棉妙品质浙标的定量棋型 保纱品质指标与原棉质堂、加工条件、产品品种等有密切关系。现在迫切要了解棉 纱的品质指标与棉妙支数的关系，为此进行了有关的试验。试验中所用的原棉为3.5 级。长废35.5/32”，支数610够支，短城率1368%，成熟废系数163：验时平均湛魔 为7C,纺妙过程中其他禁件尽量保持不变，对于纺出的不同支故的棉妙，定其品 历指标，得到0组数据，如表1所示， 表1 卷种棉妙的品历指标 棉炒支数x 品防指标y 编马 棉炒支致x 品防指标， 1 19.83 246 11 35.20 2203 2024 2501 12 35.74 2150 3 21.10 2390 13 39.77 2137 2385 2450 14 41.30 2002 5 24.47 2350 15 42.20 2082 6 25.08 239% 16 45.87 2060 7 2847 2331 17 47.83 2025 8 29.28 2297 18 49.13 2040 9 2976 2185 19 56.46 1865 10 33.93 2238 20 57.55 1857 从表1看出，随看保纱支数的增加，品质指标呈减少趋势，这种相关关系是否确实 存在？希望用定量的方式表示这种关系。此外，对于其他支数的棉纱如32支纱，能否 估计它的品质指标？估计的误差是多少？如果要控制品质指标，则应采用何种方式？ 【分析】表1的20组数据相当于20个观测点，为了对可能存在的相关关系有一个 直风的了解，我门将这0个视测点描在尘标平而上，横尘标为佛炒支故，纵坐标为品 质指标，如图1所示，这样的图做散点园
棉纱品质指标的定量模型
图1棉炒支数与品质指标散点图 从图中初步风察这些散点大效“聚”成直线状，所以能够限定变量x和y间存 在线性关系 y■a+城. (1) 间愿是需要合理地跳定上式中的系致众，由于随机因素的是响，图1的数点不可 能处于同一直线上。配定系数：和b已经确定，则任何一想数据(x,y,)(下标i代表 数据的编号，1≤：≤20)代入《1)式都有可能出现子盾，我们希型子盾小一点，即左 右的偏差(+bx,-y)小一些，不仅要求一个偏差小，而且要求20个偏差都小，即希 望累计值 2a.B)-(a+br-y) (2) 取最小值。这里=0是数据的个数，式中对偏差加上平方，是为了消除负号的盘购
求解聚小值间题，黑不开款学的方法。 【求解】函故(2》是帅项平方和，因而叫欲二乘漏数。现在舜要选择和，使目 标值C《,达到最小，求还数的最小值应该用微分法，今雨个偏导数等于零： 胆.22a+m,-y)-0 8a1 (3) 00 2-2a+bk-y)西-0 这是以a。为未知量的线性方程知《二元一次方程组)，为了方便后面的求解，引入以 下的记号与式 5-24-2-g-0sg -24-%,剪-2-m7 (4) 5,-2%-驴-a-g 其中x、与S、分别是两个数组名(1=12，n)和为，《1=1,2.…，州)产 生的均值与方差，可利用计性器的统计功能直接读出。将表1的0个棉妙支数和0个 品质指标分别输入计器，可直接读得 X-35.3533.■117934，■2211.2,8，■190.6428 于是L,=2642.60782,乙，=6905492。L,的计算租微肝顺一些，先要计草20对数 据的乘积之和，再按公式《4》计算为
4,■1521233.5-20×35.353×2211.2-4217.572. 利用这些记号化简方程组《3)，可解得 6-1 dmy-bI, (5) 这里给ab加上“一”马，是为了说明它们是真值从b的估计量.本例的计拉结果是 6--42217572 261260782 -15.98,6-22112-(-15.98)×35353-277614. 由此得到y间的关系式 9-277614-1598x (6) 称为线性回归方程，简称回归方左，又称作经验公式。这里给y加上“·”号比是为了 说明由经验公式计草得到的是估计值，与判际测得的值可能有一定的误差， 通过求二乘函做《1)的最小值建立经验公式的方法称为成小二素法，最小二法是根 据已知放据建立放学模型的常用方法。 回归方程《6)可以用来估计、预测佛炒的品历指标，在用于生产判际之前，质好 先通过统计推断松验耳有效性。统计推断主要包括两项内容。一项是判定回归方程的有 放性，即运用尸检验推断变置y?和x的相关性是否显著，这涉及到三个平方和一一总平 方和、回归平方和及刚余平方和。 总平方和Q是变量y的门个原始故据产生的偏老平方和。即 Q=L,■6905492. 卫的白由度是原始被据个数减1，即刀一1=19。回归平方和U是由回归方程(6》计尊 出的20个数值产生的偏差平方和，它的计算公武和数值是 U=bL,=-15.9%×(-42217.5720-6746368
U的自由度为1，剥余平方和已，就是将a,6代入数《2》得到的聚小值，它等于总平 方和减去回归平方和，即 2-Q-U=690549.1-6746368=159124, Q,的自由度等于Q的自由底减去U的自由即19一1=18. 格后两个平方和以各自的自由塞后相比，便得到Γ统计量 F.h.6746360-763.14. Q/h815912.418 F在公=0.01水平下的临界值可查表为民k1,18)=意9，统计量F的值远远大于格界 值。说明棉炒的品后指标y与棉妙支致x的相关性非常显著，回归方程的有效性得以确 认. 另一项是估计随机误差的大小。用经验公式估计，的值会有一定的误差，这是由随 机因素引起的，这个误差可用下式估计 159124 -29.73, V月-2V18 合纯粹反映随机误差，你为标准误差，应该指出的是，心是品指标？估计值的平均误 差，并非每一个估计售都有相司的误差， 有了经验公式(6》，就可以针对不同的棉纱支数，预测它的品质指标。比如对x的 一个取值=32，估计y的眼值利用阿归方程可以直接作出点估计 %=4+b%=277614-15.9第×32=2264.78. 考虑这个估计的误差要进行区间估计，即针对置信度1-@求%的置信区间。置信 区间的置信上、下限计算公式为
%±6：t.na-2),1+ 式中前合即标准误差。‘。a(H-2)是1分布的双侧临界值.一股取a=0.05,则本例的 临界值可查表为的(1粉=2100m,对于和=32，置信上、下限是 2264.78±29.73×2.1009×，1+ 1(32-35353) =2264.78±64.13. 202642.60782 即为的置信废为95%的置信区间为(220065.2328.91).在大样本0较大)情况下， 可略去上式根马内的后两项，以正态在界值U代替t分布在界值，因此n的置信上 下限可简化为 j6±6-Un (7) 由于65=196，所以用简化公式计草的置信区间为(220651,232305).这个区间的 情度比前面高一点，但可靠性未必轮达到9%， 【讨论】判定回归方程的有效性还可以利用相关系数来进行，相关系数的计真公式 和本例的计算故值是 -42217.572 V6.5264260782x690549z0.%83, ?在仪=0.01水平下的临界值可查表为1(18粉-05614，相关系数姚对值r远远大于临 界值.如果：1小于a=0.05水平下的临界值0a以1)则说明x,y的战性相关关系不 显著，这时建立回归方程便设有实用价值了
回归方程(6)除了可以用来预测外，还可以用来控制棉梦的品防指标。控制是预 测的反间题即蛤定一个区间(，为)，歌求一个对应的范困《，》，使x在区间(x: )内服值时，能以1-公的置信度控制y在区间y:》内取值。解决控制题通常 是利用简化公式《7)建立方程组 月-ji-6U42-a+b5-6.U3 为-勇+GU2-i+b马+i.U2 由此解出：但是要注意给定的区间心领满足为一片>26U2·这从(7)式来 看是很明显的，否侧无法实现控制.比如给定品质指标区间(2250,2400)，愿对应的 方程知是 2250-2776.14-15.9%-2973x196 2400=2776.14-15.98为+29.73×1.96 由此解得x=29.28,3=27.18,即棉妙支数x应限在范压《27.18,2928)之内