免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 《2.1两条直线的位置关系》 教学目标 1、知识与技能目标: (1)理解两条直线相交或平行的等价条件,特别注意与已知直线平行的直线系的应用 (2)通过学习本课时知识,进一步提高学生对直线的认识,提高学生对归纳猜想、类比转 化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的认识 2、过程与方法目标: (1)通过探究过定点的直线系的方程表示形式,对比分析两条直线平行时直线方程的系数 关系,探究直线方程系数关系与直线位置关系的联系 (2)理解用直线方程来研究直线位置关系的过程,并体会其中蕴含的数学思想方法 3、情感、态度与价值观目标: (1)通过精心设计适宜的教学情境,通过师生互动、生生互动的教学活动过程,让学生在 师生和谐、互动的氛围中,愉快地、自然地、主动地接受新知识,形成体验性认识,体会成 功的喜悦,从而提高数学学习的兴趣,树立学好数学的信心,培养锲而不舍的钻研精神和合 作交流的科学态度 (2)通过学习,培养学生辩证思维的方法和能力,树立事物在一定的条件下可以相互转化 的辩证唯物主义观点,以及严谨的治学精神 教学重点和难点 教学重点:两条直线相交、平行、重合的条件,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 教学难点:用代数方法推导两条直线相交、平行、重合条件的思路 三、教学过程 (一)创设情境,提出问题 从课本一道习题推导斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件 在直线方程y-1=k(x+1)中,k取遍所有实数,可得无数条直线,这无数条直线都过哪 回答:由直线的点斜式方程可知,这些直线都过定点(-1,1) 据此引导学生探究: (1)该方程所表示的直线可以说成是过一定点的直线系吗? (2)该定点是否可以看成某两条特殊直线的交点呢? 在直线方程y=kx+b中,当k值固定,b取遍所有实数,也可得无数条直线,这无数条直 线又可以说成是什么样的直线系呢? 回答:该方程表示斜率为k的平行直线系 (二)自主探究,形成概念 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 《2.1 两条直线的位置关系》 一、教学目标 1、知识与技能目标： （1）理解两条直线相交或平行的等价条件，特别注意与已知直线平行的直线系的应用； （2）通过学习本课时知识，进一步提高学生对直线的认识，提高学生对归纳猜想、类比转 化、分类讨论、数形结合等数学思想方法的认识. 2、过程与方法目标： （1）通过探究过定点的直线系的方程表示形式，对比分析两条直线平行时直线方程的系数 关系，探究直线方程系数关系与直线位置关系的联系； （2）理解用直线方程来研究直线位置关系的过程，并体会其中蕴含的数学思想方法. 3、情感、态度与价值观目标： （1）通过精心设计适宜的教学情境，通过师生互动、生生互动的教学活动过程，让学生在 师生和谐、互动的氛围中，愉快地、自然地、主动地接受新知识，形成体验性认识，体会成 功的喜悦，从而提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合 作交流的科学态度. （2）通过学习，培养学生辩证思维的方法和能力，树立事物在一定的条件下可以相互转化 的辩证唯物主义观点，以及严谨的治学精神. 二、教学重点和难点 教学重点：两条直线相交、平行、重合的条件，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 教学难点：用代数方法推导两条直线相交、平行、重合条件的思路． 三、教学过程 （一）创设情境，提出问题 从课本一道习题推导斜截形式下两条直线相交、平行、重合的条件. 在直线方程 y −1= k(x +1) 中， k 取遍所有实数，可得无数条直线，这无数条直线都过哪一 点？ 回答：由直线的点斜式方程可知，这些直线都过定点 (-1，1) ． 据此引导学生探究： （1）该方程所表示的直线可以说成是过一定点的直线系吗？ （2）该定点是否可以看成某两条特殊直线的交点呢？ 在直线方程 y = kx+ b 中，当 k 值固定， b 取遍所有实数，也可得无数条直线，这无数条直 线又可以说成是什么样的直线系呢？ 回答：该方程表示斜率为 k 的平行直线系. （二）自主探究，形成概念
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 对于直线h:y=kx+b,l2:y=k2x+b2,同学们会得出: l1∥2→k1=k2且b≠b l与l2相交k≠k2 l与l2重合台→k1=k2且b1=b2 继续探究一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件 已知两条直线的方程为l:A1x+By+C1=0.l2:A2x+B2y+C2=0 为此,我们解方程组 Ax+By+CI=0 A,x+B,y+C2=0 当AB2-A2B1≠0时,得 B,C2-CIB A, B,-A,B A,C1-AC A, B,-A,B 因此,当AB2-A2B1≠0时,方程组有唯一一组解 这时,两条直线相交,交点的坐标就是(x,y) 当AB2-A2B=0,且BC2-CB2≠0或AC1-4C2≠0.时方程组无解又由直线方程的 般形式可知A4与B,A2与B2不能同时为0,由此可进一步推知这两条直线没有公共点,也 就是这两条直线平行 如果A1=,B=AB2,C1=C2(≠0)则方程组中两个方程的解集完全相同,由此可 知两个方程表示同一条直线,即直线与重合 通过以上分析,我们可以得到一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件 41∥l2AB2-A2B=0,且BC2-CB2≠0或4C1-4C2≠0 l与l2相交台AB2-AB1≠0 与12重合分A=Al,B1=AB,C1=C2(≠0) (三)典例剖析,深化概念 例题1已知直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,求证:当C1≠C2时,1∥l2 证明:因为AB-BA=0,所以l1∥l2,或l与2重合又因为BC2-BC1=B(C2-C) 当B≠0时,由已知有C1≠C2,所以BC2-BC1≠0,因此两条直线平行;当B=0时,又 直线方程的定义可知A≠0,于是两条直线方程变为x=C、x=A 这是两条与x轴垂 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 对于直线 1 1 1 l : y = k x +b ， 2 2 2 l : y = k x +b ，同学们会得出： 1 l ∥ 2 l k1 = k2且b1 b2； l 1与l 2相交 k1 k2； . 1 2 1 2 b1 b2 l 与l 重合 k = k 且 = 继续探究一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件. 已知两条直线的方程为 : 0, l 1 A1 x + B1 y +C1 = : 0. l 2 A2 x + B2 y +C2 = 为此，我们解方程组 A1 x + B1 y +C1 = 0 A2 x + B2 y +C2 = 0 当 A1B2 − A2B1 0 时，得 1 2 2 1 1 2 1 2 A B A B B C C B x − − = . 1 2 2 1 2 1 1 2 A B A B A C AC y − − = 因此，当 A1B2 − A2B1 0 时，方程组有唯一一组解. 这时，两条直线相交，交点的坐标就是 （x, y）. 当 0 0 0. A1B2 − A2B1 = ，且B1C2 −C1B2 或A2C1 − A1C2 时方程组无解.又由直线方程的 一般形式可知 A1与B1，A2与B2 不能同时为0，由此可进一步推知这两条直线没有公共点，也 就是这两条直线平行. 如果 0 . A1 = A2，B1 = B2，C1 = C（2 ） 则方程组中两个方程的解集完全相同，由此可 知两个方程表示同一条直线，即直线与重合. 通过以上分析，我们可以得到一般形式下两条直线相交、平行、重合的条件： 1 l ∥ 2 l 0 0 0. A1B2 − A2B1 = ，且B1C2 −C1B2 或A2C1 − A1C2 l 1与l 2相交 A1B2 − A2B1 0 . 0 . l 1与l 2重合 A1 = A2，B1 = B2，C1 = C（2 ） （三）典例剖析，深化概念 例题 1 已知直线 : 0, l 1 Ax+ By +C1 = l 2 : Ax+ By +C2 = 0， 求证：当 C1 C2 时， 1 l ∥ 2 l . 证明：因为 AB − BA = 0, 所以 1 l ∥ 2 l ，或 . l 1与l 2重合 又因为 ( ): BC2 − BC1 = B C2 −C1 当 B 0 时，由已知有 C1 C2 ，所以 0, BC2 − BC1 因此两条直线平行；当 B = 0 时，又 直线方程的定义可知 A 0 ，于是两条直线方程变为 , , 1 2 A C x A C x = − = − 这是两条与 x 轴垂
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 直的直线,所以它们平行或重合.又由于C1≠C2,所以它们是平行的直线 结论:与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程可以表示成Ax+By+D=0(D≠C 例题2求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程 (1)(-1,2).y=x+1; (2)(1,-4),2x+3y+5=0 解:(1)因为所求直线与已知直线平行,所以可设所求直线为y=x+b 由于所求直线过点(-1,2),代入方程,得b= 因此所求直线方程为y=x+,即x-2y+5=0 (2)设所求的直线方程为2x+3y+D=0 由于所求直线过点(1-4)代入方程,得D=10 因此,所求直线方程为2x+3y+10=0 (四)课堂练习,学以致用 教材第39页做一做 (五)课堂小结,认识升华 两种不同形式下的两条直线相交、平行、重合的等价条件 若l b,,l2 l与12平行k=k2且b≠b; l相交k1≠k l与l2重合分k1=k2且b1=b2 若l:Ax+b+C1=0,12:Ax+B+C2=0, 则1与2平行AB2-A2B=0,且BC2-CB2≠0或AC1-AC2≠0 l与l2相交台AB2-AB1≠0 l与l2重合台A4=A2,B1=AB,C1=C2(≠0) (六)课后作业,巩固提高 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 直的直线，所以它们平行或重合.又由于 C1 C2 ,所以它们是平行的直线. 结论：与直线 Ax + By +C = 0 平行的直线的方程可以表示成 Ax + By + D = 0(D C). 例题 2 求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程： （1） 1; 2 1 (−1,2), y = x + （2） (1,−4),2x + 3y + 5 = 0. 解：（1） 因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为 . 2 1 y = x + b 由于所求直线过点 (−1,2), 代入方程，得 . 2 5 b = 因此所求直线方程为 2 5 0. 2 5 2 1 y = x + ，即x − y + = （2）设所求的直线方程为 2x + 3y + D = 0. 由于所求直线过点 (1,-4), 代入方程，得 D =10. 因此，所求直线方程为 2x + 3y +10 = 0. （四）课堂练习，学以致用 教材第 39 页做一做. （五）课堂小结，认识升华 两种不同形式下的两条直线相交、平行、重合的等价条件. 若 1 1 1 l : y = k x +b ， 2 2 2 l : y = k x +b ，则 l 1与l 2平行k1 = k2且b1 b2； l 1与l 2相交 k1 k2； . 1 2 1 2 b1 b2 l 与l 重合 k = k 且 = 若 : 0, l 1 Ax+ By +C1 = l 2 : Ax+ By +C2 = 0， 则 0 0 0. l 1与l 2平行 A1B2 − A2B1 = ，且B1C2 −C1B2 或A2C1 − A1C2 l 1与l 2相交 A1B2 − A2B1 0 . 0 . l 1与l 2重合 A1 = A2，B1 = B2，C1 = C（2 ） （六）课后作业，巩固提高