动态库存的优化 印染厂承接一项短产品，与需求方经定了供货合同，今后四个月的产品需求量依 次为2,3,2,4件。钩售收入已经锁定，接下来要定四个月的生产库存计龙，使成 本费用达到最低。由于是短线产品，所以生产能力足筋，可以在一个月内把所有产品都 生产出来，也可以分批生产。不论在任何时潮，生产每找产品的固定减本为3千元，可 变成本为每件产品】千元，即当月生产x件产品。生产成本（以千元计）为 C(x)=3+x《x>0)及C0=0. 如果当月的生产量超过常求堂，则扣徐当月的需球堂后，制埃的产品存入仓库。并带支 付每月每件05千元的存储费。同时规定期初（第一月初）和期末（第四月末）均无产 品岸存，该厂应如同安排各月的生产与库存数置，使所花的总费用最低？ 【分析】这是一个连续决问题。工厂每个月初而对一定量的库存，根据库存状 进行决第，决定当月的生产量，一且决定了生产量，下个月初的库存状已确定， 为了简化计算，先作一番简单的分析：由于生产成本C(x)=3+x中含有固定成本3到千 元)，所以应该尽置减少生产次数，比如第！月生产5件产品，把第2个月的需求量也 生产出来。但第】月不应生产4件产品或6件产品，否侧不仅不能游免固定成本。反而 要增加仓储成本， 从以上分折可知，每月的生产量以满足后面各月的屏求量为度，而且在月初有库存 量时，该月不必安挂生产。这杯一来，决面临的选择大大简化，比如第1月只有4种 选择：生产堂为2.5,7,11件之中的一个款值
动态库存的优化
第1月 第2月 第3月 第4月 0 9.5 0 12.5 0 18.5 6 图1生产库存的功态决第 【求解】为了把提全品。将所有可能的决苑用图1来表示，图中结点故字表示月初 库存量，哥条线表示一个选择，扶膏数字是决第戒本。比如第！月的服一表示第1月选 择生产7件产品，扣除当月满求量2件产品，受存储5件产品，总费用是生产成本3十7 =10加上存储费用05×5=25，共125千元.又如第2月的①一①表示第2月选择生 产5件产品，扣除当月卿求量3件产品，要存储2件产品。总费用是生产成本3十5■8 加上存储费用Q5×2=1,共9千元.再如第3月的回一回表示第3月初有6仁产品的 库存，当然不安挂生产，库存中扣徐当月需求重2件产品，还存储4件产品，总费用是 生产减本0加上存储费用Q5×4=2,共2千元 订生产岸存计划，实际上是在图1中选择一条从期初状态“0到棚末状查“0的线 留。使路的总“长度”（规号数字之和》聚小，这在数学上叫做州图的最超司题， 如果用矩鞋化方法，刚可以使运变得非常简洁妇明了。下而列出各阶段《月)住决第矩 库
6915 511 M1-(5.95,12.5185)·M3 M3= 决第短阵的行代表该阶税的起始状态，列代表该阶段的结束状态（下阶段的起始状态）， 矩阵的元素是决第减本。如车场是第2阶段的快菊矩阵，第2阶聚的起始长态有4 个（分别是四③⑤②），结束状态有3个（分别是四②回》，所以M是4×3拒阵 其元素都已在田1中注明。柜阵中空铁的位置应填入®，这是因为图1中没有对应的箭 头，即不采用该决策，决菊城本取一就是为了辑除该决莱， 本例的决策是分阶碳进行的，比如前2个月中，从期初的日走到2月来的8：有2 条路@→@→@和①一③→①，选择较短者的计过程是 5◆6 min ■9.5 95+0 这是“两两相加再取小“的运算，与线性运真中的姐合非常相似。两个矩阵相乘是将右柜 阵的列与左柜阵的行组合，即两两相乘再相加。如果把组合”运政为两两相加再取 小“，那么本例的决策过程就可以用矩阵的“乘法“来代普了。这种以“两两相加再取小“ 为基础的地库乘法”，是对常规知阵乘积的整仿，此称为攀秉积或常来法。卜面是决 乘矩阵的擎秉积过程： 6915分 (0 M+M2-(5.95.125,185)+ 0 -(95.135.20) 3
5 10 M1-M3M3-(9.5,13.5.20） (0 (13.5.20.5), M+M35=M4=(135,205)+ =20.5. @ 这些运算中，蓬乘积用*“表示以示与常规聚法的区别.在上述运过程中，匹用《)” 号记录了“取小的对象，计算结果表明，本例生产库存计划的总成本，聚小值是205千 元。反向查状带()”写的取最小记录，可得到最小成本对应的生产库存计划，查找过程 如下： 最后一个米乘积右端的205（最小成本）来自于205=135+（⑦成205=20.5+(W, 这说期明至少有2条最短路.继块反向直找135十()中135的米历，它米自于第2个攀 乘积中的13.5=13.5+(0，再查状右边的135来自于第1个警乘积中的135=12.5+(1) 这样我们找到了4个首尾相接的决乘成本，将它门按从左到右排列起来是 125,(1(0.(D 它们对应的决策路线是 ①5→⑤1→②0→⑩1→⑩ 这条路表示的生产库存计划是第！月生产7件产品（存储5件》，第4月生产4件产 品，第2、第3月不生产（用库存供货）”，该计划可使生产库存成本最低， 另一条最短路可类似查找得到，它是 四5→③0→⑩”→④。→@ 这察路钱表示的生产库存计划是剪1月生产5件产品（存储3件），第3月生产6件产 品（存储4件》，第2第4月不生产（用库存供贤）”， 【应用】功5库存的忧化尿干幼态规划。动态规划具有决第空间（所有可能的选择）】 愿大，运过程氯杂的特点，这里引入柜阵的整乘法，可以顺利地化解这些不利因素， 本例的决图1比较简单。在际间题中，各阶段的林态往往很多，状态之间的连 线密密府麻，准以分辨。西决第理反而减了解决间题的障碑。比如考虑一年12个月的 生产车存计划，每个月的最大生产常是5个单位，则除了期初状和期未状态外，每个 阶假《月)都有6个起始状态和6个结束状态，决图中塑画数百条决策线，可供选择 的生产库存计划有多至6]=36×1°个，面对这么鹿大的规模，矩阵的薹乘法就显示出 优势来：不必西图，直接列出决策矩阵，将复杂间题分解简化，逐个击睫。 “两两相加再取小“的整乘法，还可以演变为两两相加再取大或“两两相乘再取大” 的整乘法，以应对资源分配，系统可靠性等动恋规刻问恶