第一章角形的证明 第二节角三角形(二
用心想一想,马到功成 小明在证明“等边对等角”时,通过作等腰三角 形底边的高来证明。过程如下: 已知:在△ABC中,AB=AC 求证:∠B=∠C 证明:过A作AD⊥BC,垂足为C, ∠ADB=∠ADC=90° 又:AB=AC,AD=AD, △ABD≌△ACD B D ∠B=∠C(全等三角形的对应角相等) 你同意他的作法吗?
用心想一想，马到功成 小明在证明“等边对等角”时，通过作等腰三角 形底边的高来证明。过程如下： 已知：在△ABC中， AB=AC． 求证：∠B=∠C． 证明：过A作AD⊥BC，垂足为C， ∴∠ADB=∠ADC=90° 又∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD． ∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 你同意他的作法吗？ B D C A
小颖说:推理过程有问题。他在证明△ABD≌△ACD时, 用了“两边 等”,而我们在前面学习全等的时候知道,两个三角形, 如果有两边及其一边的对角相等,这两个三角形是不一定 全等的 如图所示:在△ABD和△ABC中,AB=AB,∠B=∠B, AC=AD,但△ABD与△ABC不全等 B D
小颖说：推理过程有问题．他在证明△ABD≌△ACD时， 用了“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全 等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形， 如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定 全等的． 如图所示：在△ ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B， AC=AD，但△ABD与△ABC不全等． B C D A
小刚说:小颖这里说的∠B是锐角,如果∠B是直角, 即如果其中一边所对的角是直角,这两个三角形就是全 等的.我认为小明同学的证明无误 已知:在Rt△ABC和Rt△ABC中, ∠C=∠C=90°,AB=AB',BC=B'C 求证:Rt△ABC≌Rt△ABC B B 证明:在R△ABC中,AC2=AB2-BC2(勾股定理) 又:在R△ABC中,A'C2=AB2-BC2(勾股定理)→ AB=AB, BC=BC, AC-AC ∴Rt△ABC≌Rt△ABC"(SSS)
小刚说：小颖这里说的∠B是锐角，如果∠B是直角， 即如果其中一边所对的角是直角，这两个三角形就是全 等的．我认为小明同学的证明无误． 已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∠C=∠C′=90° ，AB=A′B′，BC=B′C′ 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ A' B C B' C ' A 证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2 (勾股定理)． 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2－B'C'2 (勾股定理) AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'． ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
直角三角形全等的判定定理 斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或 “HL表示
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个 直角三角形全等． 这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或 “HL”表示． 直角三角形全等的判定定理
开拓创新试一试 判断下列命题的真假,并说明理由: (1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个 直角三角形全等
判断下列命题的真假，并说明理由： (1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个 直角三角形全等．
放开手脚做一做 你能用三角尺平分一个已知角吗? 如图,在已知∠AOB的两边上分别取点M,N,使 OM=ON,再过点M作OA的垂线,过点N作OB的垂线,两 垂线交于点P,那么射线OP就是么AOB的平分线 B
你能用三角尺平分一个已知角吗? 如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使 OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两 垂线交于点P，那么射线OP就是么AOB的平分线． N M P O B A
议一议 如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,要使 △ACB≌BDA,还需要什么条件?把它们分别写出来 D B 从添加角来说,可以添加∠CBA=∠DAB或 ∠GAB=DEA从添加边来说,可以是Ae=BD,也 可以是BC=AD
议一议 如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使 △ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来． C D A O B 从添加角来说，可以添加∠CBA=∠DAB或 ∠CAB=∠DBA；从添加边来说，可以是AC=BD，也 可以是BC=AD．
议一议 如图,已知∠ACB=∠BDA=90°,要使 △ACB≌BDA,还需要什么条件?把它们分别写出来 若OA=OB D 证明:在Rt△AcO和Rt△BDo中 AO=BO,∠ACB=∠BDA=90 B ∠AOC=∠△BOD(对顶角相等), ∴△ACO≌△BDO(AAS) 如果把刚才添加的条件 ∴AC=BD.又AB=AB, OA=OB改成“Oc=D ∴△ACB≌△BDA(HL) 也可以使△A BDA
议一议 如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使 △ACB≌BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来． C D A O B 若OA=OB，则△ACB≌△BDA． 证明：在Rt△ACO和Rt△BDO中 ∵AO=BO，∠ACB=∠BDA=90° ∠AOC=∠△BOD(对顶角相等)， ∴△ACO≌△BDO(AAS)． ∴AC=BD．又∵AB=AB， ∴△ACB≌△BDA(HL) 如果把刚才添加的条件 “OA=OB”改写成“OC=OD”， 也可以使△ACB≌△BDA．
用心想 如图,在△ABC和△ABC中,CD,CD分别分别是 高,并且AC=AC,CD=CD.∠ACB=∠ACB 求证:△ABc≌△ABC 证明:CD、CD分别是△ABC和△ABC的高 ∠ADC=∠AD"C=90° 在Rt△ADC和Rt△ADC中, AC-AC, CD=C D, ∴Rt△ADC≌Rt△ADC(HL) D B D′B′ ∠A=∠A(全等三角形的对应角相等) 在△ABC和△ABC中, ∠A=∠A,AC=AC,∠ACB=∠ACB,一 △ABC≌△ABC(Asa)wW.bnuP.com.cn
http://www.bnup.com.cn 如图，在△ABC和△A'B'C'中，CD，C'D'分别分别是 高，并且AC=A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'． 求证：△ABC≌△A'B'C' ． 用心想一想，马到功成 证明：∵CD、C‘D’分别是△ABC和△A'B'C'的高 ∴∠ADC=∠A'D'C'=90°． 在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中， AC=A'C'，CD=C'D'， ∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)． ∴∠A=∠A'(全等三角形的对应角相等)． 在△ABC和△A'B'C'中， ∠A=∠A' ，AC=A'C' ，∠ACB=∠A'C'B' ， ∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)． C C' A D B A' D' B