第一章角形的证明 第四节平分线(二
用心想一想,马到功成 习题1.8的第1题作三角形的三个内角的角平分 线,你发现了什么? 发现:三角形的三个内角 的角平分线交于一点.这一点 到三角形三边的距离相等
习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分 线，你发现了什么? 用心想一想，马到功成 发现：三角形的三个内角 的角平分线交于一点．这一点 到三角形三边的距离相等．
放开手脚做一做 剪一个三角形纸片,通过折叠找出每个角的 角平分线,观察这三条角平分线,你是否发现同 样的结论?与同伴交流 D B E
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的 角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同 样的结论?与同伴交流． D F E M N B C A P
用心想一想,马到功成 证明:三角形三条角平分线相交于一点 已知:如图,设△ABC的角平分线.BM、CN相交于点P, 求证:P点在∠BAC的角平分线上 证明:过P点作PD⊥AB,PF⊥AC PE⊥BC,其中D、E、F是垂足 小 F BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE 同理:PE=PF.∴PD=PF B E ∴点P在∠BAC的平分线上 △ABC的三条角平分线相交于点P
用心想一想，马到功成 D E F M N B C A P 证明：三角形三条角平分线相交于一点． 已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，其中D、E、F是垂足 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上 ∴PD=PE 同理：PE=PF．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上 ∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
三角形角平分线的性质定理 三角形的三条角平分线相交于 点,并且这一点到三条边的距离相等
定理：三角形的三条角平分线相交于 一点，并且这一点到三条边的距离相等． 三角形角平分线的性质定理
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线三条角平分线 锐角三角形交于三角形内一点 三角 交于三角形内 形钝角三角形交于三角形外一点 点 直角三角形交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点到三角形三边 的距离相等 的距离相等
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角 形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内 钝角三角形 交于三角形外一点 一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点 的距离相等 到三角形三边 的距离相等
开拓创新试一试 如图:直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路, 现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相 等,则可选择的地址有几处? 满足条件共4个 A B
如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路， 现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相 等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共4个 P 1 P l3 l 2 1 l C B A
用心想一想,马到功成 [例1如图,在△ABC中.AC=BC,∠C=90°,AD是 △ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E (1)已知CD=4cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD E (1)解:∵AD是△ABC的角平分线,∠C=90°, DE RAB B DE=CD=4cm AC=BC∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∠C=90°,.,∠B=×90°=45° ∠BDE=90°45°=45° BE=DE(等角对等边) 在等腰直角三角形BDE中 BD=v2DB=42cm(勾股定理), AC=BC=CD+BD=(4+ vecm
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90° ，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 用心想一想，马到功成 D A B E (1)解：∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90° ，CDE⊥AB ∴DE=CD=4cm ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角) ∵∠C=90° ，∴∠B= ×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°=45°． ∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE中 (勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm． 2 1 B D 2DE 4 2c m 2 = = 4 2
用心想一想,马到功成 [例1如图,在△ABC中.AC=BC,∠C=90°,AD是 △ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E (1)已知CD=4cm,求AC的长 (2)求证:AB=AC+CD (2)证明:由(1)的求解过程可知, E Rt△ACD≌Rt△AED(HL) D B AC=AE BE=DE=CD, AB=AE+BE=AC+CD
[例1]如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90° ，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4 cm，求AC的长； (2)求证：AB=AC+CD． 用心想一想，马到功成 D A B E C (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD．
课堂小结,畅谈收获: 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明 了三角形三条角平分线交于一点,且这一点到三角形 各边的距离相等.并综合运用我们前面学过的性质定 理等解决了几何中的计算和证明问题
课堂小结, 畅谈收获： 本节课我们利用角平分线的性质和判定定理证明 了三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三角形 各边的距离相等．并综合运用我们前面学过的性质定 理等解决了几何中的计算和证明问题．