1.4角平分线 (第一课时)
1.4 角平分线 （第一课时）
习目 1、掌握角平分线的定理以及它的逆定理, 并能正确应用; 2、能够用尺规作图作已知角的平分线,并 能表达作图的作法; 3、弄清定理的条件和结论,充分运用综合 分析法进行推理证明
学习目标 1、掌握角平分线的定理以及它的逆定理， 并能正确应用； 2、能够用尺规作图作已知角的平分线，并 能表达作图的作法； 3、弄清定理的条件和结论，充分运用综合 分析法进行推理证明
前置学习 自学教村P28--29例1以上内容, 完成相关问题: 1、角平分线上的点有什么性质?你是友 样得到的?你能证明吗? 2、性质定理的逆命题是什么?是真命题 吗?你能证明吗?(请写出已知、求证
1、角平分线上的点有什么性质？你是怎 样得到的？你能证明吗？ 2、性质定理的逆命题是什么？是真命题 吗？你能证明吗？（请写出已知、求证、 证明） 自学教材P28---29例1以上内容， 完成相关问题：
平线上的点到这个的两距相 如图,已知:0C是∠AOB的平分线,P是0C上任意 点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E 求证:PD=PE 明 PD⊥OA,PE⊥0B(已知), ∠PDD=∠PE0=90°(垂直的定义) D 在△PDC厢△PE中 ∠D0P=∠EOP(已知), O C ∠PD=∠PE0(已证), P0=P0(公共边) E ∴△PDD≌△PE0(AAS) PD=PE(全等三角形的对应边相等)
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 如图,已知:OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一 点,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE O C B 1 A 2 P D E 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）． 在△PDO和△PEO中， ∵ ∠DOP＝∠EOP（已知）， ∠PDO＝∠PEO（已证）， PO＝PO（公共边）， ∴△PDO≌△PEO（AAS）． ∴ PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．
几何语言 角平分线上的点到这个角的两边的距离 A 如图 °0C是∠AOB的平分线, (己知) O PD=PE( C E B 提示这个结论是经常用来证明两条线段相 等的根据之
1、定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 _____。 老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相 等的根据之一. 如图, ∵OC是∠AOB的平分线, , , (已知) ∴PD=PE( ). O C B 1 A 2 P D E 几何语言
反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否 一定在这个角的平分线上呢? 已知:如图,D⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=E 求证:点在∠AOB的平分线上 明 0D⊥OA,0E⊥OB(已知), ∠0D0=∠QE0=90°(垂直的定义) 在Rt△PD和Rt△PEO中, QD=0E(已知), 00=00(公共边), △DC≌△aE0(HL) ∠QOD=QOE(全等三角形的对应角相等) 点在∠AOB的平分线上
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否 一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义）． 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ QD＝QE（已知）， QO＝QO（公共边）， ∴△QDO≌△QEO（HL）． ∴ ∠QOD＝QOE（全等三角形的对应角相等）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
几何语言 定理在一个角的内部,且到角的两边距离 的点,在这个角的 A 如图 D PD=PE (己知), 点P在∠AOB的平分线上().O<2 E B 师提示:这个结论又是经常用来证明点 在直线上(或直线经过某一点)的根据之
2、逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离 的点,在这个角的 上. 如图, ∵PD=PE, , (已知), ∴点P在∠AOB的平分线上( ). 老师提示:这个结论又是经常用来证明点 在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. O C B 1 A 2 P D E 几何语言
合作学习 3、请完成P29随堂练习题1(用符号语 言表示结论及其理由) 4、已知:如图,在△ABE中,AD是它的角 平分线,且BD=CD,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足 分别是E,F 5 求证:EB=FC F E
4、已知:如图,在△ABE中,AD是它的角 平分线,且BD=CD,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足 分别是E,F. 求证:EB=FC. 3、请完成P29随堂练习题1（用符号语 言表示结论及其理由）
例1在DABC中,∠BAC=60,点D在BC上,AD=10 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=EF,求DE 的长 A B FC
A FC E B
A 已知:∠AOB,如图 求作:射线0C,使∠AOC=∠BOC 作法: 1.在0A和OB上分别畿取OD,OE,使0D 2.分别以点D和E为圆心,以大于长为 B 半径作狐,两狐在∠AOB内交于点C 03.作射线0C 则射线0C就是∠AOB的平分线 请你说明0C为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握
⚫已知:∠AOB,如图. ⚫求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. ⚫作法: ⚫1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD= . ⚫2.分别以点D和E为圆心,以大于_ _长为 半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C.. ⚫3.作射线OC. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流. 老师提示: 作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握. A B O C ⚫则射线OC就是∠AOB的平分线. D E 1 、用尺规作角的平分线