展形
等腰三角形知识回顾 (定义〗有两边相等的三角形叫做等腰三角形;A (性质定理】等腰三角形的两个底角相等 简称:等边对等角 腰 角腰 (性质定理等腰三角形顶角的平分线、 角底角 的推论】底边上的中线、底边上的高B C 互相重合。(简称:三线合一” A B C
等腰三角形 知 识 回 顾 A B C 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高 互相重合。 等腰三角形的两个底角相等. 简称: 等边对等角. 顶角 A B 底边 C 腰 腰 底角 底角 【定义】 【性质定理】 【性质定理 的推论】 有两边相等的三角形叫做等腰三角形; D 高 (简称:“三线合一”)
本节课学些什么? 等腰三角形还具有哪些重要的性质? 除了用定义来判定三角形是等腰三角形外,还有 些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?
本节课学些什么？ •等腰三角形还具有哪些重要的性质? •除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一 些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形?
学习目标 1、命题的证明题的思路、基本步骤和书 各式 2、学会证明等腰三角形中的线段的相等问 题 3、学会举一反三运用多种方法多角度思考
学习目标 • 1、命题的证明题的思路、基本步骤和书写 格式 • 2、学会证明等腰三角形中的线段的相等问 题 • 3、学会举一反三运用多种方法多角度思考 问题
实践→观察→猜想→证明 A 回一画先画一个等腰三角形, 然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线) 你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗? C 小结 顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条,不能比较; 底角的两条平分线相等; A 两条腰上的中线相等; 两条腰上的高线相等
实践观察猜想证明 画一画 先画一个等腰三角形, A B C •然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线)， •你能发现其中一些相等的线段吗？ •你能证明你的结论吗？ 小结 •顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较； •底角的两条平分线相等； •两条腰上的中线相等； •两条腰上的高线相等。 A B C D ● ● E ●● ●● A B C N M A B C Q P
Q欢命题的证明 证明等腰三角形两底角的平分线相等 已知:如图在△ABC中,AB=AC A BD,CE是△ABC角平分线 求证:BD=CE 证明∷AB=AC(已知) ∠ABC=∠ACB(等边对等角 图BB 12 又∵∠1=∠ABC∠2=∠ACB(已知) ∠1=∠2(等式性质) 在△BDC与△cEB中 ∠DcB=∠EBC(已知) BC=CB(公共边) ∠1=∠2(已证) △BDC△CEB(ASA) BD=CE(全等三角形的对应边相等)
【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等. ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). A B C E D 图形语言 已知: 求证: BD=CE. 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC角平分线. 证明: 12 ACB 2 1 又∵∠1= ABC ， ∠2= (已知), 2 1 ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵ ∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）, ∠1=∠2（已证）, ∴ △BDC≌△CEB（ASA）. ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等) 例题欣赏 1 命题的证明
我背学命题的证明 :等腰三角形两腰上的中线相等 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是 A △ABC两腰上的中线 求证:BM=CN N 证明:AB=AC(已知), B C ∠ABC=,∠ACB(等边对等角) 又CM=2AC,BN=2AB(已知) CM=BN(等式性质) 在△BMC与△CNB中 BC=CB(公共边), ∠MCB=∠NBC(已知), BN(已证) △BMC≌△CNB(SAS) 驶向理 BM=CN(全等三角形的对应边相等
驶向胜利 的彼岸 我能行 1 命题的证明 求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵CM= AC,BN= AB(已知), ∴CM=BN(等式性质). 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已知）, CM=BN（已证）, ∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等) 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是 △ABC两腰上的中线. 求证:BM=CN. 2 1 2 1 A B C N M
我背2学命题的证明 ◆求证:等腰三角形两腰上的高相等 A 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 △ABC两腰上的高 证:BP=CQ 证明::AB=AC(已知), B ∠ABC=∠ACB(等边对等角) 又BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∠BPC=∠CQB=90(高的意义) 在△BPC与△CQB中 ∠BPC=∠CQB(已证), ∠PCB=∠QBC(已证), BC=CB(公共边), △BPC≌△CQB(AAS) BP=CQ(全等三角形的对应边相等
驶向胜 利的彼 岸 我能行 2 命题的证明 求证:等腰三角形两腰上的高相等. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB（已证）, ∠PCB=∠QBC（已证）, BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（AAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等) 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是 △ABC两腰上的高. 求证:BP=CQ. A B C Q P
吗角形中的相等的线段只 已知:如图,在△ABC中, 如果∠ABD=∠4BC,∠ACE=2∠4CB, 如果∠ABD=∠ABC,∠ACE=3∠ACB呢?这里之、Q 那么BD=CE吗? 由此你能得到一个什么结论? 个由特殊 2如果AD=24C,AE=24B,那么BD=CE吗?结论归纳 如果AD=34C,AE=34B呢? 出一效结 论的一种 由此你能得到一个什么结论? 数学用想 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等 方法 两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等 3)你能证明得到的结论吗?
等腰三角形中的相等的线段(2) 这里是一 个由特殊 结论归纳 出一般结 论的一种 数学思想 方法. ′ 议一议 A B C E D 1.已知:如图,在△ABC中, (1)如果∠ABD= , ∠ACE= , 那么BD=CE吗? 如果∠ABD= , ∠ACE= 呢? 由此你能得到一个什么结论? ABC 2 1 ACB 2 1 ABC 3 1 ACB 3 1 (2)如果AD= , AE= , AC 那么BD=CE吗? 2 1 AB 2 1 (3)你能证明得到的结论吗？ 如果AD= , AE= AC 呢? 3 1 AB 3 1 由此你能得到一个什么结论? 过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等. 两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等
③一凹学止统 等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角形的 内角有什么特征? 定理:等边三角形的三个内角都相等。并 且每个角都等于60 已知:在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60 证明:
想一想 1 学无止境 定理：等边三角形的三个内角都相等，并 且每个角都等于60° ′ 驶向胜利 的彼岸 等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的 内角有什么特征？ 已知：在△ABC中,AB=AC=BC, 求证:∠A=∠B=∠C=60° 证明：