第16章 次根式 162最简二次根式
第16章 二次根式 16.2 最简二次根式 1
复习 二次根式的性质 ()(√a)2=a(a≥0); (2)ya2=a|= a(a20) a(a0) b
二次根式的性质 ( 0; 0). ( 0; 0); ( 0); ( 0), | | ( ) ( 0); 2 2 = = − = = = a b b a b a ab a b a b a a a a a a (1) a a a (2) (3) (4) 复 习 2
观察下列二次根式及其化简所得结果, 比较被开方数发生了什么变化? 被开方数不 18 3√2 含开得尽方 的因数 Ba 被开方数 V3 不含分母 b (b>0) (b>0) 9a Ba
18 3 2 观察下列二次根式及其化简所得结果, 比较被开方数发生了什么变化? 3 a 3 3 a 2 ( 0) 9 b b a ( 0) 3 b b a a 被开方数不 含开得尽方 的因数 被开方数 不含分母 3
(1)被开方数各因式的指数都为1 (2)被开方数不含分母 被开方数满足上述两个条件的二次根式,叫 做最简二次根式 如 x-+ y x y 4 4 6m(a2+b2) 6mab2=ab√6m 24x3=√23.3x3=2x6x(x20 概念库
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式． （２）被开方数不含分母． 如： 1 2 4 x y + 2 2 6 ( ) m a b + 1 2 4 x y2 2 6ma b √ 4 x = y √ = ab m6 3 24x 3 3 = 2 3 x = 2 6 ( 0) x x x （１）被开方数各因式的指数都为1． 4
例1.判断下列二次根式是不是最简二次根式 5a (2)√42a(3八y3(a2+2a+1)(4)25m3+50m2 解(1)因为被开方数含分母3, 所以}不是最简二次根式 3 (2)因为被开方数分解:42a=2·3.7·a 所以4a是最简二次根式 注:被开方数比较复杂时, 例题讲解 应先进行因式分解再观察
5 (1) 3 a 例１．判断下列二次根式是不是最简二次根式 解(1)因为被开方数 含分母３， 5 3 a 所以 不是最简二次根式． 5 3 a (2) 42a (2)因为被开方数分解： 42 2 3 7 a a = 所以 42a 是最简二次根式． 2 (3) 3( 2 1) a a + + 注:被开方数比较复杂时， 应先进行因式分解再观察3 2 (4) 25 50 m m + 5
例2将下列二次根式化成最简二次根式 (1)4x3y2(y>0)(2)a2-b2)a+b)(a≥b20 解:由4x3y2≥0和y>0解原式 得x≥0 (a-b(a+b(a+b) 原式=√22x2x (a-b)(a+b) =2 lynx (a+b)a-b(a≥b≥0) &将被开方数中 用它的正平方根代替后移到根号外面 &把被开方数(或式)化成积的形式,即分解因式
例2.将下列二次根式化成最简二次根式. 3 2 (1) 4 ( 0) x y y 用它的正平方根代替后移到根号外面 . ＆将被开方数中 解:由 和 3 2 4 0 x y y 0 得x≥0 原式= 2 2 2 2 x x y = 2xy x 解原式 2 2 (2) ( )( ) ( 0) a b a b a b − + ＆把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式 = − + + ( )( )( ) a b a b a b 2 = − + ( )( ) a b a b = + − ( ) ( 0) a b a b a b 6
(3),/m+n (m>n>0) n-n 解原式=(O+m;(m=m 2 mm -n (m-n)·(m-n) (m-n) 2 m -n 2 2 n -n (m-n)2 (m>n>0) n-n &将被开方数中的分母化去 7
(3) ( 0) m n m n m n + − ＆将被开方数中的分母化去 解原式= ( ) ( ) ( ) ( ) m n m n m n m n + − − − 2 2 2 ( ) m n m n − = − 2 2 2 ( ) m n m n − = − 2 2 ( 0) m n m n m n − = − 7
化简二次根式的步骤: 1把被开方数分解因式(或因数); 2将被开方数中开得尽方的因数(式用它的正 平方根代替后移到根号外面 3将被开方数中的分母化去 4被开方数是带分数或小数时要化成 假分数 919×2√9×2 她展 vex 2
化简二次根式的步骤: 1.把被开方数分解因式(或因数) ； 2.将被开方数中开得尽方的因数(式)用它的正 平方根代替后移到根号外面 . 3.将被开方数中的分母化去 1 4 2 9 2 = 9 2 9 2 3 2 2 2 2 4 = = = 4.被开方数是带分数或小数时要化成 假分数. 8
被开方数是多喷式的要无分解因武再进行观察判断 判断下列各式是否为最简二次根式? (1)12(×);(2)45a2b(X); (3)30x(V);(4)x,(×) X (5)41(×);(6)5mNm2+9(√) (7)√25m1+225m2(x);V25m2(m2+9)
判断下列各式是否为最简二次根式？ 12 a b 2 45 5 9 2 m m + 30x 2 1 4 1 3 x y x 4 2 25m + 225m （5） （ ）； （2） （ ）； （3） （ ）；（4） （ ）； （1） （ ）； （6） （ ）； （7） （ ）； √ × × × × √ × 被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断． 辨析训练一 25 ( 9) 2 2 m m + 9
练习1将下列二次根式化成最简二次根式 5n (m>0)(2)√7+14x+7x2(x<-1 24m x-1/,4,3 x (3) X 2xv+ 2(xy)(4)-a11 y (0<x<y) 10
练习1.将下列二次根式化成最简二次根式. 2 4 3 3 4 2 2 5 (1) ( 0) (2) 7 14 7 ( 1) 24 1 (3) ( ) (4) 2 n m m x x x m x y x y x y x y a y x xy y a + + − − + − − − + (0<x<y) 10