第一章角形的证明 第二节三角形(一)
用心想一想,马到功成 一个直角三角形房梁如图所示,其中BC⊥AC, ∠BAC=30°,AB=10cm,CB1⊥AB,B1C⊥ACl,垂 足分别是B1、C1,那么BC的长是多少?BC1呢? B 解:在Rt△ABC中,∠CAB=30°,AB=10cm, ∴BC=0.5AB=5cm ∵CBl⊥AB,∴∠B+∠BCBl=90° 又∵∠A+∠B=90 ∴∠BCB1=∠A=30° 在Rt△ACB1中,BBl=0.5BC=2.5cm AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm ∴在Rt△ABlC中,∠A=30° B1C1=0.5ABl=3.75cm
一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC， ∠BAC=30° ，AB=10 cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂 足分别是B1、C1，那么BC的长是多少? B1C1呢? 用心想一想，马到功成 B1 C1 C B A 解：在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=10 cm， ∴BC=0.5AB=5 cm． ∵CBl⊥AB，∴∠B+∠BCBl=90° 又∵∠A+∠B=90° ∴∠BCBl=∠A=30° 在Rt△ACBl中，BBl=0.5BC=2．5 cm． ∴AB1=AB-BBl=10-2.5=7.5cm． ∴在Rt△ABlC中，∠A=30° ∴B1C1=0.5ABl=3．75cm．
用心想一想,马到功成 般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢? 你会证明吗? 你会利用公理及由其推导出的定理证明吗? 勾股定理在直角三角形中,两直角边的平方和 等于斜边的平方, 证明方法:数方格和割补图形的方法
用心想一想，马到功成 一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢? 勾股定理 在直角三角形中,两直角边的平方和 等于斜边的平方. 你会证明吗? 证明方法: 数方格和割补图形的方法 你会利用公理及由其推导出的定理证明吗?
勾股定理的证明 已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c 求证: a+b=c 证明:延长CB至D,使BD=b,作∠EBD=∠A,并取BE=c, 连接ED、AE(如图),则△ABC≌△BED ∠BDE=90°,ED=a. ∵四边形ACDE是直角梯形 B S梯形AcDE=(a+b)(a+b)=(a+b) ∴∠ABE=180°一∠ABC→∠EBD=180°—90°=90 AB=BE.∴S△ABE= E S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED, (a+b)=c+ab+ab 即a2+2ab+b2=c2+2ab a+b=c D
b c a E C B D A 已知：如图，在△ABC中，∠C=90° ，BC=a，AC=b，AB=c． 求证： 2 2 2 a + b = c 证明：延长CB至D，使BD=b，作∠EBD=∠A，并取BE=c， 连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED． ∴∠BDE=90° ，ED=a． ∴四边形ACDE是直角梯形． ∴S梯形ACDE= (a+b)(a+b)= (a+b)． ∴∠ABE=180°一∠ABC一∠EBD=180°—90°=90° ， AB=BE． ∴S△ABE= ∵S梯形ACDE=S△ABE+S△ABC+S△BED， ∴ 即 ∴ 2 1 2 c a +b = c + ab + ab 2 2 ( ) a 2ab b c 2ab 2 2 2 + + = + 2 2 2 a + b = c C B A
勾股定理 在直角三角形中,两直角边的方和等于斜边的方 反过来,如果在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的 平方时,我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形” 的结论.你能证明此结论吗?
在直角三角形中, 两直角边的平方和等于斜 的平方和等于斜边的平方. 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的 平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形” 的结论．你能证明此结论吗?
逆定理的证明 已知:如图,在△ABC中,B+AC=BC 求证:△ABC是直角三角形 证明:作Rt△DEF,使∠D=90°, DE=AB,DF=AC(如图), 则 (勾股定理) DE+DF-EF DE=AB, DF=AC AB2+AC- BC2 BC=EFZ ∴BC=EF ∴△ABC△DEF(SSS) ∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等) 因此,△ABC是直角三角形 E F
已知：如图，在△ABC中， 求证：△ABC是直角三角形． B C A 2 2 2 AB + AC = BC E F D 证明：作Rt△DEF，使∠D=90°， DE=AB， DF=AC(如图)， 则 . (勾股定理)． ∵ DE=AB，DF=AC ∴ ∴BC= EF ∴△ABC≌△DEF（SSS） ∴∠A=∠D=90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC是直角三角形． 2 2 2 DE + DF = EF, 2 2 2 AB + AC = BC 2 2 BC = EF
勾股定狸的逆定狸 如果三角形两边的方和等于第三边的方,那么 这个三角形是直角三角形 观察上面两个命题,它们的条件和结论之间有怎样的关系 在前面的学习中还有类似的命题吗? 勾股定理的条件是第二个定理的结论,结论是第二个定理的条件
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形． 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系? 勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件． 在前面的学习中还有类似的命题吗?
例如 1两直线下行,内错角相等 与内错角相等,两直线不行 2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 直角边就等于斜边的一牛 在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一芈,那么 这条直角边所对的锐角等于30
1.两直线平行，内错角相等. 与 内错角相等，两直线平行. 2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ，那么它所对的 直角边就等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这条直角边所对的锐角等于30°
观察下面三组命题: 如果两个角是对顶角.那么它们相等 如果两个角相等,那么它们是对顶角 如果小明患了肺炎,那么他一定发烧 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎 三角形中相等的边所对的角相等 三角形中相等的角所对的边相等 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关桑吗? 与同件交流
观察下面三组命题： 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗? 与同伴交流． . ; , . , ; , . , ; 三角形中相等的角所对的边相等 三角形中相等的边所对的角相等 如果小明发烧 那么他一定患了肺炎 如果小明患了肺炎 那么他一定发烧 如果两个角相等 那么它们是对顶角 如果两个角是对顶角 那么它们相等
在两个命题中,如果一个命题条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆 命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题,相对 于逆命题来说,另一个就为原命题 原命题是真命题,而逆命题不一定是真命题!!
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆 命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对 于逆命题来说，另一个就为原命题． 原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!!