第一章角形的证明 第一节三角形(三
想一想 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么?这个命题 的题设和结论分别是什么? 问题2.我们是如何证明上述定理的? 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么? 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对 的边也相等?
想一想 • 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题 • 的题设和结论分别是什么？ • 问题2.我们是如何证明上述定理的？ • 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ • 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 • 的边也相等？
议一议 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等,反过 来,有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 已知:在△ABC中,∠B=∠C, 求证:AB=AC. 分析:只要构造两个全等的三角形,使AB 与Ac成为对应边就可以了作角A的平分线,或 作BC上的高,都可以把△ABC分成两个全等的 三角形
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过 来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 议一议 已知：在△ABC中，∠B=∠C， 求证：AB=AC． 分析：只要构造两个全等的三角形，使AB 与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或 作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的 三角形． B C A
等膜三角形的定几何的三种语言 有两个角相等的三角形是等腰三角形 (等角对等边) 在△ABC中 ∠B=∠C(已知), AB=AC(等角对等边)
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边.) 等腰三角形的判定定理： 在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）. 几何的三种语言 A B C
随堂练习 练习1如图,∠A=36°,∠DBC=36°, ∠C=72°,图中一共有几个等腰三角形? 找出其中的一个等腰三角形给予证明
• 练习1 如图，∠A =36° ，∠DBC =36° ， ∠C =72° ，图中一共有几个等腰三角形？ 找出其中的一个等腰三角形给予证明． A B C D 随堂练习
随堂练习 练习2 已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,E ADBC且∠1=∠2. 求证:AB=Ac D
练习2： 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， AD∥BC且∠1=∠2． 求证：AB=AC． 随堂练习 2 1 B A C E D
小明说,在一个三角形中,如果两个角不相等,那么这 两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗?如果成 立,你能证明它吗? 我们来看一位同学的想法 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时 AB与AC要么相等,要么不相等 假设AB=Ac,那么根据“等边对等角” 定理可得∠C=∠B,但已知条件是 B ∠B∠C.“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C” 相矛盾,因此AB≠AC 你能理解他的推理过程吗?
想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这 两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成 立，你能证明它吗? 我们来看一位同学的想法： 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时 AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB=AC，那么根据“等边对等角” 定理可得∠C=∠B，但已知条件是 ∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C” 相矛盾，因此AB≠AC 你能理解他的推理过程吗? B C A
再例如,我们要证明△ABc中不可能有两个直角,也可 以采用这位同学的证法 假设有两个角是直角,不妨设∠A=90°,∠B=90° 可得∠A+∠B=180°,但△ABc中∠A+∠B+∠C=180° “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾, 因此△ABC中不可能有两个直角 上面的证法有什么共同的特点呢? 在上面的证法中,都是先假设命题的结论不成立,然 后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾, 从而证明命题的结论一定成立.我们把它叫做反证法
再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可 以采用这位同学的证法. 假设有两个角是直角，不妨设∠A=90° ，∠B=90° ， 可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180° “∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾， 因此△ABC中不可能有两个直角． 上面的证法有什么共同的特点呢? 在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然 后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾， 从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法．
◆例1.证明:如果a1,a2,a3,a4a5都是正数,且 a1+a2+ag+a4+a5=1,那么,这互个数中至少有一个大于 或等于1/5 用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数 的和a1+a2+a3+a4+a就小于1.这与已知这五个数的 和a1+a2+a3+a+a5=1相矛盾.因此假设不成立,原 命题成立,即这五个数中至少有下个大于或于 1/5
例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且 a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于 或等于1/5. 用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数 的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的 和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原 命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于 1/5
1用反证法证明:一个三角形中不能有两个角是直角 已知:△ABC 求证:∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角 证明:假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角, 不妨设∠A=∠B=90°,则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180° 这与三角形内角和定理矛盾, 所以∠A=∠B=90°不成立 所以一个三角形中不能有两个角是直角
隋堂练习 1 1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角， 不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180° ． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．