九年级数学(上)期末模拟试卷 选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 1.下列电视台的台标,是中心对称图形的是() ⑤64□ 2.掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 A.必有5次正面朝上 B.可能有5次正面朝上 C.掷2次必有1次正面朝上 D.不可能10次正面朝上 3.用配方法解方程x-2x-3=0时,配方后所得的方程为() A、(x-1)2=4B、(x-1)2=2C、(x+1)2=4D、(x+1)2=2 4.九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留 作纪念,全班共送了2070张相片,如果全班有x名学生,根据题意列出方程 为() A.2+(x-1)=2070B、2x(x+1)=2070 C、x(x+1)=2070D、x(x-1)=2070 5.小明想用一个圆心角为120°,半径为6cm的扇形做一个圆锥的侧面(接 缝处忽略不计),则做成的圆锥底面半径为() A、4cr B、3cm D、1cm 6.已知抛物线y=ax+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图,其 中正确的是() A B C 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 7.一元二次方程x=x的解为 8.如图,若AB是⊙O的直径,AB=10,∠CAB=30 则BC B 9.如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与 自身完全重合,则其旋转的角度至少为 10.某品牌手机两年内由每台2500元降低到每台1600元, 则这款手机平均每年降低的百分率为 火
九年级数学（上）期末模拟试卷 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．掷一枚质地均匀的硬币 10 次，下列说法正确的是（ ） A．必有 5 次正面朝上 B．可能有 5 次正面朝上 C．掷 2 次必有 1 次正面朝上 D．不可能 10 次正面朝上 3．用配方法解方程 x 2－2x－3＝0 时，配方后所得的方程为（ ） A、(x－1)2＝4 B、(x－1)2＝2 C、(x＋1)2＝4 D、(x＋1) 2＝2 4．九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留 作纪念，全班共送了 2070 张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意列出方程 为（ ） A、 1 2 x(x－1)＝2070 B、 1 2 x(x＋1)＝2070 C、x(x＋1)＝2070 D、x(x－1)＝2070 5．小明想用一个圆心角为 120°，半径为 6cm 的扇形做一个圆锥的侧面（接 缝处忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（ ） A、4 cm B、3 cm C、2 cm D、1 cm 6．已知抛物线 y＝ax 2＋bx 和直线 y＝ax＋b 在同一坐标系内的图象如图，其 中正确的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 7．一元二次方程 x 2＝x 的解为 。 8．如图，若 AB 是⊙O 的直径，AB＝10，∠CAB＝30°， 则 BC＝ 。 9．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与 自身完全重合，则其旋转的角度至少为 。 10．某品牌手机两年内由每台 2500 元降低到每台 1600 元， 则这款手机平均每年降低的百分率为 。 A O B C
11.若正方形的边长为6cm,则其外接圆半径是 12.林业工人为调查树木的生长情况,常用一种角卡工具, 可以很快测出大树的直径,其工作原理如图所示,已知AC 和AB都与⊙0相切,∠BAC=60°,AB=0.6m,则这棵大树 的直径为 13.将二次函数y=-2(x-1)2+3的图象关于原点作对称变换 则对称后得到的二次函数的解析式为 14.如图,矩形ABC内接于⊙O,∠OAD=30°,若点P是 O ⊙O上一点,且OP⊥OA,则∠OPB的度数为 三、(本大题共4小题,每小题6分,共24分) 15.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。 求该抛物线的解析式 16.如图,在10×10的正方形格纸中,小正方形的顶点称为格点,用尺规完 成下列作图(保留作图痕迹,不要求写作法)。 (1)在图1的方格纸中,画出一个经过E、F两点的圆弧,并且使得半径最小, 请在图中标出圆心0并直接写出该圆的半径长度 (2)在图2的方格纸中,画出一个经过E、F两点的圆弧,并且使圆心是格点, 请在图中标出圆心O并直接写出该圆的半径长度
11．若正方形的边长为 6cm，则其外接圆半径是 。 12．林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡工具， 可以很快测出大树的直径，其工作原理如图所示，已知 AC 和 AB 都与⊙O 相切，∠BAC＝60°，AB＝0.6m，则这棵大树 的直径为 。 13．将二次函数 y＝－2(x－1)2 ＋3 的图象关于原点作对称变换， 则对称后得到的二次函数的解析式为 。 14．如图，矩形 ABCD 内接于⊙O，∠OAD＝30°，若点 P 是 ⊙O 上一点，且 OP⊥OA，则∠OPB 的度数为 。 三、（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 15．已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（－2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8）。 求该抛物线的解析式。 16．如图，在 10×10 的正方形格纸中，小正方形的顶点称为格点，用尺规完 成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）。 （1）在图 1 的方格纸中，画出一个经过 E、F 两点的圆弧，并且使得半径最小， 请在图中标出圆心 O 并直接写出该圆的半径长度。 （2）在图 2 的方格纸中，画出一个经过 E、F 两点的圆弧，并且使圆心是格点， 请在图中标出圆心 O 并直接写出该圆的半径长度。 图 1 E F 图 2 E F C A B ·O A D B C ·O
17.在体育课上,老师向排好队列的学生讲解行进间传球的要领时,叫甲、乙、 丙、丁四位是年级球队队员的同学出列,配合老师进行传球示范。 (1)首先球在老师手里时,直接传给甲同学的概率是多少? (2)当老师传给甲后,老师叫四位同学相互传球,其他人观看体会,当甲第一 个传出,求甲传给下一个同学后,这个同学又再传回给甲的概率。 18.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0。 (1)若该方程的一个根为1,求a的值及该方程的另一根 (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根。 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 19.如图所示,正方形网格中,△ABC为格点三角形(即三角形的顶点都在格 点上) (1)把△ABC沿BA方向平移后,点A移到点A,在网格中画出平移后得到的 △A1BC; (2)把△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°,在网格中画出旋转后的△ ABC (3)如果网格中小正方形的边长为1,求点B经过(1)、(2)变换的路径 总长
17．在体育课上，老师向排好队列的学生讲解行进间传球的要领时，叫甲、乙、 丙、丁四位是年级球队队员的同学出列，配合老师进行传球示范。 (1)首先球在老师手里时，直接传给甲同学的概率是多少? (2)当老师传给甲后，老师叫四位同学相互传球，其他人观看体会，当甲第一 个传出，求甲传给下一个同学后，这个同学又再传回给甲的概率。 18．已知关于 x 的方程 x 2＋ax＋a－2＝0。 （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 四、（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分） 19．如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格 点上）． （1）把△ABC 沿 BA 方向平移后，点 A 移到点 A1，在网格中画出平移后得到的 △A1B1C1； （2）把△A1B1C1绕点 A1按逆时针方向旋转 90°，在网格中画出旋转后的△ A1B2C2； （3）如果网格中小正方形的边长为 1，求点 B 经过（1）、（2）变换的路径 总长．
20.如图,CD为⊙0的直径,CD⊥AB,垂足为点F, AO⊥BC,垂足为点E,OA=1 (1)求∠C的大小 (2)求阴影部分的面积。 21.在等边△ABC中,以BC为直径的⊙O与AB交于点D DE⊥AC,垂足为点E (1)求证:DE为⊙0的切线 CE (2)计算
20．如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB，垂足为点 F， AO⊥BC，垂足为点 E，OA＝1。 （1）求∠C 的大小； （2）求阴影部分的面积。 21．在等边△ABC 中，以 BC 为直径的⊙O 与 AB 交于点 D， DE⊥AC，垂足为点 E． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）计算CE AE
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 22.某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书,此书标价为20元。现A、 B两书店都有此书出售,A店按如下方法促销:若只购一本,则按标价销售 若一次性购买多于一本,但不多出20本时,每多购一本,每本销售价在标价 的基础上优惠%(例如买两本,每本价优惠2%:买三本价优惠4%,以此类推) 若购买多于20本时,每本售价为12元。B店一律按标价的7折销售。 (1)试分别写出在两书店购此书的总价y、与购本书数x之间的函数关系 (2)若某班一次性购买多于20本时,那么去哪家书店购买更合算?为什么? 若要一次性购买不多于20本时,先写出y(y=y-y)与购书本数x之间的 函数关系式,并在图中画出其函数图象,再利用函数图象分析去哪家书店购买 更合算
五、（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 22．某校七年级学生准备去购买《英汉词典》一书，此书标价为 20 元。现 A、 B 两书店都有此书出售，A 店按如下方法促销：若只购一本，则按标价销售； 若一次性购买多于一本，但不多出 20 本时，每多购一本，每本销售价在标价 的基础上优惠 2%（例如买两本，每本价优惠 2%；买三本价优惠 4%，以此类推）； 若购买多于 20 本时，每本售价为 12 元。B 店一律按标价的 7 折销售。 （1）试分别写出在两书店购此书的总价 yA、yB与购本书数 x 之间的函数关系 式。 （2）若某班一次性购买多于 20 本时，那么去哪家书店购买更合算？为什么？ 若要一次性购买不多于 20 本时，先写出 y（y＝yA－yB）与购书本数 x 之间的 函数关系式，并在图中画出其函数图象，再利用函数图象分析去哪家书店购买 更合算。 4 8 12 16 O x y
23.在一节数学实践活动课上,老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板 他向同学们提出了这样一个问题:若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上 用一个圆形硬纸板将其盖住,这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大?问题提 出后,同学们经过讨论,大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重 叠地适当放置,圆形硬纸板能盖住时的最小直径.老师将同学们讨论过程中探 索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上,如下图所示: (1)计算(结果保留根号与π) (Ⅰ)图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 (Ⅱ)图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 (Ⅲ)图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 (2)其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的,请你画 出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法,(只要画出示意图, 不要求说明理由),并求出此时圆形硬纸板的直径 六、(本大题共12分) 24.如图1,若抛物线L的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛 物线L上(点A与点B不重合),我们定义:这样的两条抛物L,L2互为“友好” 抛物线,可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条。 (1)如图2,已知抛物线la:y=2x2-8x+4与y轴交于点C,试求出点C关 于该抛物线对称轴对称的点D的坐标; (2)请求出以点D为顶点的l的友好抛物线L4的解析式,并指出与L中y 同时随x增大而增大的自变量的取值范围 (3)若抛物y=a(x-m)2+n的任意一条友好抛物线的解析式为y=a(x )2+k,请写出a与a的关系式,并说明理由。 图2
23．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为 5cm 的正方形硬纸板， 他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上， 用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提 出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重 叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探 索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示： （1）计算（结果保留根号与π）． （Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为 cm； （Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm； （Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为 cm； （2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画 出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图， 不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径． 六、（本大题共 12 分） 24．如图 1，若抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上，抛物线 L2的顶点 B 也在抛 物线 L1上(点 A 与点 B 不重合），我们定义：这样的两条抛物 L1，L2互为“友好” 抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条。 （1）如图 2，已知抛物线 L3：y＝2x 2－8x＋4 与 y 轴交于点 C，试求出点 C 关 于该抛物线对称轴对称的点 D 的坐标； （2）请求出以点 D 为顶点的 L3的友好抛物线 L4的解析式，并指出 L3与 L4中 y 同时随 x 增大而增大的自变量的取值范围； （3）若抛物 y＝a1 (x－m) 2＋n 的任意一条友好抛物线的解析式为 y＝a2 (x－ h) 2＋k，请写出 a1与 a2的关系式，并说明理由。 x y C O L3 图 2 x A y L2 B O L1 图1
参考答案 选择题 1、A2、B3、A4、D5、C6、D 、填空题 7、x=0,x=1:8、5 10、20% 313、y=2(x+1) 或 15、y=2x2+2x-4 解:(1)作图如图1,半径等于 (2)作图如图2,半径等于5或√ 17,解:(1)当球在老师手里时,先直接传给甲同学的概率是4;… 2分 (2)当甲传出球后,经两次传球的情况可用如下树状图表示: 4分 甲丙丁甲乙丁甲乙丙 再传回甲的概率为5=3… …6分 18、(1)将x=1代入方程x+axa-2=0得,1+a+a-2=0,解得,a
参考答案 一、选择题 1、A 2、B 3、A 4、D 5、C 6、D 二、填空题 7、x1＝0，x2＝1； 8、5 9、72° 10、20% 11、3 2 cm 12、 2 5 3 13、y＝2(x＋1)2 －3 14、15°或 75° 三~六 15、y＝2x 2＋2x－4 16、 解：（1）作图如图 1，半径等于 10 . 2 （2）作图如图 2，半径等于 5 或 5. 17、解：(1)当球在老师手里时，先直接传给甲同学的概率是1 4 ；………………… 2 分 (2)当甲传出球后，经两次传球的情况可用如下树状图表示: …………………4 分 ∴再传回甲的概率为3 9 ＝ 1 3 。………………………………………6 分 18、（1）将 x＝1 代入方程 x 2 +ax+a－2＝0 得，1＋a＋a－2＝0，解得，a＝ 1 2 ； 图 1 E F 图 2 F E O O O O O
方程为x+x-2=0,即22+x-3=0,设另一根为x,则x=-2 (2)∵△=a2-4(a-2)=a-4a+8=a2-4a+4+4=(a-2)2+4>0,…3分 ∴不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根.…6分 19、(1)画图正确。 2分 (2)画图正确 4分 (3)B=V2+2=22:…5分 弧BB的长 2y2 180 7分 B2 C 点B所走的路径总长=2y2+ 2 20、(1)证明:由CD⊥AB,得 A=m;∵∠A0D=2∠ 由AO⊥BC,易得∠C=30°。 …4分 (2) 3 4……8分 21、(1)证明:连接OD, △ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°, 又∵0D=0B,∴△OBD为等边三角形, ∴∠BOD=60°=∠ACB,∴OD∥AC, 又∵D⊥AC,∴∠ODE=∠AED=90°, ∴DE为⊙0的切线; 4分 (2)解:连接CD BC为⊙0的直径,∴∠BDC=90°, 又∵△ABC为等边三角形,∴AD=BD=AB, 在Rt△AED中,∠A=60°,∴∠ADE=30° AE=- AD=- AC, CE=AC-AE=- AC
方程为 x 2＋ 1 2 x－ 3 2 ＝0，即 2x 2＋x－3＝0，设另一根为 x1，则 x1＝－ 3 2 ． （2）∵△＝a 2－4(a－2)＝a 2－4a＋8＝a 2－4a＋4＋4＝(a－2)2＋4＞0，…3 分 ∴不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．……………6 分 19、（1）画图正确。…………2 分 （2）画图正确．………………4 分 （3）BB1＝ 2 2＋2 2 ＝2 2 ；……5 分 弧 B1B2的长＝90π 2 180 ＝ 2 π 2 。……7 分 点 B 所走的路径总长＝2 2 ＋ 2 π 2 。……8 分 20、（1）证明：由 CD⊥AB，得 ⌒AD ＝ ⌒DB ；∴∠AOD＝2∠C 由 AO⊥BC ，易得∠C ＝30°。…………4 分 （2） 1 3 π－ 3 4 ………………8 分 21、（1）证明：连接 OD， ∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC＝60°， 又∵OD＝OB，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠BOD＝60°＝∠ACB， ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠AED＝90°， ∴DE 为⊙O 的切线；………………4 分 （2）解：连接 CD， ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°， 又∵△ABC 为等边三角形，∴AD＝BD＝ 1 2 AB， 在 Rt△AED 中，∠A＝60°，∴∠ADE＝30°， ∴AE＝ 1 2 AD＝ 1 4 AC，CE＝AC－AE＝ 3 4 AC
3.………8分 22、解:(1)设购买x本,则在A书店购书的总费用为 20x[1-2%(x-1)](020) 3分 在B书店购书的总费用为y=20×0.7x=14x 5分 (2)当x>20时,显然y0 当x=16时,y=0;当16<x≤20时,y<0 综上所述,若购书少于16本时,到B书店购买; 若购买16本,到A、B书店费用一样; 若超过16本,则到A书店购买合算。…………9分 23、(1)(I)如图1,连结BD, 易得圆的最小直径为50cm 1分 (Ⅱ)如图2,易得A,B,C三点在以0为圆心, OA为半径的圆上。利用勾股定理求得0A=5V2, 所以圆的最小直径为102cm。…3分 (Ⅲ)如图3,由垂径定理可知,OA为最小圆的半径, 易得0A=5,所以圆的最小直径为10VEcm。 (2)如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法: 连接OB,ON,延长OH交AB于点P, 则OP⊥AB,P为AB中点设OG=x,则OP=10-x
∴ CE AE ＝3．………………8 分 22、解：（1）设购买 x 本,则在 A 书店购书的总费用为 20x[1－2%(x－1)]（0＜x≤20） 12x，（x＞20） ………………3 分 在 B 书店购书的总费用为 yB=20×0.7x＝14x ………5 分 （2）当 x＞20 时, 显然 yA＜yB，去 A 店买更合算。 当 0＜x≤20 时，y＝yA－yB＝－ 2 5 x 2＋ 32 5 x ＝－ 2 5 (x－8)2 ＋25.6 当－2 5 (x－8)2＋25.6＝0 时，x＝0 或 16。………7 分 由图象可得：当 0＜x＜16 时， y＞0； 当 x＝16 时，y＝0；当 16＜x≤20 时，y＜0。 综上所述,若购书少于 16 本时，到 B 书店购买； 若购买 16 本，到 A、B 书店费用一样； 若超过 16 本，则到 A 书店购买合算。…………9 分 23、（1）（Ⅰ）如图 1，连结 BD， 易得圆的最小直径为 5 10 cm；……………1 分 （Ⅱ）如图 2，易得 A，B，C 三点在以 O 为圆心， OA 为半径的圆上。利用勾股定理求得 OA＝5 2 ， 所以圆的最小直径为 10 2 cm。…………3 分 （Ⅲ）如图 3，由垂径定理可知，OA 为最小圆的半径， 易得 OA＝5 2 ，所以圆的最小直径为 10 2 cm。…………5 分 （2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法：……6 分 连接 OB，ON，延长 OH 交 AB 于点 P， 则 OP⊥AB，P 为 AB 中点设 OG＝x，则 OP＝10－x， A B C O A B D A O E A D B C yA＝
则有:x2+52=(10-x)2+(。)2。 解得:x=5:则0=25 16 分 所以直径为 8°…………9分 24、(1)点D坐标(4,4)…………3分 (2)L4的解析式y=-2(x-4)2+4…6分 由图象可知,当2≤x≤4时,抛物线L3与L4中y同时随x增大而增大。…8 分 (3)a与a的关系式为a+a=0或a=-a。………9分 理由如下: ∵抛物线=a1(x-m)2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2(x-b)2 +k, ∴y=a(x-b2+k过点(m,n),且y=a1(xm)2+n过点(h,k),即 k=a1(h-m)2+n…①;n=a(m-h)2+k 10 由①+②得(a+a)(h-m)2=0 分 又“友好”抛物线的顶点不重合,∴h≠m, ∴a+a2=0或a1 12分
则有：x 2＋5 2＝(10－x) 2＋( 5 2 ) 2。 解得：x＝ 65 16 ； 则 ON＝ 25 17 16 ，…………8 分 所以直径为25 17 8 。…………9 分 24、（1）点 D 坐标（4，4）…………3 分 （2）L4的解析式 y＝－2(x－4) 2＋4…………6 分 由图象可知，当 2≤x≤4 时，抛物线 L3与 L4中 y 同时随 x 增大而增大。……8 分 （3）a1与 a2的关系式为 a1＋a2＝0 或 a1＝－a2。…………9 分 理由如下： ∵抛物线 y＝a1 (x－m) 2＋n 的一条“友好”抛物线的解析式为 y＝a2 (x－h) 2 ＋k， ∴y＝a2 (x－h) 2＋k 过点（m，n），且 y＝a1 (x－m) 2＋n 过点（h，k），即 k＝a1 (h－m) 2＋n…………①；n＝a2 (m－h) 2＋k…………② …………10 分 由①＋②得(a1＋a2)(h－m) 2＝0。 …………11 分 又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m， ∴a1＋a2＝0 或 a1＝－a2。 …………12 分