机械产品的生产经营计划 铁制品厂生产甲、乙、丙三种机械产品，生产一件甲种产品常要8小时的车工加工、 10小时的快工加工，2小时装配能获得利间6千元，生产一件乙种产品需要2小时的 车工加工、5小时的铣工加工、13小时装配能获得利间4千元生产一件丙种产品常 要10小时的车工加工、8小时的统工加工、10小时装配，能获得利润5千元，工厂每 月可供利用的车工加工工时为3000小时，可供利用的统工加工工时为4000时，可供 利用的装配工时为4200小时，经理人员满要解以下两个问题： 1,作出生产计划安挂，以便充分发挥设备和劳功能力，使生产盈利最大 2.近期技术人员有型开发出另外两种产品丁和戊，每件丁产品对三道工序的消耗 时间可依次为4、10、6小时，预期市场利间为6千元，每件戊产品对三道工序的消耗时 间依次为12、5、10小时，预期市场利阳为4千元间这丙种产品是否值得投产？如要 投产，则原来的生产计划应款怎样的调竖。 【分析】本例的技术数比较多，用表格列出有利干分析研究。表1是各产品耐工 厂资源的有来。 表1 单位产品对工序资源的消耗 老品 甲 反期面 工序可供时闷（每月】 工序 乙 丙 丁精 军工 8 2 10 4 12 3000 铁工 10 10 5 4000 装配 2 13 10 6 10 4200 单位产品刺阅效干元 6 4 5 6 4 安挂生产计划，就是确定各产品的产量，设产品甲、乙、丙的生产被堂依饮为x 豹单位，则获得的利润为 y=6两+4+5两
机械产品的生产经营计划
盈利最大就是使这个日标做取最大值，工序可供时间是工厂的资源，生产不能实碳资 源的限制。三道工序的资雨限制可依次用下面三个不薄式表示 8马+25+10≤3000 10互+53+8为≤4000 2两1+133+10554200 另外，产量不能是负敌，即应满足非负条件x灯20,20,20， 【求解】先考由可题1。显然以上的目标故与的束条件都具有灶性特征，故称线 性规划为了用线性方程组的理论求解此问题，我们通过增如三个非负变堂，将不等式约 束化为等式约束 8%+2马3+10%+x4 =3000 10两+5x+8为 =4000, 2+13+10 +5■4200 不难发现增加的这三个非负变量分别表示三种资源的埃量，比如？之0表示车工工序 多余的小时数。我们再将目标还数写作 6两+4两+5+0+05+0.5■0+y: 规在利用矩阵的初等变换来“求解"这四个方程构成的赶性方程组，以下是定增矩 阵T所作的一系列的初等受换： ©2101003000 1025125012500375 10580104000 0 0.)-45-12510250 213100014200 01257.5-025013450 6 450000 2.5-25-07500-220
101.7025 -0.10 30 /100-00901833-0067 2253 01-18-05040 100 010-014 01 006 237 00306 -31 2200 0010.23-0166寸 00333 733 002 0.5 -10-2500 (00001 06667-00667 -26467 1004500.1083 -00417 258.3 010.70-0016700833 283.3 0051-0.833301667 3667 (1) 00-050-0.033-00833-2683.3 为了理解上述过程。我们回忆一下初等安换的程序：每次选一个零元素—称为 主元通过初等行安换，把主元变为1，并且把它所在列的其她元素变为心，在上而面的 变换中，主元郁已用“()”号作了标记，例如上面第2个拒阵中。选取(2.)作为主元 要把第2列主元上方的025和主元下方的125、25变为0，具体通过3个消去变换来 实现： 第2行每个元素剩以一 025 加到第1行的对应元素上去 25 第2行每个元素剩以- 12.5 加到第3行的对应元素上去 25 第2行每个元素以一 了，如到第4行的对应元素上去 25 同时第2行每个元素以0.25（主元的值）。经这样的安换，第2列变成了基本单位 列，并且得到了后面（第3个》的柜阵，对第3和第4个拒阵用同样的方法进行酒去变 换便得到最后《剪5个)拒阵， 根起线性方程组的理论，每个柜阵都对应若干基变量（与主元列相对应）及若干非 基变学（即自由变量，与非主元列相对度），今所有自由变量取0，可得到一组解，这里 称为基本可行解。如最后一个柜阵的基安量是，，，非基量是秒系，基本 可行解是 ￥=(258328330.3667.0.0'， 耳中基变量的取值直鹅从矩阵《1)的躁后一列出 柜阵的腰后一行代表司一目标函故的不同表达式（初等行变换的实师是等量惜换》， 最后柜阵的目行做为 -0.5-058335-0.0833=-26833+y, 它对应的基本可行解中，：x:。取零值，因此基本可行解对应的目标值怡为柜车右 下角元素的相反数，即y=26833,如果换一组别的解，则彩，和中必有某些变量取 非零的正值（注意非负条件），从上式看出，这样会引起目标值的减少，所以这个基本 可行解对应最大的目标值，它就是最忧解，亦即产品甲、乙的产量应分别安挂为258.3 单位和283.3单位，产品内不安排生产，产品的总间内26833千元，这时梳工工序
装配工序阳时间得到了充分的利用（刷徐置，4为零》，而车工工序有名=3667小时的 富余。 以上分析给出了线性规划中矩阵初等变换的两项要求： ()最后一行元素都要变为非正值，称为保忧牡条件，有正直时设法把它变为零： (》最后一列那除右下角元素外，要保持为非负值，以便满足变量的非负条件，称为 可行性条件， 只要话当地选择主元就能满足上述三项要求具体方法是选择正取及运用最小比值 法，如第3个炬阵中，最后一行第3个元素2是正数，主元及在第3列的2个正数17 和30中选择，由于比值220030较35017小，故造0为主元. 现在考由句题2产品丁和的投产与香。可以设它们的生产量分别为：，并 在目标正数和的束条件中各增如2项，然后按前面的过程重新求解。但是重复一系列初 等变换，计草量很大而且无比必要，完全可以利用已经得到的结果。 根据线性代数理论，对烟厂柜阵T施行切等行变换相当于左乘一个柜阵M而原随 阵中的第列P,径初等行变规成为M印，·如果能够状到柜车M那么不必进行多个步 骤的初香行变筷运阿，只要欲一个托阵乘法就可知道原柜阵中薄)列的变领结果。柜阵 M和叫款基逆矩车。 柜阵M并不难找，若原始矩阵中有单位矩阵E,刚经初藤行变换后就成了E=M 即M可在原来的单位阵位置上读取，前面的原始柜阵T中有构成单位柜阵的基本单 位列，位不完整，再添上一列就全了，即府矩阵T的第6、第7列之间雨上一个墨本单 位列(0.0.0.)，成为 /821010003000 5801004000 f= 10 2 131000104200 6 4500010
注章到初菁变接的主元都在前3行，所以添上的基本单位列始将不变即对T陆行 同样的初等行变领，必然得同怀的结果： 821010003000 个= 105801004000 2131000104200 64500010 10045001083 -0.04170258.31 010.70-0.01670.08330 283.3 (2) 00510.83330.1667 0 366.7 00-0.50 -05833-0.0833 1 -2683.3 矩阵(2》只比矩阵(1)多了一个基本单位列，于是矩阵M可从矩阵《2)的第4、5 6、7列直接读出，即 0 01033 -0.041701 0 -0.0167 0.0833 0 M= 1 -0.8333 0.1667 S 0 -05833 -0.0833 1 从表1可知，产品丁、对应的列（包括日标新故）分别为 4 12 10 5 6 及■ 10 6 它们经同样的初等行变频分别变为
0 0.1083 -0.0417 4 08333 0 -00167 00833 0 10 0.3333 Mp:= 1 (3) -08333 0.1667 6 -33333 0 -0.5833 -0.0833 -0.3333 0 0.1083 -0.0417 012 0.125 0 -0.0167 0.0833 0 5 0.75 Mpe= (4) 1 -0.8333 0.1667 a 10 9.5 0 -05833-0.0833 4 025 其中向量(3)的服后一个元素（处于矩阵最后一行）是一Q33330，在对应列中装选主元 作变频，说明将成为主元变量，应考虑投产. 至于产品结构如何调整，可以继续城行初菁变换，不过因为对应于35、6列的非 基变置已经明确，大多数元素可不②参与变换，以节的运算量。具体的能法是在拒阵《1) 中添上刚才计出的列向量(4)，对第1、24、7列以及最后一行进行初等安换： 10*0* 0.125 2583 010 075 2833 0051-083330.16679.5月 366.7 0 0-0.50-0.5833 -0.0833 025 -2683.3 10 -0.0132 0253.5 01 -0.0789 0254.4 + 00 0.1053 138.6 00-0.6316-0.0263-0.5614-0.08770-2693 这里，不参与变换的元素3用“”号表示从最后的柜阵中看出，最优性条件已经满 足，可直接读出最优解x=253.5,=254.4,=38.6,即产品甲的产量从2583单位 南整为2535单位、产品乙的产量从2833单位调整为2544单位、增加产品戊的投产量 为38.6单位，产品丙和丁不安排生产，产品总利队6移33千元增加到26例千元
【讨论】本例通过矩车的初等变换求解线性规划，称为单纯形法，每一次初等变换， 央际上是选择一对基变堂与非基变量进行角色转换，因而叫做换基选代，显然本例的方 法不降厂到具有更多变置与更多约束条件的大型司题，而且换基选代的计算可以借助 于计南机。因此线性规划在实际应用中是很晋遍的。 在解句题2时，我们利用基逆矩阵M简化了计蓝。事实上，基逆矩阵存录了一 系列切等变换的全部信息，使得进一步的运算有了良好的起点。基逆矩阵的作用并不限 于简化计算，更重要的是在于对线性规划模型的动态分析。在生产实际中，企业内部的 枝术状逐、企业外部的市场环境总是在不新地夏化看，所以表1所列的数据也会发生相 应的安动。为了使生产经营计划在变化来临之际能作出及时准确的反驶，必须事先对蛙 性规模型的各项技术系数进行定量的、动态的分析。 比加本例中产品丙不安挂投产的原因是它对资源的消耗大，而利相对于消耗来说 且得偏低，如果市场需求发生变化，产品丙的价格开始提升，当然润也会增加，那么 利低太到多少才能考虑产品丙的投产呢？用基注矩阵很容易作出分析。设产品丙的单拉 利润为a千元（原为5千元），则矩阵(1)中产品丙对应的第3列应该变为 0 0.1083 -0.0417010N 0.45 0 -00167 00833 0 8 07 Mp 1 -08333 01667 0 10 5 0 -0.5833-0.0833 1 a-5.5 当>5.5时，聚后一个元素为正，须在此列中选取主元是成为主元发量，这说明当 产品丙的单位利润过5.5千元时应该考投产，对于表1中其他故据的变动，也可关 似地运用是逆矩阵M加以分析，这种分析称为灵嫩度分析。 本例的最忧解中，产品的产量都是带小故点的值。如果产品必领整件（套）计致， 那么答索应千餐正，最简单的修正方法是四舍五入，利精细一点，可用去尾法和进位法 得到多个调整解，再利用的束资件和目标值子以席选. 比如本例间题1的解是用-2583，-2833，考志调整为粉=258，为=284，或者 1=259,x幻=283，或者1=259，为=284，经检验，这三组解都不满足约束条件。突 玻了资源限制，所以不可行，只有调整为■258，■283才行，这时，资源因不轮清 整而无法充分利用，目标值白然也减少为2680千元（原26833千元）. 对可题2的解作类以的讨论，可俯选得到其空致解为灯■24，■25438， 目标值为2692千元《原26奶千元)， 当最优解的的整数部分较小时，去尾或进位的相对误差会很大，这时舍入法不可取。 需要增加专用的整数规划程序进行处理