学科网 学科网 ZXXK COM)名校联盟系列资料 上学科网,下精品资料! 26.2.1建立反比例函数模型解实际问题 教学目标: 1.通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间 的联系。 2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数 学的意识。 3.进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。 重点难点: 重点:使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系, 能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点, 难点:进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点 教学过程 引言 在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如拱桥跨 度、拱髙计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的 意义。本节课,请同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。 二、探索问题 问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱 子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为0.8m。水流在各 个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示。 图<1 根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m) 与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+ (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落 在水池内? 教学要点 1.让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题()就是 求函数y=-x+2x+最大值,问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标: 北京风凰学易科技有限公司 版权所有《学科网
26.2.1 建立反比例函数模型解实际问题 教学目标： 1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间 的联系。 2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数 学的意识。 3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。 重点难点： 重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系， 能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。 难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点． 教学过程： 一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨 度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的 意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。 二、探索问题[来源:Z xx k.C om] 问题 1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱 子，上面的 A 处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为 0.8m。水流在各 个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。 根据设计图纸已知： 如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度 y(m) 与水平距离 x(m)之间的函数关系式是 y＝－x 2＋2x＋ 4 5 。 (1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少? (2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落 在水池内? 教学要点[来源: 学科网] 1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是 求函数 y＝－x 2＋2x＋ 4 5 最大值，问题(2)就是求如图(2)B 点的横坐标；
学科网 学科网 ZXXK COM)名校联盟系列资料 上学科网,下精品资料! 2.学生解答,教师巡视指导; 3.让一两位同学板演,教师讲评。 问题2:一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽 AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时,离开水面1.5m处,涵洞宽 ED是多少?是否会超过1m? 教学要点 1.教师分析:根据已知条件,要求ED的宽,只要 求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中,即只要求 出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上,又 由已知条件可得到点D的纵坐标,所以利用抛物线的函 数关系式可以进一步算出点D的横坐标 2.让学生完成解答,教师巡视指导。 3.教师分析存在的问题,书写解答过程。 解:以AB的垂直平分线为y轴,以过点0的y轴 图(3) 的垂线为x轴,建立直角坐标系 这时,涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,开口向下, 所以可设它的函数关系式为:y=ax2(a0),则点D坐标为(x1,-1.5)。因为点D 的坐标在抛物线上,将它的坐标代人(2),得-1.5≈~15 X=-5不符合假设,舍去,所以x小8。 北京风凰学易科技有限公司 版权所有《学科网
2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。 问题 2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽 AB＝1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4m。这时，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少?是否会超过 1m? 教学要点 1．教师分析：根据已知条件，要求 ED 的宽，只要 求出 FD 的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求 出 D 点的横坐标。因为点 D 在涵洞所成的抛物线上，又 由已知条件可得到点 D 的纵坐标，所以利用抛物线的函 数关系式可以进一步算出点 D 的横坐标。 2．让学生完成解答，教师巡视指导。 3．教师分析存在的问题，书写解答过程。 解：以 AB 的垂直平分线为 y 轴，以过点 O 的 y 轴 的垂线为 x 轴，建立直角坐标系。 这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，开口向下， 所以可设它的 函数关系式为：y＝ax 2 (a＜0) (1) 因为 AB 与 y 轴相交于 C 点，所以 CB＝ AB 2 ＝0.8(m)，又 OC＝2.4m，所以点 B 的坐标是(0.8，－2.4)。 因为点 B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －2.4＝a×0.82 所以： a＝－ 15 4 因此，函数关系式是 y＝－ 15 4 x 2 (2) 因为 OF＝1.5m，设 FD＝x1m(x1＞0)，则点 D 坐标为(x1，－1.5)。因为点 D 的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得 －1.5＝－ 15 4 x1 2 x1 2＝ 2 5 x1＝ ± 10 5 x1＝－ 10 5 不符合假设，舍去，所以 x1＝ 10 5
学科网 学科网 ZXXK COM)名校联盟系列资料 上学科网,下精品资料! ED=2FD=2×x1=2 20≈×3,162≈1.26(m) 55 所以涵洞ED是10m,会超过1m 问题3:画出函数y=x2-x-3/4的图象,根据图象回答下列问题。 (1)图象与x轴交点的坐标是什么; (2)当x取何值时,y=0?这里x的取值与方程x2-x-7=0有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 教学要点 1.先让学生回顾函数y=ax2+bx+c图象的画法,按列表、描点、连线等 步骤画出函数y=x-x-的图象 2.教师巡视,与学生合作、交流 3.教师讲评,并画出函数图象,如图(4)所示 4.教师引导学生观察函数图象,回答(1)提 出的问题,得到图象与x轴交点的坐标分别是(一 0)和(。,0) 5.让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并 讲评 6.对于问题(3),教师组织学生分组讨论 交流,各组选派代表发表意见,全班交流,达成 共识:从“形”的方面看,函数y=x2-x-的图象与x轴交点的横坐标,即为 方程x-x=4=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x-x-4的函数值 为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-=0的解。更一般地,函数y=ax2 +bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数 y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的 解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。 北京风凰学易科技有限公司 版权所有《学科网
ED＝2FD＝2×x1＝2× 10 5 ＝ 2 5 10≈ 2 5 ×3.162≈1.26(m) 所以涵洞 ED 是 2 5 10m，会超过 1m。 问题 3：画出函数 y＝x 2－x－3/4 的图象，根据图象回答下列问题。 (1)图象与 x 轴交点的坐标是什么； (2)当 x 取何值时，y＝0?这里 x 的取值与方程 x 2－x－ 3 4 ＝0 有什么关系? (3)你能从中得到什么启发? 教学要点 1．先让学生回顾函数 y＝ax 2＋bx＋c 图象的画法，按列表、描点、连线等 步骤画出函数 y＝x 2－x－ 3 4 的图象。[来源:学科网] 2．教师巡视，与学生合作、交流。 3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。 4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提 出的问题，得到图象与 x 轴交点的坐标分别是(－ 1 2 ，0)和( 3 2 ，0)。[来源: Z x xk. Com ] 5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并 讲评。 6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、 交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成 共识：从“形”的方面看，函数 y＝x 2－x－ 3 4 的图象与 x 轴交点的横坐标，即为 方程 x 2－x－ 3 4 ＝0 的解；从“数”的方面看，当二次函数 y＝x 2－x－ 3 4 的函数值 为 0 时，相应的自变量的值即为方程 x 2－x－ 3 4 ＝0 的解。更一般地，函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标即为方程 ax 2＋bx＋c＝0 的解；当二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的函数值为 0 时，相应的自变量的值即为方程 ax 2＋bx＋c＝0 的 解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系
学科网 学科网 ZXXK COM)名校联盟系列资料 上学科网,下精品资料! 三、试一试 根据问题3的图象回答下列问题。 (1)当x取何值时,y0? (当 x。时,y>0) (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题?(能用含有x的不等式采 描述(1)中的问题,即x2-x-0的解集是什么?) 想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流,达成共识 (1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点 的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点 的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c0的解;当二次函数y=ax +bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c 0、ax2+bx+c0:③y<0。 3.学校建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。0 恰好在水面中心,布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿 形状相同的抛物线路径落下,且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示,建 立直角坐标系(如图(6),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数 关系式是y=-x2+。x+,请回答下列问题 (1)花形柱子OA的高度; 北京风凰学易科技有限公司 版权所有《学科网
三、试一试 根据问题 3 的图象回答下列问题。 (1)当 x 取何值时，y＜0?当 x 取何值时，y＞0?[来源: 学_科_网] (当－1 2 ＜x＜ 3 2 时，y＜0；当 x＜－ 1 2 或 x＞ 3 2 时，y＞0) (2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题? (能用含有x的不等式采 描述(1)中的问题，即 x 2－x－ 3 4 ＜0 的解集是什么?x2－x－ 3 4 ＞0 的解集是什么?) 想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系? 让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识： (1)从“形”的方面看，二次函数 y＝ax 2＋bJ＋c 在 x 轴上方的图象上的点 的横坐标，即为一元二次不等式 ax 2＋bx＋c＞0 的解；在 x 轴下方的图象上的点 的横坐标．即为一元二次不等式 ax 2＋bx＋c＜0 的解。 (2)从“数”的方面看，当二次函数 y＝ax 2＋bx＋c的函数值大于 0 时，相 应的自变量的值即为一元二次不等式 ax 2＋bx＋c＞0 的解；当二次函数 y＝ax 2 ＋bx＋c 的函数值小于 0 时，相应的自变量的值即为一元二次不等式 ax 2＋bc＋c ＜0 的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。 四、课堂练习： P23 练习 1、2。 五、小 结： 1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑? 2．若二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象与 x 轴无交点，试说明，元二次方程 ax 2＋bx＋c＝0 和一元二次不等式 ax 2＋bx＋c＞0、ax 2＋bx＋c＜0 的解的情况。 六、作业： 1. 二 次函数 y＝x 2－3x－18 的图象与 x 轴有两交点，求两交点间的距离。 2．已知函数 y＝x 2－x－2。 (1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象 (2)观察图象确定：x 取什么值时，①y＝0，②y＞0；③y＜0。 3．学校建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 OA。O 恰好在水面中心，布置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿 形状相同的抛物线路径落下，且在过 OA 任意平面上的抛物线如图(5)所示，建 立直角坐标系(如图(6))，水流喷出的高度 y(m)与水面距离 x(m)之间的函数 关系式是 y＝－x 2＋ 5 2 x＋ 3 2 ，请回答下列问题： (1)花形柱子 OA 的高度；
学科网 学科网 ZXXK COM)名校联盟系列资料 上学科网,下精品资料! (2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落 在池外? 图(5) 图(6) 图(7 4.如图(⑦),一位籃球运动员跳起投篮,球沿抛物线y +3.5运行,然后 准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为3.05米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时,球出手离地面的高度为2.25米,请问他距离篮框 中心的水平距离是多少? 北京风凰学易科技有限公司 版权所有《学科网
(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落 在池外? 4．如图(7)，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线 y＝－ 1 5 x 2＋3.5 运行，然后 准确落人篮框内。已知篮框的中心离地面的距离为 3.05 米。 (1)球在空中运行的最大高度为多少米? (2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为 2.25 米，请问他距离篮框 中心的水平距离是多少?