21.3实际问题与一元二次方程 第3课时用一元二次方程解决几何图形问题
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
预习导学 1·面积(体积)问题属于几何图形的应用题,解决问题的关键是 将不规则图形分割或组合、平移成规则图形,找出未知量与 已知量的内在联系,根据面积(体积)公式列出一元二次方程 2·一个正方形的边长增加了3cm,面积相应增加了39cm2,则 原来这个正方形的边长为5cm
面积(体积) 1．面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是 将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与 ________的内在联系，根据___________公式列出一元二次方程． 2．一个正方形的边长增加了3 cm，面积相应增加了39 cm2，则 原来这个正方形的边长为_______cm. 已知量 5
课内精练 知识点1:一般图形的面积问题 1·一个面积为35m的矩形苗圃,它的长比宽多2m,则这个苗圃 的长为(C) A·5m b6 m C. 7 m d. 8m 2·(2014襄阳)用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长 方形.设长方形的长为xcm,则可列方程为(B) A·x(20+x)=64B.x(20—x)=64 C·x(40+x)=64D.x(40-x)=64 3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm,面积是7cm2,这两 条直角边长分别为2cm,7cm
知识点1：一般图形的面积问题 1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃 的长为( ) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长 方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( ) A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两 条直角边长分别为______________． C 2cm，7cm B
③课内精练 4·(2014·湘潭)如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段’再 砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD围墙MN最长可利用25m),现 在已备足可以砌50m长的墙的材料,试设计一种砌法,使矩形花园 的面积为300m2 解:设AB=xm,则BC=(50-2x)m,根据题意得x(50-2x)= 300,解得x1=10,x2=15,当x=10,BC=50-2×10=30>25 故x1=10不合题意,舍去,∴x=15,则可以围成AB为15m,BC为 20m的矩形 B
4．(2014·湘潭)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再 砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现 在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园 的面积为300 m2 . 解：设AB＝ x m，则BC＝(50－2x) m，根据题意得x(50－2x)＝ 300，解得x1 ＝10，x2 ＝15，当x＝10，BC＝50－2×10＝30＞25， 故x1 ＝10不合题意，舍去，∴x＝15，则可以围成AB为15 m，BC为 20 m的矩形
③课内精练 知识点2:边框与通道问题 5·如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道 路(图中阴影部分)’余下的部分种上花草.若种植花草的面积为 540m2,求道路的宽.如果设道路的宽为ⅹm,根据题意,所列方 程正确的是(A) A·(20—x)(32-x)=540 B·(20-x)(32-x)=100 20 C·(20+x)(32-x)=540 D·(20-x)32+x)=540
知识点2：边框与通道问题 5．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道 路(图中阴影部分)，余下的部分种上花草．若种植花草的面积为 540 m2，求道路的宽．如果设道路的宽为x m，根据题意，所列方 程正确的是( ) A．(20－x)(32－x)＝540 B．(20－x)(32－x)＝100 C．(20＋x)(32－x)＝540 D．(20－x)(32＋x)＝540 A
③课内精练 6.(2014兰州)如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上 要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平 )’剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米,若设道路宽为 x米,则根据题意可列出方程(22-x)(17-x)=300 7·如图,某矩形相框长26cm,宽20cm,其四周相框边(图中阴影 部分)的宽度相同,都是ⅹcm,若相框内部的面积为280cm2,求相 框边的宽度 解:由题意得(26-2x)(20-2x)=280,整理得x2-23x+60=0,解 得x1=3,x2=20不合题意,舍去),则相框边的宽度为3cm 单位:cm 26 第7题图 第6题图
6．(2014·兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上， 要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路与矩形的一条边平 行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米，若设道路宽为 x米，则根据题意可列出方程________________________． 7．如图，某矩形相框长26 cm，宽20 cm，其四周相框边(图中阴影 部分)的宽度相同，都是x cm，若相框内部的面积为280 cm2，求相 框边的宽度． 解：由题意得(26－2x)(20－2x)＝280，整理得x 2－23x＋60＝0，解 得x1 ＝3，x2 ＝20(不合题意，舍去)，则相框边的宽度为3 cm 第6题图 第7题图 (22－x)(17－x)＝300
课时达标 8·从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条剩下的面积是 48m2,则原来这块木板的面积是(B) A·100m2 B.64m C·121m2 D.144m 9·如图,正方形ABCD的边长是1,E,F分别是BC,CD上的点 且△AEF是等边三角形,则BE的长为(A) D B.2+3 C·2+√5 D 2 B C 在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边,已知地毯中央的 矩形图案长6米、宽3米,整个地毯的面积是40平方米,则花边的宽 为1米
8．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是 48 m2，则原来这块木板的面积是( ) A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 9．如图，正方形ABCD的边长是1，E，F分别是BC，CD上的点， 且△AEF是等边三角形，则BE的长为( ) A．2－ 3 B．2＋ 3 C．2＋ 5 D. 5－2 10．在一个矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，已知地毯中央的 矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米，则花边的宽 为____ 1 ___米． A B
课时达标 11·如图,已知点A是一次函数y=x-4图象上的一点,且矩形 ABOC的面积等于3,则点A的坐标为(3,-1)或(1,-3) 12·如图是一个矩形花园,花园的长为100米,宽为50米,在它的 四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭,四周建有与观光休息 亭等宽的观光大道,其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花 草.已知种植花草部分的面积为3600平方米,那么花园各角处的正 方形观光休息亭的边长为多少米? 解:设正方形观光休息亭的边长为x米,依题意得(100-2x)(50-2x) 3600,整理得x2-75x+350=0,解得x1=5,x2=70,∴x2=70 >50,不合题意,舍去,∴x=5,即矩形花园各角处的正方形观光 休息亭的边长为5米
(3，－1)或(1，－3) 11．如图，已知点A是一次函数y＝x－4图象上的一点，且矩形 ABOC的面积等于3，则点A的坐标为___________________． 12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的 四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息 亭等宽的观光大道，其余部分(图中阴影部分)种植的是不同花 草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正 方形观光休息亭的边长为多少米？ 解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x) ＝3600，整理得x 2－75x＋350＝0，解得x1 ＝5，x2 ＝70，∵x2 ＝70 ＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光 休息亭的边长为5米
课时达标 13·小林准备进行如下操作实验:把一根长为40cm的铁丝剪成两 段,并把每一段各围成一个正方形 (1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2,小林该怎么剪? (2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2” 他的说法对吗?请说明理由 解:(1)设其中一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边长 为(10-x)cm,由题意得x2+(10-x2=58,解得x1=3,x2=7 4×3=12,4×7=28,所以小林应把绳子剪成12cm和28cm的两段 (2)假设能围成.由(1)得,x2+(10-x)2=48,化简得x2-10x+26= 0,因为△=b2-4ac=(-10)2-4×1×26=-4<0,所以此方程没 有实数根,所以小峰的说法是对的
13．小林准备进行如下操作实验：把一根长为40 cm的铁丝剪成两 段，并把每一段各围成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，小林该怎么剪？ (2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2 .” 他的说法对吗？请说明理由． 解：(1)设其中一个正方形的边长为x cm，则另一个正方形的边长 为(10－x) cm，由题意得x 2＋(10－x)2＝58，解得x1 ＝3，x2 ＝7， 4×3＝12，4×7＝28，所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段 (2)假设能围成．由(1)得，x 2＋(10－x)2＝48，化简得x 2－10x＋26＝ 0，因为Δ＝b 2－4ac＝(－10) 2－4×1×26＝－4＜0，所以此方程没 有实数根，所以小峰的说法是对的
自雅战 14·如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm,点P 从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动 (1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面 积等于4cm2 (2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发,那么几秒后,PQ的长度 等于5cm? (3)在问题(1)中,△PBQ的面积能否等于7cm2?2说明理由 C A P B
14．如图，在△ABC中，∠B＝90° ，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P 从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面 积等于4 cm2? (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度 等于5 cm? (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．