门式刚果的应力与形变 分析建筑结构的应力状况，对于施工村料的选择及建筑结构的安全性至关重要。图 1为门式架的示章图，别架由杆型梁柱构成，材料的弹性模量为品：BC杆的长度为 12m西惯性矩为了AB杆和CD杆的长度郁是6m,能而惯性拒均为3.架中， AB杆受到均匀截简g=1m的作用，BC杆的端点B受到集中截葡P=t的作用. 希望能分析此刚架的应力情况，特别地。要求出最危验的杆端处的客矩数值， 12m 图1门式刚果及受力 图2门式刚架的形变 【分析】这是典型的超静定系统。两结合梁杆的形变进行分析，不雅想象，在图1 的受力情况下，刷架会发生以觉察到的形及，AB杆和CD杆向右弯曲、C杆则变减 “S形，这些形变可用3个故据米定量描达：杆BC在B点、C点处分别有一个顺时针方 向的微小角位移=和✉=同时点B、点C都有一个向右的微小规位移，如 图2所示，架杆端的高矩共有6个款值： Mur Ma Mao Mes Meo Mpe 其中Mu表示杆AB在B点处的寓柜，M表示杆BC在B点处的霉矩，两者的含义不 同。其他4个宽矩的含义与比类以，这些宽矩县然与杆的变形及受力有关， 【求解】先逐个列出各弯柜的定置表达式，根据材科力学原理，M由4个部分叠 加而成，这4个韶分是在杆AB中，分别由A点角位移、B点角位移、B点线位积以及
门式刚架的应力与形变
外戟荷单独写引起的点A处的写矩。具体表达式为： M=的au如+aua-所知望+6， (1) 其中J=m是AB杆的杆长，s是AB杆的材料结构常置，等干它的群性根置Z、酰面 惯性炬3V的乘积与杆长之比，即 B.313E11 1A话= 162 u是A端点处的角位移，显燃u=0是B端点处的角位移，已设为pu=:4@ 是端点垂直于杆B的线位移，已设为4=品是作用于AB杆的均匀截简g引起的 零矩，可从相关表中查状公式并计草得到 %-g2 -3tm 12 这里有负号是因为该弯矩呈顺时针方向。将这些纪有数据代入(1》式，可得到化简式， 应用与(1)式类似的公式，求得另外5个写矩的表达式并进行化简，便得到方程组 MAB EJ.21 E 2 3-3 MaA=2EJ 2 23+3 EJ Mc了西+G 1 (2) Mcs=- 6+ 3 Mep= BI 27-2 Mpe= U 则-2 为方便起见。写引入新安量 EJ 为= (3) 6 0=1.2,3, 并将方程如表示成矩阵形式 F十d (4) 其中 M 6 0 分 Mga 12 0 》 M= Mae Mes A= 1 x= a 2 0 M 0 12 3000 Mpe) 0 6 -3 0
由于x末知，所以从方程(4》求不出M不过我们能够建立写矩平衡式，分别是结点 B、结点C的力柜平衡、柱端的真力平衡，即 ∑Mg-MBA+MBc=0 ∑Mc=Mcn+Mcm=0 ∑x=P+ Mcp+Mpe =0 2 第三式中p=1,=1,杆长u=1m=m,故可化简为 Mu十Mu十Mcs十Mc=-24. 这三个平衡武也可以表示成柜阵或 BA-B. (5) 耳中 01100 0 B=000110 110011 -24 方程组(5》有3个方程、6个受堂，当然求不出碑定的解，不过可以和方程(4)结合 起来，将方程《4》代入方程(5》，得到 b=Ag十=Bg十a 移项后得到矩阵形式的方程组 (A-Ba (6) 计随矩阵的乘积和矩库的差：
(6 -3 1100 0 12 0 -3 14 1 -31 BA= 0 0 001 1 2 1 1 2 0 夕 1 0011 18 18 -12 0 农 -3 0 6 -3 -3 01 0 1 00 0 30 01 -3 b-Ba= 0 0 0 1 0 0 0 300 0 -24 1 0 1 -24 0 -24 0 于是〔6》式成了方程组 14 1 -3 3 14 -3 0 18 18 -12 24 可以通过拒阵消元技术求解此方程组.。 这里我们用另一种方法求解。先将第三个方程约 简，成为 14 3 14 3 3 -2 然后利用件随矩阵求左端柜阵的定矩阵：
14 -3 -3 1 -3 3 -3》 -2 3 -2 14 -3 1 -3 14 -3 14 -3 -19 -7 39 1 -19 9 3 -2 3 -2 3 -2 -3 -39 -39 9 14 14 14 1 3 3 3 3 1 14 14 1 -3 0 -195 39 -195 39 14 -3 1 14 -156, -39 3 3 -2 0 -39 7 14 1 -3 -19 -7 39 所以注炬阵等干 1 14 -3 -7 -19 39 于是通过逆阵的乘 -156 3 -2 -39 -39195 法直摔求得方程组的解： 14 1 -3 -3 -19 -7 39 -3 39 1 1 7 -19 39 45 -156 52 3 3 -2 39 -39 195 4 221 即两■ 33 45 221 回代到《3》式可得3个微小的位移量分别等于 52 99 135 663 而 2687· 21■ 26R 为■ 26EJ
6 0 -3 -621 12 0 3 -111 2 0 33 3 回代到(4)式可得 1 45 0 M= 1 11 52 1 2 0 0 123 221 52 0 12 -3 0 -123 0 6 -3 0 393 即6个有矩分别等于 M=- 621 111 111 52 =-11.94tm,MM= =-2136m,MC= 52 =213m 52 123 McB= =2.37, 123 52 McD=- 52 =-2.37m, Me-3 =-7.56tm 2 【评注】矩阵消元技术用于变堂较多的方程组比较有利，但该方法疑做除法，遇到 近似计时比校复杂、误差积累大，伴随矩阵可以透免除法运草，但当矩裤阶数超过4 时。求件随柜阵的运直堂呈指敬级上升，故此法只能用于小型问题。 在房屋建筑中，有各种横梁、屋果、柱子和基础箭等，构成了房屋的骨果。它们承 受着各种载荷（例如风、雪、内置设备以及自身重置等）的作用。在设计和建法一幢房 型时，要做到情心设计、槽心施工，必领从实际出发，根据结构所受的荷以及耳他外 来因素的响，进行各构件的能面设计，壁如，要设计房型建筑中的一根钢渐混凝土梁， 究竟要多相，里面要放多少明萧，这些明箱受放在什么位置，才能保证这根染概满足使 用的要球（不至于断梨城者产生过大写曲）、而又不浪费建筑材料呢？这些都是房层结 构设计中需要解决的国题。然而，在进行构件的面设计之前，心须知道纺构在外简载 作用下各能而所产生的内功， 在进行结构的内力分析时，总是塑建立许多的方程，当方程的数目很大时，把它们 一个个表示出来已经很伤的筋。接下来的求解更为复杂，即使利用计算机款件射解，也 先要理出一个头绪，才能顺利地输入数据、发布指今，从本例看出，运用矩车技术处理 方程组的司题，可以事半功偏，方程钳的阵形式使人一目了然，阵运算的整体性效 能又使求解变得轻松自如，而且矩阵化的敖学语言在专业技术交流中起到了不可替代的 作用.。所以学好、用会线性代敌知识，对于建筑专业的从业人员来说，买在是一件非常 重要的事情