棉妙的配棉成分 纺厂生产138@区(42棉妙，有多种原棉可供选择。在原定乳坊比例下，各项指 标的值分别为：品质指标2434，成妙棉结63.3站成纱结朵总计110.3原棉成本为每吨 3241.9元。这杆的指标令人不尽满意，而且价客偏离，现决定以改进。 日前市场上有12种原棉，防量各有忧劣。参考这些原棉的品级与配伍说明。并经 过严格的抽样检测，获得了详细的资料。现将各种原锦的单废试坊故据，混用限额以及 市场价客列干表1。 表1 12种原棉的试纺混用资料 、原梯品种 3 10 12 项目 品质摆标 2405 2201 2407 2310 2457 1675248 2531 2280 2375 2102065 城沙槐陆 56 40 37 3边 43 41 85 103 30 55 24 19 成必墙录急计 102 而 72 % 105 1 12路 15 63 0 103 2 原定混防比例 0 189% 10%4 0 204 0 10 3% 0 0 10% 0 视用上限 10%10% 10% 25% 1% 20%10% 10% 10%10% 20%10% 原棉单铃元日 386340832283077300030003168332833283328307m3236 根据视用限预，哥种原棉不可单独使用，必须配成混合原科用于绵妙生产。为了保 证锦炒的防量，现在要求混棉后成纱的品质指标不小于2300，成纱锦结故不知过0拉， 成妙纺杂感计不大干10的整。度如间谁定视合棉的配棉成分，使成纱质量达到上述各项 更求，并使原棉成本有最小值， 【分析】设表1所列的12种原佛在湿合棉中所占的此重为马，1是原棉的姐号
棉纱的配棉成分
1=1.2,…,12.x实际上是非负的百分故，其和应该等于1，即 两+为+…阳=1 (1) 根据成纱质量的3项要求，可以列出3个不等式约束，例如要求品质指标不小导20加 对应的不等式为 2405为+22015+2407与+2310.+2457无+2675无 (2) +2488漏+26314+222谚%+2375垂+21501+2065：≥2300 式中的系煎邹可从表1查到.此外，每种原锦有混用上限。如≤01，为≤01，等 等，这样的不等式约束有12个，连同等式(1，共有16个约南多件。为了用线性方程 组的理论求解山间题，需要在哥个不等式约束中增如一个非负变量，共需增加15个受 量，如比列出的方程如至少有16个方程、”个变量，这么大型的可题，求解起来当然 困难很大。能不能作一些简化？能。 首先观豪-下表1.将混用上限从大到小累计，25%+20%+2%+15%+10%+10% 一100%，说明至少有6种原棉是参加配棉。价格校的6种原棉为第3、4、5、6、7、 1山号，它们应是首选对蒙. 第6号原棉的价格最低，而且品局指标(2675>2300)、成纱棉结(41100，但也几 近合格，而且和第6号原棉〔1<100)配，定能使该项指标达到壁求，因此它的 配棉比重也可以确定下来： 3=015 第4号原棉和第6号原棉情况类以，三项指标都符合要求，价格虽非最低把处干次 低位，所以也能确定它的配棉比重为
x4=0.25. 第1、宽2号原棉的价格最高，而且邹有一项或二项指标不符合要求。如果将混用 上限从小到大黑计，可以发现至少有2种原保要被汰，首选的当然是这2种原棉，即 取 ==0, 第8号原棉和第1号原棉情况类以，它的成妙棉纺(103>50)和成抄结A总计《145 >10)超标严重，而且价格又处于次高位，所以也屋于被汰之列，即取 =0. 至此我们已明确了6个变量的取值。格它们代入(1)式可得 十两十两十0十1十和■04： (3) 其次简化故据位故，在表1中，将品历指标栏的致据全都减去一个常做2000（相应 的质量要求也改为2300一2000=300)，将价格栏的数据也全都减去一个常数3000.因 为有蒋式《1)成立，所以这改功并不景响最忧配比的获得， 【求解】经过以上简化，三项历量指标的的束不等式简单多了，例如(2)式左边 可去掉第1、2、8项，系放缩位（馨减2000），成为 407两+310x4+457两+675x6+488+228g+3750+1501+6522300, 然后将4=0.25、x5=015、=020代入并移至右边，得到 407两+488南+228+375两0+1501+65021895. 在上式左边减去一个非负变置x:可将不等式均束化为等式均束： 407两+488，+228+375x0+1501+6552-3=18.95. (4) 关于减纱棉结和成纱结杂总计的不薄式约束也作类似处理，由于是小于薄于号，所以复 在左边分别加上非负变量：和5，化为荐式约束，它们是
37为+85%+30%+55%+241+19%，+4，=27.35 (5) 72石+128而+636+80+103五1+92：+而5=4205 将诸变量与表1中对皮的价格相后再相加，就成了雾要最小化的日标还数 y=224+228两+168x7+328+32810+771+236 其中价格数据作了缩位处理（都减30001，==0，=0.25、=0.15、=020， =0也都已代入。为了用线性方程组的理论求解此问题。我们把这个目标函藏式的常 数移至左边，再左右互换，写作 228x+168+328+32810+771+2362=-22.4+y. (6) 此外，混用上限的的束也可以化为等式约束。例如≤0.1，增加一个非负变堂： 化为 3十两6=010. 7) 混用上限约束哲时不考虑，先将(3)，（(4)，(5，(6们式联立起来构成一个线性方 程组，它的增广矩车阵是 3 7 9101112131415 1 1 1111!000!0.4 407(488粉22837515065-10018.95 T-3785305524190102735 7212863801039210014205 2281683283287723610001-22.4 这里柜阵上方标注的是变量的序号。现在运用矩阵安换技术米“求解”这5个方程构成 的战性方程组。具体做法是在增厂拒阵中选主元，通过柜阵的初等行变换，把主元所在 列的其他元素全郁变为0.增广矩降T的最后一行（第5行）是日标行，最后一列（宽
8列)是常数列，主元应该在稀目标行、常数列之外的地方选取。 为了满足变量非负的要求，在施行初等变换时应保持常款列的元素郁非负。做到这 一点并不难，只要选正数为主元并且用聚小比值法即可。最小比值法是将常款列的元素 除以主元列的对应正元素《（非正元素不考成），得到的若干个比值中，主元对应的比值 应该最小. 一开始可寻状全场最小比值来选择主元，具体蒙法是：在拒阵T中，将哥行右测的 常拉以同行的最大正数，得到4个比值 0.4189527.354205 1488·85·128 其中1854第最小，所以选48为主元，主元用“()”号做标记。然后要通过4个消 去变换把主元所在菊2列的其他元素1,85,128,163变为0，这4个消去变族是： 第2行每个元素乘以- 加到第1行的对过元素上去 488 第2行每个元素希以一 ,加到第3行的对应元素上去： 488 第2行每个元素乘以-128 加到第4行的对应元素上去 488 第2行每个元素乘以 168 加到第5行的对应元素上去， 488 同时第2行哥个元素以488（主元的值》.经这杆的变嫉第2列变减了基本单拉列， 并且得到了下面的柜阵 0.166000.53280.23160.692608668！000204900103612 0.83401046720.76840.3074(0.1332-0002049000.03883 →-33890-9.713-10.32-2.12776783 0.1742 1024.05 -3475031967-183663667495 02623 0137.08 87.890249.5198.92536 2136 03443 001-2892
接下来在没有选过主元的氟1、3、4行中，用最小比值陆拟选择0.8658为主元，但是它 所在的第6列中，还有更小的比值0.03883/0.1332-02915所以改选01332为主元， 通过与上面类似的初等行文频，把拒阵变为 1-5.2613-6.5075-25075 -4.7688-1.307801(0.0153800101085 6.261375075 3.507557688 230781:-0.0153800:02915 -8197 -57.64 -35.64 -54.61 -19.8501 0.29231021.81 -504.0-562.7-259.2 -450.7-109.30:1.4152 01:1523 -1250 -1604 -499.7 -1033 -467.6013.6301 001-91.19 再接下来还是在第1、3、4行中，用聚小此值法选择0.01538为主元.通过初等行焕， 把第T列变为基本单位列，变疑后的矩阵是 10 1112131415 -3421-4231-1630-310.1-85.030!10 017.0546 1 1 1 1100004 18.0266.04 11.0236.025.0050001019.73 -19.8836.09-2847-11.9011.0400015.2463 -8.19-680592.1492.57-15890000-1168 这个矩阵中已有4个基本单位列（第6、入89列），与的束方程的个款相同，从而进 入下一个阶误的变领。下而的变梳要考成最忧性条件，印即设法把目标行（最后一行》的 元素（除右下角元素外）都变为非负数。 现在目标行中部除右下角元素外有3个负故，分别对应第1、2、5列，这列都赛选 择主元实施消去受换，当然要一个一个地选。这些列中正数对应的比氧，最小是 5.246336.09=01454,刻选3609为主元，主元变量是，主元变带的取值将等于这个 比值01454，突玻了混用上限x好≤0.10因此要把对应的的柬《T)动加进来具体敏法 是在矩车中清加一行《的束行)和一列（对应。为了葡化运算，可将第7、8、9列 删去，这是因为它门所对应的变量x4、不会雨被选为主元变量，另外，主元变
量《对应第7列的基本单位列)的取值04也实破了混用上限，可将约束案件十 =0.10一并清加进米，得到矩阵 9 10 11121617 /-342.1-423.1-163.0-310.1-85030100!7.05461 1 1 1 110004 18.02 65.0411.02 36.025.00500019.75 -19.8836.09-2847-11.90110400 052463 0 0 0 001001 0 0 000①101101 -8.19-6805921492.57-15890001-116.8 主元的选择仍用最小比值陆。2个主元对皮的变换，相互干扰很少，故消去变换可同时 进行，变换后得到2个主元受登的取值为x)=010,x=010(从最后一列出)，确 定了这2个变量的取值，就可在变换完成后把相关的行、列（第5、6行和第7、8列） 删去。这时对应列的主元还未选取，需将对皮的的束宗件希加进来。此外， x对应的目标系数(9214和92.7)已是正数，不满再选主元，这2列也可删去，： 的取值为心，经过这处理得到如下矩车，后面的变换连续进行，不雨详细说明， 3 111819 31118 19 -3421-8503100!49.36 00:3421 85.03！9207 1 0002 00 -1 -1 0 18.02 5.0050013.15 0:-18.02-5.00510.85 -1988 11.04001.6373 0 0:19.88 -11.042521 0 0 100.1 01 0 0.1 0 0010 10.1 01 0 1 0.1 -8.19 -158.900-110 0 0:8.19 1589}-9329 从最后的矩阵中读出=0.10，和=010，至此变堂的取值都已得到，归纳起来是
x1=0为=0，=010.4=025.x好=015,6=020 x9=010,xg=0=0,x0=01=0102=0.10. 即根合棉的配棉成分为：3号原棉占1%，4号原棉占2%，5号原棉占1%，6号原棉 占20%，7号原棉占10%，11号原棉510%，12号原绵510%，其他原棉（第1、2、 8、9、10号)不子采用。各种原棉的配用比例都符合表1规定的限瓶。靓合棉的成本达 到最小值为 y=3000+9329=3093.3元/ 混合棉的三项棉标为：品质指标200+9207=2302。成纱棉炼50一1085=39.15拉， 成动结杂总计100一2521=75粒，三项指标均能达到预定更求， 【评注】本例是在一些的束条件下求目标证款的最小值。由于约束条件与目标做 都具有线性特征。检称线性规刻，线性规划在生产央践、经济管理、系统运行中有看非 常厂泛的应用，是解决各种忧化问题的龈有效的方法之一， 通过矩阵的初等变换求罐线性规划，称为单纯形法。在矩阵变换中，主元变量又称 为基变量，其他变堂称为非基变呈。今非基变堂全盆取0，可从矩阵最后一列出基妥 量的取值，这样的解称为基本可行解。单纯形法用托阵运草技术，通过不断地选择生 元施行拒阵的初等发换，找出基变量的最佳取值。变换逐步进行，体现了瑞实是础、步 步进取的科学思想每一步都充分利用前而的运真减果，并且有最优性多件和非负性多 件作为具体的运典轨道，可以从简单的积雾中积得最优的结果。 对于最小化目标心故来说，线性规划的最忧性条件是拒阵最后一行徐右下角元素外 要保持或设法变为全部非负，对于最大化日标函故，则反过来要求矩阵最后一行无素保 特或设法变为全部非正。 解决变量很多、约束条件很多的大型的烧性规划间题，人工计算以承受E大的运 直堂，这时除了象本例那样去和取精，寻求简化外，还可借助干电子计直机软件进行运 算，有了计草机软件的支持，线性规划的应用前景更为广图