建造房屋窗据的材料准备 在房型建造中，材料准备是一个很重垫的环节。材料准备不足会茄雾工程的进度， 佑时岩船还会因材质差异鬟响施工质觉，而材科准备过多会造成浪费，增加建风成本。 今有一幢待建筑的楼房，需型制作100付窗果，用长8m的铝合金杆村切赵窗采用料， 母付果需1.7m的材料2根、15m的材绑4根、06m的材料12根。现在要计算 下，应准备铝合金杆材多少根？还要为施工人员确定窗科的切围方常， 【分析】先准多计草一下，每付它采用科长度是 2×1.7+4×1.5+12×0.6=166m 制作1000付窗果，使用长8m的铝合金杆材雾要(1000×16.句+8=205根。由于切需 会产生余料，所以实际用量应在此故之上。 此外，切不当也是造成浪费的原因.比如8m杆材花取17m的宽科最多就4根， 要准备该种窗升1000×2=2000根，需用杆材2000÷4=500根：8m杆材能取15m的 窗料最多截5根，该种密科要准备1000×4■4000根，需用杆村4000÷5=800根：以 上1300根杆材切利后的余料还能能取1000根06m的窗用科，不足部分西需使月(1000 ×12一100心÷13=846.2根杆材，这样总计用料（取空）2147根，比最少用料多卫根. 有没有比这更好的切害方案呢？ 这个方需之所以相最是因为只考虑到3种切围方式。为了有更大的桃选余地，应该 考志多种切方式，表1列出了所有16种可能的切割方式，表中的数字是一根8m长 铝合金杆材切三种留科的根数，例如刚才相略方索中提到的3种方式分别是剪】号、 第11号、第16号方式
建造房屋窗框的材料准备
表1 8m杆村切西料的各种方式 、 方式 里积 3 4567第910111213141516 长度 17m 43 3 2 2 1 0 0 0 0 1.5m 01 03 2 4 3 0 2 0 06m 224020 3 581003 58105 余km 002050.1040300300305020502c502 不能指型用凑款的方法寻找最优方案，应该先设置变量。今设坡照第：号方式切测 的铝合金杆材为，根(1=1,2，·，16)，则根据切得到的各种窗科根款应不少于需 求常，可建立不蒋式 4两+3两+3万+2不+25+%++而+两+0 22000 两+3无+2两+4+3两◆2希+两+51+4西1◆3◆2五4+ 24000 2有+2+4布+2+3x,+5+85+10xm◆31+543+8xw+10两5+136212000 这是诸变量应满足的约束条件，我们的日标是希望所用的杆材总数最少，即 【求解】为了用线性方程翅的理论求解比间题，我们通过增加三个非负变量、 x:将不等式约束化为等式约束，并与目标的做列在一起《注章式两边改变符 号、目标还数式左右互换)：
一4丙-3而-一一0 + =-2000 一3-一 =-4000 (1 -2为-2两--8两-100--1045-136 +0=-12000 再卡五3卡中而十+中5卡6 -0+y 前三个方程中，省略号略去的各项系故均是表1中故字的相反款增加的三个非负变量 :分别表示三个不等式的束左右的差值，显然这里的变置都应满足非负条 件名20(1=1,2，…，19》.现在利用矩阵的初等变筷来“求解”这4个方程构成的 规性方程组。 方程组的变量太多，看能不能找点窍门，表1中第1、T、9号方式的余料为0，能 够物尽耳用，想必是好的分副方式，但3种方式太少，再加上第4号方式（余料为01）， 其他方式的余料都此这4种方式多，故不子考志，平除、、好、动外，今道一中 的耳她12个变量都等于零。这杆方程组(1)只刚下7个变量，耳增厂拒阵为 -4-2-1-1!100!-2000 0-3-3-1010 -4000 T- (2) -20-3-80011-12000 111000H 0 对增厂拒阵T施行初等行变领，要求把右边一列常致都变为非负数，以满足变量的非负 性整求，为了尽快得到结果，先考虑最负（绝对值最大）的常数项一12000，要把它变 为非负款，必须在第3行中选一个负煎作为主元.第3行中有三个负被： =2、=3、-8, 哪一个好呢？ 用最小比值法选择主元，具体的做法是将最后一行对应的元素以这3个负数并取 他对值，得到3个比值 111 2·3'8
其中1倍最小，故选该比值对应的（一多）为主元，用最小此值法选主元可以保清服后 一行的元素徐右下角外总是非负数。初饰行变烧的过程如下： -375-2 -0.6250110-0.125！-500 0.25 -3 (-2.6250001-0.125-2500 0.25 00.375 1100-0.1251500 0.75 1 0625 01000.1251-1500 等 7917 18 19 -38095-1.285700！1 -0.2381-0.0952!95.2 -009521.1429100-03810 0.0476 9524 0.2857 -042860100.1429 -0.1429!11429 0.8095 0.285700002381 0.09521-20952 以上运算是通过矩阵的闲去变换来实现的。滑去变换的日的是把主元所在列的其他 元素全都变为心.例如上面第2个柜阵中，选取（一262均作为主元（用“(）”号做了 标记)，要把第3列的一0.625、0375和0.625变为0，具体通面过3个阴去变换来实现 第2行每个元素第以-0625 2625 扣到第1行的对应元素上去： 第2行每个元素以 262,加到第3行的对吸元素上去， 0375 第2行每个元素乘以 26:加到第4行的对姬元素上去 0.625 同时第2行每个元素以一0.625（主元的情），经这样的变换，第3列变减了基本单 位列，并且得到了最后（第3个）的炬阵，为了近免读取铺误，在最后一个柜阵上方标 注了变量的序号。从最后的短阵中读出一组基本可行解：主元变量粉=524，。一 1142.g,=52非主元交量x=4=xw=xw=0
将矩阵的最后一行还原成日标数，即 0.8095+0.2857x4+0.23818+0.0952g=-2095.2+y 显然这组解对应的目标值是y=2095.2,怡是拖阵右下角元素的相反敌。如果频一组别 的解，则、4x中必有某些变量取非零的正值（注意非负条件），从上式看出 这样会引起目标值”的增加，所以上述基本可行解就是增厂炬阵(2)对应的最优解， 由此可见，我们在矩阵变领中保持矩车最后一行为非负（除右下角外）。具有判定最优 解的作用，称之为最优性条件， 这组解取整后为好=953=1143，所用铝合金杆材的总款为953十1143=2096 根.这个方窝比射面的粗格方窝（总数2147根）有很大改进，但仍出最小下界(2075 根)2引根，应该还有清力可挖，耳原因是17m的密科出=防根。被浪费掉了， 看来载取方式的选择范还得扩大，在表1中考电所有余补科小于等于02m的方式 它们是第1、2、4、7、9、1214、16号方式，令一x6中的其他8个受量都等于零 (不予考虑)，于是方程姐《1)劓下11个变量，增厂柜阵及其变领过程如下（注意选 负数与最小此值法) 12479121416 -4-3-2-1-100011001-2000 0-1-3-3-1-4-20010-4000 T= -2-20-3-8-3-8〔-13)001-12000 111111 110000 -4 -3-2 -1 0 00!10 0 -2000 0 =1 =3 3 40-20010 -4000 2132/1303/138/133/138/131100-1/131 12000/13 11/1311/13110/135/1310/135130001/13-12000/13
-4 -3 -2←D-10004100 -2000 0 1143/4341/411/2010-1/4 0 1000 2135152-9/523/5229/5201/2103/52-113: 900013 111317/2611/265/265/26000105/26113-2200013 4 3 211000-1 0 0 2000 -3 -2 -3/40(-1/2)11/203/4-1/4 0 -500 -113-1/13-15/5201/201/2131523/52 -113 70013 1131131/26000005/265126113-27000:3 1 2 479121416 -2 -1 1/210210!1/2 -1/2 0 1000 6 4 3/201-2-10-3/21/2 0 1000 40/13-27/13-27/2600111121/26-5/26-1/134100013 4113 1131/260000015/265/261/131-27000月3 这里柜阵上方标注的是变量的序号。从最后矩车中读得最优解是x,=1000,。=1000, =1000们3=7（取竖），其他变常都取0，最小目标值为=207.这已漏近最小下 界20们5，所以粒取方式的选择范玉不必再扩大，可认为已得聚优解，8m的铝仓金杆村 应准备2077根，耳中1000根技第7号方式切副《每根截取1.7m窗料1根，15m和 0.6m窗用各3根》，1000枫按第9号方式切利（每根载取17m和1.5m密科径1根， 0.6m窗科8根)，还有刀根按第16号方式切《每根截取06m窗料13根). 【评注】本例是在一些约束多件下求目标故的最小值，由于约束条件与目标的做 都具有性特征，拉称线性规刻。链性规划在生产践、经济管理、系纯运行中有看非 常厂泛的应用，是解决各种忧化问题的躁有效的方法之一， 通过拒阵的初等变换求解线性规划，称为单纯形法。在矩阵变换中，主元变量又称 为基变量，具他安置称为非基变量。今非基受置全部取0，可风矩阵聚后一列出基变 量的取值。这样的解称为基本可行解。单纯形法的每一步郁是选择一对基变量与非基变 置进行角色转换，因而叫敏换基边代。换基选代种现了路实是础、步步进取的科学思想， 哥一步都充分利用前面的运草成果，并且有最优性资件和非负性条件作为具体的运算轨 道，可以从随单的积爱中获得最忧的结果。 对于最小化目标证函数来说，机性规划的最忧性条件是拒阵聚后一行元素要佩特减设 法变为全望非负，对于最大化日标款，则反过来要求柜阵最后一行元素保持球设法变 为全部非正， 解决变量很多、钓束条件很多的大型的线性规划间题，人工计尊以承受E大的运 真量，这时可借助于电子计算机软件进行运算。有了计草机软件的支持，线性规划的应 用前景更为阔