煤炭电力的授入产出 某大型煤电真团公司生产经营撑炭、电力和机电设备三种主要产品。公司下属的发 电厂生产1度电，需要用煤02千克，明年要增产1000万度电。集团公司的煤矿应增产 多少纯埋？签案以乎很简单，增加10？×02×10吨-200吨煤，不对1因为为了增加这 2000吨煤，要增加投入电力和机电设备，甚至也要增加消耗煤本身（在煤球生产过程中 所常的供热耗煤等)。而增加电力、设备、煤炭的产堂，再一次夏宋增如煤的产量，如 此等等，看来这是一个具有连锁性历的无跟看环的过程：幸一发而动全身。 每一种产品在生产过程中，都展有耗包活本产品在内的各种产品，集团公司必须深 入分析各产品之间这种复杂的依存关系。为了增强可比性，三种产品的产品量以货币 计量，计堂单位为万元。集团公司首先安挂人员对公司内密的产品有耗情况进行全西的 调查，发现每生产1万元的煤炭，要有耗0.2万元的棵我、0.1万元的电力、0.飞万元的 机电设备：每生产1万元的电力，要消牦Q2万元的煤炭、01万元的电力、01万元的 机电设备：每生产1万元的机电设备，消牦11万元的模莱、02万元的电力、0.1万 元的机电设备，接下来要分折以下几个1间题： 1.今年公司生产的煤炭、电力、机电设备的总产值依次为=3500万元、=2000 万元、对■2500万元徐去生产过程中闲托神的之外，最好推向市场的三种产品的产品 量是多少？ 2.明年公司计划最终推向市场的三种产品量依次为1=200万元，为-10(0万元 为=1500万元，试确定各产品的总生产量： 3.如果后年想使爆炭的聚终产品量增加到为■3000万元，则三种产品的产量分别 应增加多少？并且由此给出完全消耗的就念气故据， 【分析】三种产品之间相互依存、相互的，而且数据众多，必须先将它们阵化 把调查得到的闲耗故据列成矩阵 1 3 02 0.20.1 A= 21 m 28 0.1 0.1 0.2 an 3 025 0.10.1
煤炭电力的投入产出
矩阵A的列表示某产品在生产过程中对其他产品的消耗率：柜阵A的第！列表示 生产1万元的煤税，需要肖耗（或理解为投入）三种产品的故量依次为0.2万元、0.1 万元、025万元，类以地。A的第2和第3列表示生产1万元的电力和机电设径需要消 耗（投入）三种产品的故量. 拒车A的行表示某产品的被有耗率，矩阵A的剪1行表示生产1万元的煤换，其 中被三种产品在生产过程中消耗〔减理解为产出》掉的数量依次为0.2万元、02万元 01万元，类以地。A的第2和第3行表示生产】万元的电力和机电设备中，消耗（产 出)到三种产品的数量. 拒车A称为直轮闲瓶系数阵，其中所列的消耗系故反联的是产品之间直艳的消耗 关系，并不包含二次消耗、三次消耗等间擦消耗。 【求解】问题1中，已知三种产品的生产总量（总产品）做次为x:、:观察 矩阵A的第1行的元素，它们表示各产品在生产过程中对撑炭的闲耗率，因而对煤燕的 消耗量依欲为画两，，43两：而课炭的总产品为，换摄总量平衡原理〔总 产品等干生产中的消耗加上最终产品)，对干撑炭有平衡式 为=函1两+2十43两+为 这个平衡式也可理解为健炭的产出构成。对于电力和机电设备，有同样的产出平衡式 2■421丙十422+a2四雨十为 的=中1而+2为+两+ 将三个平衡式用随阵形式表示，即 x=A十为 具中x=(年，：)，y=04,为，为)》。移项后可得 y■(E-0名 (1) 式中E是单位矩阵。已知x求y很简单，先计矩阵的差
100 020.20.1 08 -0.2 -0.1 E 010 0.1 01 0.2 -0.1 09 (001 0.25 01 0.1 -0.25 -01 0.9 再代入(1)式做柜阵的乘法，立得 0.8 -0.2 -011/3500 2150 -0109 -0.2 2000 950 -0.25 -01 0.9 2500 1175 此结果说明，当公司生产的煤炭、电力、机电设备的总产值依次为=3500万元、名 =2000万元、，=2500万元时，聚终推向市场的三种产品的产品量分别为为=2150万 元，为=950万元，为=1175万元. 间题2是间题1的反间题，即在(1》式中已知求x这相当于解线性方程翅。我 们把方程组(1》改写成显式解 x-(E-A) (2) 计算3价群的逆矩阵可以用件随柜阵法： 10.902 -02-01 -02 -01 -0.109 -01 09 09 -02 -01-02 08 -0.11 108 /0790.190.13 -01 (E-d■ -025 09 -025 0.9 -01 -02 0.1406950.17 02350.13 0.7 -0.1 09 08 -02 08 -02 -025-01 -025 -01 -01 0.9 08 -02-0.D 08 -02 -0.1 E-A- -0.109 -1713 -02 -1.7 13 0 -0.1× 695 0505 -19 -025 -01 09 695 -49
/0.79 0190.13 1.3610.32702240 (E-0.E-4) 1 0.140.6950.17 0.2411.1970293 E-A05805 02350.13 07 0.4050.2241206 把y的已知数据代入《2)式，计其矩阵的乘积，可得 f1.3610.32702240f2500 4065.5 02411.1970.293 1000 2239 0.4050.2241.206J八1500 3045.5 比结黑说明，公司希望最终指句市场的三种产品量依次为为=2500万元，为=1000万 元，为=1500万元时，煤炭、电力、机电设备的总产品值应当依次达到=4065.5万元、 为=2230万元=30455万元，显然总产品x比最终产品多得多。 间题3是考志总产品的增量。当疑终产品增加4p=(4M,4为，4)，总产 品增量为△x=函，△2，△3厂，则仍有平衡式x+△x=(E-④(y+y).利 用前面的平衡式(2)解出 △x=(E-0y, (3) 以△y=(500.0.0)F代入可得 13610.327 0.224 500 /680.5 Ax= 0.2411.197 0.293 120.5 040502241206 0 202.5 比结黑说明，如果想使煤炭的最终产品置增加到力=3000万元则煤炭、电力、机电设 备的总产品值常要分别增加680.5万元、1205万元、2025万元.两组增堂之差
6805 500 180.5 △x-Ay■ 1205 0 1205 2025 0 2025 纯粹是在生产过程中消耗排的产品置，它们并末形减最终产品。现在考志单位增重，由 (3)式可得 △x-A=[(E-A01-E]4y (4 右端的炬阵可性得为 0.36103270.224 B=(E-A01-E= 02410.1970.293 (5) 0.40502240.206 当4y=(1,0.0)时，代入(4)式直得 0.36103270224 1 0361 △x-△y=BAy=0.2410.197 0.293 0 0.241 04050.2240.206 0 0405 此结果的是矩阵B的第1列，其经济京义是：为了获得一个单位的煤炭的最终产品，所 必须分别闲耗的各产品的产置，反之，有了这些消耗霍，便足以保证获得煤炭的一个单 位的最终产品.这就是完全用耗的积念.矩阵B的第2列从、第3列也有英似的经济意义， 因此阵B称为完全瓶系歌矩阵。B的第1行第)列元素4，表示，产生一个单位产品 )的最终产品，对产品：的全阴耗量，比碗柜阵A和B可知，完全消耗系致比直接消 耗系数大得多，这是因为完全消耗反映了直接消民与可接消耗之和，间接消耗是通过中 间环节的闲耗，具体分折起来格是一个逐级进行的无限循环过程
【评注】求柜阵式（)中的声矩阵，除了件随E阵法，还可用初等变换法 把矩阵E一A和单位柜阵E拼来后施行初等变换，当左半￥分变为单位矩阵时，右半 部分就变成了逆矩阵(E一角，具体变规过程如下 0.8-02←-0.0100 -8 21-1000 E-AE- -0.10.9 -0.2010 -1703)0-210 -025-0.109 001 6.95-190901 /-5384601-6.9231-15385 0) 1 0013609 0.327302239 -1.307710-1.5385 0.762 0 →0 1002411 1.197202929 (4.465400060769 1.4615 001 0.40470.22381.2058 第3步安除了消元外还同时作了换行。从最后柜阵的右平部分直接读得 1.36090327302239 (E-A0-1=024111.197202929 04047022381.2058 和前而的结果相司。初等变换法用于阶故较高的矩阵比较有利。但谈方法要做除法，遇 到近似计时运比校复杂、误差积累大：件阵法可以蓝免除法运草，但当柜阵阶 款用过4时，求随柜阵的运草量星指故级上升，故此法只能用于小间题. 本例的柜阵分折不准推广到更多产品的墙形，尤其是一些大型的经济系统。如一个 地区、一一个国家，汗多多的门，授入产出分析全面地、深刻地揭示了各门《产 品)之间相互依存、相互制的的关系。在经济系统中，门越多，这些依存关系感复杂， 没有规性代款的工具，很难分析清是这种依存关系。 投入产出方法在经济工作中的主葬应用之一是为计划服务，它是加强综合平衡、改 进计划管理的重要工具，投入产出分析可以从最终产品出发编格部门的计划方需，利 用投入产出分析可以检验现有计划方案在部门比例上的平衡性，利用投入产出分析有利 于调整现有的计划， 投入产出分析不仅可用于本例所求的总产品及耳增量，而且还可用于分析在民经济 中诸如社会产值、国民收入，价格措故等的故重与构成，从而对宏观经济的运行与调控 提供决果依据。所以运用线性代数的工具开展投入产出分析，具有非常闲的前景