2015广安)如图,已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°, 则四边形EFGH的面积为 cm2
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压 轴题． 9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、 A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点 B1 在 y 轴上，点 C1、E1、E2、C2、E3、E4、 C3…在 x 轴上，已知正方形 A1B1C1D1 的边长为 1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3… 则正方形 A2015B2015C2015D2015 的边长是（ ） A． 2014 2 1 （ ） B． 2015 2 1 （ ） C． 2015 3 3 （ ） D． 2014 3 3 （ ） 【答案】D． 考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题． 10．（2015 广安）如图，已知 E、F、G、H 分别为菱形 ABCD 四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°， 则四边形 EFGH 的面积为 cm2．
【答案】 【解析】 试题分析:连接AC,BD,相交于点O,如图所示,∵E、F、G、H分别是菱形四边上的中 点,∴EH=2BD=FG,EH∥BD∥FG,EF=2AC=HG,∴四边形EHGF是平行四边形, 菱形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形,∵四边形ABCD是菱形, ∠ABC=60°,∴∠ABO=30°,∵AC⊥BD,∴∠AOB=90°,∴AO=2AB=3,∴AC=6,在 R△AOB中,由勾股定理得:OB=√AB2-Or=3√3,∴BD=63,:EH=2BD, 3,EF=3,;矩形EFGH的面积王FHG=95cm2.故答案为:93 考点:1.中点四边形;2.菱形的性质 11.(2015凉山州)菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,顶点B(2,0), ∠DOB=60°,点P是对角线OC上一个动点,E(0,-1),当EP+BP最短时,点P的坐标 【答案】(2√3-32-√3
【答案】 9 3 ． 【解析】 试题分析：连接 AC，BD，相交于点 O，如图所示，∵E、F、G、H 分别是菱形四边上的中 点，∴EH= 1 2 BD=FG，EH∥BD∥FG，EF= 1 2 AC=HG，∴四边形 EHGF 是平行四边形，∵ 菱形 ABCD 中，AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形 EFGH 是矩形，∵四边形 ABCD 是菱形， ∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∵AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO= 1 2 AB=3，∴AC=6，在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：OB= 2 2 AB OA − = 3 3 ，∴BD= 6 3 ，∵EH= 1 2 BD， EF= 1 2 AC，∴EH= 3 3 ，EF=3，∴矩形 EFGH 的面积=EF•FG= 9 3 cm2．故答案为： 9 3 ． 考点：1．中点四边形；2．菱形的性质． 11．（2015 凉山州）菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B（2，0）， ∠DOB=60°，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E（0，﹣1），当 EP+BP 最短时，点 P 的坐标 为 ． 【答案】（ 2 3 3 − ， 2 3 − ）．
【解析】 试题分析:连接ED,如图, 点B的对称点是点D,∴,DP=BP,∴,ED即为EP-BP最短,四边形ABCD是菱形,顶点B(2,0), ∠DOB=60,;点D的坐标为(1,5),;点C的坐标为(,5),可得直线OC的解析式为:y=3x, 点E的坐标为(-1,0),∴可得直线ED的解析式为:y=(1+√5)x-1,…∵点P是直线OC和直线ED 的交点,∴点P的坐标为方程组(y=(1+5)x-1的解,解方程组得:U=2-√ 所 以点P的坐标为(23-3,2-√3),故答案为:(2√3-3,2-3 考点:1.菱形的性质:2.坐标与图形性质;3.轴对称-最短路线问题;4.动点型:5.压 轴题;6.综合题 12.(2015潜江)菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0), 点B的坐标为(0,√3),动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→的路径,在菱 形的边上以每秒05个单位长度的速度移动,移动到第2015秒时,点P的坐标 【答案】(0.5,2)
的交点，∴点 P 的坐标为方程组 3 3 (1 3) 1 y x y x = = + − 的解，解方程组得： 2 3 3 2 3 x y = − = − ，所 以点 P 的坐标为（ 2 3 3 − ， 2 3 − ），故答案为：（ 2 3 3 − ，2 3 − ）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压 轴题；6．综合题． 12．（2015 潜江）菱形 ABCD 在直角坐标系中的位置如图所示，其中点 A 的坐标为（1，0）， 点 B 的坐标为（0， 3 ），动点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱 形的边上以每秒 0.5 个单位长度的速度移动，移动到第 2015 秒时，点 P 的坐标 为 ． 【答案】（0.5， 3 2 − ）．
【解析】 试题分析:4(1,0),B(0,√5),AB=12+(5)2=2.,点P的运动速度为05米秒,从点A 到点B所需时间=2÷0.5叫4秒,∴沿A-B-C-D-4所需的时间=4×4=16秒.2015÷16=125.15,∴移 动到第2015秒时,点P怡好运动到AD的中点,∴P(0.5 故答案为:(05,、5 考点:1.菱形的性质:2.坐标与图形性质:3.规律型:4.综合题 13.(2015北海)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点 E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE 【答案】8 【解析】 试题分析:∵正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,∴∠BAC=45°,AB ∥DC ADC=90°, CAE=15° ∠E=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°.∵在 R△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,∴AE=2AD=8.故答案为:8 考点:1.含30度角的直角三角形:2.正方形的性质 14.(2015南宁)如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数 是 【答案】45° 【解析】 试题分析:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵等边三角形ADE,∴AD=AE,∠DAE= ∠AED=60°,∠BAE=∠BAD+∠DE=90°+60°=150°,AB=AE,∠AEB=∠ABE=(180°-∠BAE)÷2=15°, ∠BED=∠DAE-∠AEB=60°-15°=45°,故答案为:45° 考点:1.正方形的性质:2.等边三角形的性质 15.(2015玉林防城港)如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点 P,Q分别是边BC,CD的动点(均不与顶点重合),当四边形AEPQ的周长取最小值时, 四边形AEPQ的面积是
考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题． 13．（2015 北海）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，点 E 在 DC 边的延长线上．若∠CAE=15°，则 AE= ． 【答案】8． 【解析】 试题分析：∵正方形 ABCD 的边长为 4，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∴∠BAC=45°，AB ∥DC，∠ADC=90°，∵∠CAE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=45°﹣15°=30°．∵在 Rt△ADE 中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8． 考点：1．含 30 度角的直角三角形；2．正方形的性质． 14．（2015 南宁）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边△ADE，则∠BED 的度数 是 ． 【答案】45°． 考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质． 15．（2015 玉林防城港）如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时， 四边形 AEPQ 的面积是 ．
【答案】2 【解析】 试题分析:如图1所示,作E关于BC的对称点E,点A关于DC的对称点A,连接AE, 四边形AEPQ的周长最小,∵AD=AD=3,BE=BE=1,∴AA=6,AE=4.∵DQ∥AE,D 是AA的中点,∴DQ是△AAE的中位线,∴DQ=2AE=2:CQ=DC-CQ=3-2=1,∵BP BP BE BP ∥AA,∴△BEP∽△AEA,∴;AA'AE',即6 BP=2, CP=BC-BP=2-2 S四边形AEPQ=S正方形ABCD-S△ADQ-S△PCQ-SBEP=9-2ADDQ-2CQCP BEBP=9-2×3×2-2×1×2-2×1×2=2,故答案为:2 考点:1.轴对称-最短路线问题;2.正方形的性质 16.(2015达州)在直角坐标系中,直线y=x+与y轴交于点A,按如图方式作正方形 AlBIC1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2 l、A2、A3.在直线y=x+1 上,点C1、C2、 C3.在x轴上,图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为、S2、S3
【答案】 9 2 ． 【解析】 试题分析：如图 1 所示，作 E 关于 BC 的对称点 E′，点 A 关于 DC 的对称点 A′，连接 A′E′， 四边形 AEPQ 的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D 是 AA′的中点，∴DQ 是△AA′E′的中位线，∴DQ= 1 2 AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，∵BP ∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴ ' ' ' BP BE AA AE = ，即 1 6 4 BP = ，BP= 3 2 ，CP=BC﹣BP= 3 3 2 − = 3 2 ， S 四边形 AEPQ=S 正方形 ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣ 1 2 AD•DQ﹣ 1 2 CQ•CP﹣ 1 2 BE•BP=9﹣ 1 2 ×3×2﹣ 1 2 ×1× 3 2 ﹣ 1 2 ×1× 3 2 = 9 2 ，故答案为： 9 2 ． 考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质． 16．（2015 达州）在直角坐标系中，直线 y x = +1 与 y 轴交于点 A，按如图方式作正方形 A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线 y x = +1 上，点 C1、C2、 C3…在 x 轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为 1 S 、 2 S 、 3 S 、… n S ，则 n S