
棉妙品质浙标的定量棋型 保纱品质指标与原棉质堂、加工条件、产品品种等有密切关系。现在迫切要了解棉 纱的品质指标与棉妙支数的关系,为此进行了有关的试验。试验中所用的原棉为3.5 级。长废35.5/32”,支数610够支,短城率1368%,成熟废系数163:验时平均湛魔 为7C,纺妙过程中其他禁件尽量保持不变,对于纺出的不同支故的棉妙,定其品 历指标,得到0组数据,如表1所示, 表1 卷种棉妙的品历指标 棉炒支数x 品防指标y 编马 棉炒支致x 品防指标, 1 19.83 246 11 35.20 2203 2024 2501 12 35.74 2150 3 21.10 2390 13 39.77 2137 2385 2450 14 41.30 2002 5 24.47 2350 15 42.20 2082 6 25.08 239% 16 45.87 2060 7 2847 2331 17 47.83 2025 8 29.28 2297 18 49.13 2040 9 2976 2185 19 56.46 1865 10 33.93 2238 20 57.55 1857 从表1看出,随看保纱支数的增加,品质指标呈减少趋势,这种相关关系是否确实 存在?希望用定量的方式表示这种关系。此外,对于其他支数的棉纱如32支纱,能否 估计它的品质指标?估计的误差是多少?如果要控制品质指标,则应采用何种方式? 【分析】表1的20组数据相当于20个观测点,为了对可能存在的相关关系有一个 直风的了解,我门将这0个视测点描在尘标平而上,横尘标为佛炒支故,纵坐标为品 质指标,如图1所示,这样的图做散点园
棉纱品质指标的定量模型

图1棉炒支数与品质指标散点图 从图中初步风察这些散点大效“聚”成直线状,所以能够限定变量x和y间存 在线性关系 y■a+城. (1) 间愿是需要合理地跳定上式中的系致众,由于随机因素的是响,图1的数点不可 能处于同一直线上。配定系数:和b已经确定,则任何一想数据(x,y,)(下标i代表 数据的编号,1≤:≤20)代入《1)式都有可能出现子盾,我们希型子盾小一点,即左 右的偏差(+bx,-y)小一些,不仅要求一个偏差小,而且要求20个偏差都小,即希 望累计值 2a.B)-(a+br-y) (2) 取最小值。这里=0是数据的个数,式中对偏差加上平方,是为了消除负号的盘购

求解聚小值间题,黑不开款学的方法。 【求解】函故(2》是帅项平方和,因而叫欲二乘漏数。现在舜要选择和,使目 标值C《,达到最小,求还数的最小值应该用微分法,今雨个偏导数等于零: 胆.22a+m,-y)-0 8a1 (3) 00 2-2a+bk-y)西-0 这是以a。为未知量的线性方程知《二元一次方程组),为了方便后面的求解,引入以 下的记号与式 5-24-2-g-0sg -24-%,剪-2-m7 (4) 5,-2%-驴-a-g 其中x、与S、分别是两个数组名(1=12,n)和为,《1=1,2.…,州)产 生的均值与方差,可利用计性器的统计功能直接读出。将表1的0个棉妙支数和0个 品质指标分别输入计器,可直接读得 X-35.3533.■117934,■2211.2,8,■190.6428 于是L,=2642.60782,乙,=6905492。L,的计算租微肝顺一些,先要计草20对数 据的乘积之和,再按公式《4》计算为

4,■1521233.5-20×35.353×2211.2-4217.572. 利用这些记号化简方程组《3),可解得 6-1 dmy-bI, (5) 这里给ab加上“一”马,是为了说明它们是真值从b的估计量.本例的计拉结果是 6--42217572 261260782 -15.98,6-22112-(-15.98)×35353-277614. 由此得到y间的关系式 9-277614-1598x (6) 称为线性回归方程,简称回归方左,又称作经验公式。这里给y加上“·”号比是为了 说明由经验公式计草得到的是估计值,与判际测得的值可能有一定的误差, 通过求二乘函做《1)的最小值建立经验公式的方法称为成小二素法,最小二法是根 据已知放据建立放学模型的常用方法。 回归方程《6)可以用来估计、预测佛炒的品历指标,在用于生产判际之前,质好 先通过统计推断松验耳有效性。统计推断主要包括两项内容。一项是判定回归方程的有 放性,即运用尸检验推断变置y?和x的相关性是否显著,这涉及到三个平方和一一总平 方和、回归平方和及刚余平方和。 总平方和Q是变量y的门个原始故据产生的偏老平方和。即 Q=L,■6905492. 卫的白由度是原始被据个数减1,即刀一1=19。回归平方和U是由回归方程(6》计尊 出的20个数值产生的偏差平方和,它的计算公武和数值是 U=bL,=-15.9%×(-42217.5720-6746368

U的自由度为1,剥余平方和已,就是将a,6代入数《2》得到的聚小值,它等于总平 方和减去回归平方和,即 2-Q-U=690549.1-6746368=159124, Q,的自由度等于Q的自由底减去U的自由即19一1=18. 格后两个平方和以各自的自由塞后相比,便得到Γ统计量 F.h.6746360-763.14. Q/h815912.418 F在公=0.01水平下的临界值可查表为民k1,18)=意9,统计量F的值远远大于格界 值。说明棉炒的品后指标y与棉妙支致x的相关性非常显著,回归方程的有效性得以确 认. 另一项是估计随机误差的大小。用经验公式估计,的值会有一定的误差,这是由随 机因素引起的,这个误差可用下式估计 159124 -29.73, V月-2V18 合纯粹反映随机误差,你为标准误差,应该指出的是,心是品指标?估计值的平均误 差,并非每一个估计售都有相司的误差, 有了经验公式(6》,就可以针对不同的棉纱支数,预测它的品质指标。比如对x的 一个取值=32,估计y的眼值利用阿归方程可以直接作出点估计 %=4+b%=277614-15.9第×32=2264.78. 考虑这个估计的误差要进行区间估计,即针对置信度1-@求%的置信区间。置信 区间的置信上、下限计算公式为

%±6:t.na-2),1+ 式中前合即标准误差。‘。a(H-2)是1分布的双侧临界值.一股取a=0.05,则本例的 临界值可查表为的(1粉=2100m,对于和=32,置信上、下限是 2264.78±29.73×2.1009×,1+ 1(32-35353) =2264.78±64.13. 202642.60782 即为的置信废为95%的置信区间为(220065.2328.91).在大样本0较大)情况下, 可略去上式根马内的后两项,以正态在界值U代替t分布在界值,因此n的置信上 下限可简化为 j6±6-Un (7) 由于65=196,所以用简化公式计草的置信区间为(220651,232305).这个区间的 情度比前面高一点,但可靠性未必轮达到9%, 【讨论】判定回归方程的有效性还可以利用相关系数来进行,相关系数的计真公式 和本例的计算故值是 -42217.572 V6.5264260782x690549z0.%83, ?在仪=0.01水平下的临界值可查表为1(18粉-05614,相关系数姚对值r远远大于临 界值.如果:1小于a=0.05水平下的临界值0a以1)则说明x,y的战性相关关系不 显著,这时建立回归方程便设有实用价值了

回归方程(6)除了可以用来预测外,还可以用来控制棉梦的品防指标。控制是预 测的反间题即蛤定一个区间(,为),歌求一个对应的范困《,》,使x在区间(x: )内服值时,能以1-公的置信度控制y在区间y:》内取值。解决控制题通常 是利用简化公式《7)建立方程组 月-ji-6U42-a+b5-6.U3 为-勇+GU2-i+b马+i.U2 由此解出:但是要注意给定的区间心领满足为一片>26U2·这从(7)式来 看是很明显的,否侧无法实现控制.比如给定品质指标区间(2250,2400),愿对应的 方程知是 2250-2776.14-15.9%-2973x196 2400=2776.14-15.98为+29.73×1.96 由此解得x=29.28,3=27.18,即棉妙支数x应限在范压《27.18,2928)之内