北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 数 学 2018.1 本试卷共8页,共三道大题,28道小题,满分100分。考试时间120分钟。 、选择题(本题共16分,每小题2分) 第1-8题均有四个选项,符合題意的选项只有一个 抛物线y=(x-1)+2的对称轴是 A.x=-1 D.X=2 2.在△ABC中,∠C=90°.若AB=3,BC=1,则sinA的值为 B.22 2√2 如图,线段BD,CE相交于点A,DE∥BC.若AB=4,AD=2,DE=1.5, 则BC的长为 B.2 4.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段 BC的延长线上,则∠B的大小为 5.如图,△OAB∽△OCD,OAOC=3:2,∠A=a,∠C=B,△OAB与△OCD的面积分别是S和S2,△ OAB与△OCD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是 B.a、3 D CD 2 B 2 6.如图,在平面直角坐标系xO中,点A从(3,4)出发,绕点O顺时针旋转一周,则点A不经过 A M 点点点点 Q 6x
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 数 学 2018．1 本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．． 1．抛物线 ( ) 2 y x = − + 1 2 的对称轴是 A． x =−1 B． x =1 C． x =−2 D． x = 2 2．在△ABC 中，∠C = 90°．若 AB = 3，BC = 1，则 sin A 的值为 A． 1 3 B． 2 2 C． 2 2 3 D．3 3．如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．若 AB = 4，AD = 2，DE = 1.5， 则 BC 的长为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 100°，得到△ADE．若点 D 在线段 BC 的延长线上，则 B 的大小为 A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，△OAB∽△OCD，OA:OC = 3:2，∠A = α，∠C = β，△OAB 与△OCD 的面积分别是 1 S 和 2 S ，△ OAB 与△OCD 的周长分别是 C1 和 C2 ，则下列等式一定成立的是 A． 3 2 OB CD = B． 3 2 = C． 1 2 3 2 S S = D． 1 2 3 2 C C = 6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（3，4）出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不．经过 A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q E B C D A D E C B A x y –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 –1 –2 –3 –4 –5 1 2 3 4 5 P Q N M A O D O A B C
7.如图,反比例函数y=-的图象经过点A(4,1),当y4 B.0 8.两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A出发沿线段AB运动到点B,小兰 从点C出发,以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C,两人的运动 路线如图1所示,其中AC=DB.两人同时开始运动,直到都停止运动时 游戏结束,其间他们与点C的距离y与时间x(单位:秒)的对应关系如 图2所示.则下列说法正确的是 C O1.09 7499.68 17.12x B A.小红的运动路程比小兰的长 B.两人分别在1.09秒和749秒的时刻相遇 C.当小红运动到点D的时候,小兰已经经过了点D D.在4.84秒时,两人的距离正好等于⊙O的半径 二、填空题(本题共16分,每小题2分) 9.方程x2-2x=0的根为 10.已知∠A为锐角,且mA=√3,那么∠A的大小是 y↑x=1 1l.若一个反比例函数图象的每一支上,y随x的增大而减小,则此反比例函数表 达式可以是 (写出一个即可) 12.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,点P,点Q是抛物线与x 轴的两个交点,若点P的坐标为(4,0),则点Q的坐标为 13.若一个扇形的圆心角为60°,面积为6π,则这个扇形的半径为 14.如图,AB是⊙O的直径,PA,PC分别与⊙O相切于点A,点C,若∠P=60°, PA=√3,则AB的长为
7．如图，反比例函数 k y x = 的图象经过点 A（4，1），当 y 1 时，x 的取值 范围是 A． x 0 或 x 4 B． 0 4 x C． x 4 D． x 4 8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B，小兰 从点 C 出发，以相同的速度沿⊙O 逆时针运动一周回到点 C，两人的运动 路线如图 1 所示，其中 AC = DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时 游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x（单位：秒）的对应关系如 图 2 所示．则下列说法正确的是 y O 1.09 7.49 9.68 x C O D A B 17.12 图 1 图 2 A．小红的运动路程比小兰的长 B．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇 C．当小红运动到点 D 的时候，小兰已经经过了点 D D．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙O 的半径 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．方程 2 x x − = 2 0 的根为 ． 10．已知∠A 为锐角，且 tan A = 3 ，那么∠A 的大小是 °． 11．若一个反比例函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比例函数表 达式可以是 ．（写出一个即可） 12．如图，抛物线 2 y ax = + + bx c 的对称轴为 x =1 ，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标为（4，0），则点 Q 的坐标为 ． 13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为 ． 14．如图，AB 是⊙O 的直径，PA，PC 分别与⊙O 相切于点 A，点 C，若∠P = 60°， PA = 3 ，则 AB 的长为 ． x y P x=1 O x y 4 1 A O O C B A P C D A O B
15.在同车道行驶的机动车,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离.如图,在一个路口, 一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处,小张驾驶一辆小轿车跟随大巴 车行驶.设小张距大巴车尾xm,若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m,红灯下沿高于小张的水平 视线3.2m,若小张能看到整个红灯,则x的最小值为 3.21 绿 X m 停止线 信号灯 16.下面是“作一个30°角”的尺规作图过程 已知:平面内一点A 求作:∠A,使得∠A=30° 作法:如图 (1)作射线AB; (2)在射线AB上取一点0,以0为圆心,OA为半径作圆,与射线AB相交于点C (3)以C为圆心,OC为半径作弧,与⊙0交于点D,作射线AD ∠DAB即为所求的角 请回答:该尺规作图的依据是 、解答题(本题共68分,第17~2题,每小题5分:第23~26小题,每小题6分;第27~28小题,每 小题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 17.计算:2sin30°-2c0s45°+ √8 18.已知x=1是关于x的方程x2-mx-2m2=0的一个根,求m(2m+1)的值
15．在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口， 一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴 车行驶．设小张距大巴车尾 x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m，红灯下沿高于小张的水平 视线 3.2m，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ． 绿 黄 红 交通 停止线 信号灯 0.8m x m 3.2m 20m 10m 16．下面是“作一个 30°角”的尺规作图过程． 已知：平面内一点 A． 求作：∠A，使得∠A = 30°． 作法：如图， （1）作射线 AB； （2）在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C； （3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与⊙O 交于点 D，作射线 AD． ∠DAB 即为所求的角． 请回答：该尺规作图的依据是 ． 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每 小题 7 分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算： 2sin 30 °−2 cos 45 °+ 8 ． 18．已知 x =1 是关于 x 的方程 2 2 x mx m − − = 2 0 的一个根，求 m(2 ) m +1 的值． D O C B A
19.如图,在△ABC中,∠B为锐角,AB=3互,AC=5,smC=3,求BC的长 20.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物,装载完毕恰好用了8天时间.轮船到达目的地后开始卸 货,记平均卸货速度为γ(单位:吨/天),卸货天数为t. (1)直接写出v关于t的函数表达式:1= (不需写自变量的取值范围) (2)如果船上的货物5天卸载完毕,那么平均每天要卸载多少吨? 21.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=2,以AC为边作△ACE,∠ACE=90°,AC=CE,延长BC 至点D,使CD=5,连接DE.求证:△ABC∽△CED 22.古代阿拉伯数学家泰比特伊本奎拉对勾股定理进行了推广研究:如图(图1中∠BAC为锐角,图2 中∠BAC为直角,图3中∠BAC为钝角) 图2 图3 在△ABC的边BC上取B',C'两点,使∠ABB=∠ACC=∠BAC,则△ABC∽△B'BA∽△CAC, AC’进而可得AB2+AC2 (用BB,CC,BC表示) BB AB CC 若AB=4,AC=3,BC=6,则BC=
19．如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB = 3 2 ，AC = 5，sin 3 5 C = ，求 BC 的长． B C A 20．码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间．轮船到达目的地后开始卸 货，记平均卸货速度为 v（单位：吨/天），卸货天数为 t． （1）直接写出 v 关于 t 的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围） （2）如果船上的货物 5 天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨？ 21．如图，在△ABC 中，∠B = 90°，AB = 4，BC = 2，以 AC 为边作△ACE，∠ACE = 90°，AC=CE，延长 BC 至点 D，使 CD = 5，连接 DE．求证：△ABC∽△CED． 22．古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图 1 中 BAC 为锐角，图 2 中 BAC 为直角，图 3 中 BAC 为钝角）． A B B' C' C A B C' B' C B B'(C') C A 在△ABC 的边 BC 上取 B ，C 两点，使 AB B AC C BAC = = ，则 △ABC ∽△B BA ∽△C AC ， AB ( ) B B AB = ， AC ( ) C C AC = ，进而可得 2 2 AB AC + = ；（用 BB CC BC ， ， 表示） 若 AB=4，AC=3，BC=6，则 BC = ． 图 1 图 2 图 3 E B C D A
23.如图,函数 k(x90时, 直接写出m的取值范围 24.如图,A,B,C三点在⊙O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的 延长线上取一点F,使得EF=DE. (1)求证:DF是⊙O的切线 (2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长 25.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠C=40°,点D是线段BC上的动点,将线段AD绕点A顺时针 旋转50°至AD,连接BD.已知AB=2cm,设BD为xcm,BD为ycm 小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究,下面是小明的探究过程, 请补充完整.(说明:解答中所填数值均保留一位小数) (1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表 / cr 0 0.5 0.7 10 1.5 2.0 2.3 y/cm 1.7 1.1 0.7 1.1
23．如图，函数 k y x = （ x 0 ）与 y ax b = + 的图象交于点 A（-1，n）和点 B（-2，1）． （1）求 k，a，b 的值； （2）直线 x m= 与 k y x = （ x 0 ）的图象交于点 P，与 y x = − +1 的图象交于点 Q，当 PAQ 90 时， 直接写出 m 的取值范围． 24．如图，A，B，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的 延长线上取一点 F，使得 EF = DE． （1）求证：DF 是⊙O 的切线； （2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD = 4，DE = 5，求 DM 的长． D B E C F O A 25．如图，在△ABC 中， = ABC 90 ， = C 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针 旋转 50°至 AD ，连接 BD ．已知 AB = 2cm，设 BD 为 x cm，B D 为 y cm． 小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程， 请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数） （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： x / cm 0 0.5 0.7 1.0 1.5 2.0 2.3 y / cm 1.7 1.3 1.1 0.7 0.9 1.1 y x B A O D' B D C A
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象 2F1-r1r1r1r1r1r1T-I +- (3)结合画出的函数图象,解决问题: 线段BD的长度的最小值约为 cm 若BD′≥BD,则BD的长度x的取值范围是 26.已知二次函数y=ax2-4ax+3a (1)该二次函数图象的对称轴是x (2)若该二次函数的图象开口向下,当1≤x≤4时,y的最大值是2,求当1≤x≤4时,y的最小值 (3)若对于该抛物线上的两点P(x,y1),Q(x2y2),当t≤x1≤1+1,x2≥5时,均满足y1≥y2 请结合图象,直接写出t的最大值
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． x y O 1 2 3 1 2 （3）结合画出的函数图象，解决问题： 线段 BD 的长度的最小值约为__________ cm ； 若 BD BD ，则 BD 的长度 x 的取值范围是_____________． 26．已知二次函数 2 y ax ax a = − + 4 3 ． （1）该二次函数图象的对称轴是 x = ； （2）若该二次函数的图象开口向下，当 1 4 x 时， y 的最大值是 2，求当 1 4 x 时， y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点 1 1 P x y ( ) ， ， 2 2 Q x y ( ) ， ，当 t x t 1 +1， 2 x 5 时，均满足 1 2 y y ， 请结合图象，直接写出 t 的最大值．
27.对于⊙C与⊙C上的一点A,若平面内的点P满足:射线AP与⊙C交于点Q(点Q可以与点P重合), 且1≤≤2,则点P称为点A关于⊙C的“生长点” OA 已知点O为坐标原点,⊙O的半径为1,点A(-1,0) (1)若点P是点A关于⊙O的“生长点”,且点P在x轴上,请写出一个符合条件的点P的坐标 (2)若点B是点A关于⊙O的“生长点”,且满足tan∠BAO=-,求点B的纵坐标t的取值范围 3)直线y=√3x+b与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长 点”,直接写出b的取值范围是 3-2O
27．对于⊙C 与⊙C 上的一点 A，若平面内的点 P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点 Q（点 Q 可以与点 P 重合）， 且 1 2 PA QA ，则点 P 称为点 A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，点 A（-1，0）． （1）若点P 是点A 关于⊙O的“生长点”，且点P 在 x轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________； （2）若点 B 是点 A 关于⊙O 的“生长点”，且满足 1 tan 2 BAO = ，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围； （3）直线 y x b = + 3 与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙O 的“生长 点”，直接写出 b 的取值范围是_____________________________． x y A –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 O x y A –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 O
28.在△ABC中,∠A=90°,AB=AC (1)如图1,△ABC的角平分线BD,CE交于点Q,请判断“QB=√2QA”是否正确: “是”或“否”) (2)点P是△ABC所在平面内的一点,连接PA,PB,且PB=√2PA. ①如图2,点P在△ABC内,∠ABP=30°,求∠PAB的大小; ②如图3,点P在△ABC外,连接PC,设∠APC=a,∠BC=β,用等式表示a,β之间的数量 关系,并证明你的结论 P B 图1 图2
28．在△ABC 中，∠A = 90°，AB = AC． （1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 Q，请判断“ QB QA = 2 ”是否正确：________（填 “是”或“否”）； （2）点 P 是△ABC 所在平面内的一点，连接 PA，PB，且 PB = 2 PA． ①如图 2，点 P 在△ABC 内，∠ABP = 30°，求∠PAB 的大小； ②如图 3，点 P 在△ABC 外，连接 PC，设∠APC = α，∠BPC = β，用等式表示α，β之间的数量 关系，并证明你的结论． P P E Q D B C A B C A B C A 图 1 图 2 图 3
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 数学参考答案及评分标准 、选择题(本题共16分,每小题2分) 6 B C B D C 填空题(本题共16分,每小题2分) 9.0或2 10.60 11.y=-(答案不唯 16.三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是60°,一条弧所对的圆周角是它 所对圆心角的一半 或:直径所对的圆周角为直角,三条边相等的三角形是等边三角形,等边三角形的三个内角都是 60°,直角三角形两个锐角互余; 或:直径所对的圆周角为直角,sinA=,∠A为锐角,∠A=30° 解答题(本题共68分,第17~2题,每小题5分;第23-26小题,每小题6分;第27~28小题,每 小题7分) 17.解:原式=2×1-2×y2+22 …3分 √2 5分 18.解:∵x=1是关于x的方程x2-mx-2m2=0的一个根 2m2+m=1 3分 m(2m+1)=2m2+m=1 5分 19.解:作AD⊥BC于点D ∠ADB=∠ADC=90 B AD=AC·sinC=3 2分 ∴在Rt△ACD中,CD=√AC2-AD2=4 3分
北京市海淀区初三第一学期期末学业水平调研 数学参考答案及评分标准 2018．1 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C B D C A D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．0 或 2 10．60 11． 1 y x = （答案不唯一） 12．（−2 ，0） 13．6 14．2 15．10 16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，一条弧所对的圆周角是它 所对圆心角的一半； 或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60°，直角三角形两个锐角互余； 或：直径所对的圆周角为直角， 1 sin 2 A = ，A 为锐角， = A 30 . 三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 小题，每小题 6 分；第 27~28 小题，每 小题 7 分） 17．解：原式 = 1 2 2 2 2 2 2 2 − + ………………3 分 = 1 2 2 2 − + = 1 2 + ………………5 分 18．解：∵ x =1 是关于 x 的方程 2 2 x mx m − − = 2 0 的一个根， ∴ 2 1 2 0 − − = m m . ∴ 2 2 1 m m+ = . ………………3 分 ∴ 2 m m (2 ) 2 m m + + = 1 1 = . ………………5 分 19．解：作 AD⊥BC 于点 D， ∴ ∠ADB=∠ADC=90°. ∵ AC=5， 3 sin 5 C = ， ∴ AD AC C = = sin 3. ………………2 分 ∴ 在 Rt△ACD 中， 2 2 CD AC AD = − = 4. ………………3 分 C D B A
√2, 在Rt△ABD中,BD=√AB2-AD2=3 4分 BC= BD+CD=7 5分 20.解: 240 分 (2)由题意,当t=5时,=240=48 5分 答:平均每天要卸载48吨 21.证明:∵∠B=90°,AB=,BC=2, .AC=√AB2+BC2=2√5 CE=AC CE=2 5 ∴CD=5, AB AC 3分 CE CD ∵∠B=90°,∠ACE=90°, ∠BAC+∠BCA=90°,∠BCA+∠DCE=90° ∴∠BAC=∠DCE ∴△ABC∽△CED 22. BC, BC,BC(BB+CC) 3分 分 23.解: (1)∵函数y=(x<0)的图象经过点B(2,1 k 1,得k ∵函,k(x<0)的图象还经过点A(-1,m), n=-=2,点A的坐标为(-1,2) 函数y=ax+b的图象经过点A和点B
∵ AB = 3 2 ， ∴ 在 Rt△ABD 中， 2 2 BD AB AD = − = 3 . ………………4 分 ∴ BC BD CD = + = 7. ………………5 分 20．解： （1） 240 t . ………………3 分 （2）由题意，当 t = 5 时， 240 v 48 t = = . ………………5 分 答：平均每天要卸载 48 吨. 21．证明：∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2， ∴ 2 2 AC AB BC = + = 2 5 . ∵ CE=AC， ∴ CE = 2 5 . ∵ CD=5， ∴ AB AC CE CD = . ………………3 分 ∵ ∠B=90°，∠ACE=90°， ∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴ ∠BAC=∠DCE. ∴ △ABC∽△CED. ………………5 分 22．BC，BC， BC BB CC ( + ) ………………3 分 11 6 ………………5 分 23．解： （1）∵ 函数 k y x = （ x 0 ）的图象经过点 B（-2， 1）， ∴ 1 2 k = − ，得 k =−2. ………………1 分 ∵ 函数 k y x = （ x 0 ）的图象还经过点 A（-1，n）， ∴ 2 2 1 n − = = − ，点 A 的坐标为（-1，2）. ………………2 分 ∵ 函数 y ax b = + 的图象经过点 A 和点 B， E B C D A