1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 基础巩固 1.设集合A={x0sr≤3；，B-{x1s≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( A充分条件 B.必要条件 C既不充分也不必要条件 D.以上答案都不正确 答案B 解析：因为集合A={x0r≤3}，B={x1S≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”,但由“m∈B”可得到“m ∈A”故选B 2.(多选题)对于任意的实数a,b,c,下列说法正确的是 A.“ac2>bc2”是“a>b的充分条件 B.“a3=b3”是“a=b”的必要条件 C会bc2→a>b,所以“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；因为a=b→㎡3=b3,所以“a3=b3”是 “a-b的必要条件：国为a-3，所以“21且y>1,9q:实数xy满足x+y>2,则p是q的(） A充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.以上答案都不正确 答案：A 解析：当x>1y>1时，x+y>2一定成立，即p→g,当x+y>2时，可以x=-1,y=4,此时x0”是“x>0”的充分条件 B.“xy=0”是“x=0”的必要条件 C.“la=b1”是“a=b”的充分条件 D.“x>1”是“x2不小于1的必要条件 答案B 解析：A中，由于(-2)2>0，但-20”不能推出“x>0”,所以“x2>0”不是“x>0”的充分条件.B中， 因为x=0→xy=0,所以“xy=0”是“x=0”的必要条件.C中，由于-2=2，但-2≠2，“1=b1”不能推出 “a=b”,所以“1=b1”不是“a=b”的充分条件.D中，由于(-1)2=1，但-1川=1，“x2不小于1”不能推出 “x>1”,所以x>1”不是“x2不小于1”的必要条件故选B. 5.己知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x-m=0有实根，则( ) AP是q的充分条件 Bp是q的必要条件
1.4 充分条件与必要条件 1.4.1 充分条件与必要条件 基础巩固 1.设集合 A={x|0≤x≤3},B={x|1≤x≤3},那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.以上答案都不正确 答案:B 解析:因为集合 A={x|0≤x≤3},B={x|1≤x≤3},则由“m∈A”得不到“m∈B”,但由“m∈B”可得到“m ∈A”.故选 B. 2.(多选题)对于任意的实数 a,b,c,下列说法正确的是 ( ) A.“ac2>bc2 ”是“a>b”的充分条件 B.“a 3=b3 ”是“a=b”的必要条件 C.“𝑎 𝑐 bc2⇒a>b,所以“ac2>bc2 ”是“a>b”的充分条件;因为 a=b⇒a 3=b3 ,所以“a 3=b3 ”是 “a=b”的必要条件;因为 a- 3 5 ,所以“ 𝑎 𝑐 -3,所以“a 21 且 y>1,q:实数 x,y 满足 x+y>2,则 p 是 q 的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.以上答案都不正确 答案:A 解析:当 x>1,y>1 时,x+y>2 一定成立,即 p⇒q;当 x+y>2 时,可以 x=-1,y=4,此时 x0”是“x>0”的充分条件 B.“xy=0”是“x=0”的必要条件 C.“|a|=|b|”是“a=b”的充分条件 D.“|x|>1”是“x 2 不小于 1”的必要条件 答案:B 解析:A 中,由于(-2)2>0,但-20”不能推出“x>0”,所以“x 2>0”不是“x>0”的充分条件.B 中, 因为 x=0⇒xy=0,所以“xy=0”是“x=0”的必要条件.C 中,由于|-2|=|2|,但-2≠2,“|a|=|b|”不能推出 “a=b”,所以“|a|=|b|”不是“a=b”的充分条件.D 中,由于(-1)2=1,但|-1|=1,“x 2 不小于 1”不能推出 “|x|>1”,所以“|x|>1”不是“x 2 不小于 1”的必要条件.故选 B. 5.已知条件 p:m>0,结论 q:关于 x 的方程 x 2 -x-m=0 有实根,则( ) A.p 是 q 的充分条件 B.p 是 q 的必要条件
Cp不是q的充分条件 D.无法判断 答案：A 解析：因为关于x的方程2-x-m=0有实根，所以△=1+4m20,解得m2而{mlm>0}Smm≥ 引所以“m>0是“关于x的方程-xm=0有实根”的充分条件.故选A 6.若2x+m3的充分条件，则实数m的取值范围是( ) A.m26 B.2≤ms6 C.m22 D.m3},所以受l,解得m心2.故选C 7.设xy∈R那么x>y>0”是“区1的 条件（填“充分”或“必要） 答案充分 解析x>y>0→l,而由子1推不出x>y>0,如x=-5,y=4,满足子l,但-5y>0故 “x>y>0是1”的充分条件。 8.若“aSr2a+1”是“1<x<2”的必要条件，则a的取值范围是 答案六asl 解析：由已知得121Ss2a+1a∈R,所以公a1之2即子cl 9.判断下列各题中的p是q的什么条件.（在“充分条件“必要条件“既不充分也不必要条件” 中选出一种) (1)px-5=0,9:(x-5)x-3)=0: (2)p:m<-3,:方程x2-x-m=0无实根 (3)p:四边形的对角线相等，qg:四边形是矩形 解(1)因为x-5=0→(x-5)(x-3)=0,而(x-5)(x-3)=(市x-5=0, 所以p是q的充分条件 (2)因为x2-x-m=0无实根时， △=(-1)2.4×(-m)=1+4m<0, 即m<孕 所以gmr子 所以p→q,9节p. 所以p是q的充分条件。 (3)因为矩形的对角线相等，所以g→p.而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以市q,所以p 是q的必要条件 拓展提高 1.已知条件p:k=1,结论qg:函数y=+1的图象经过第一象限，则( APp是q的充分条件 Bp是q的必要条件 Cp不是g的充分条件 D.无法判断 答案：A
C.p 不是 q 的充分条件 D.无法判断 答案:A 解析:因为关于 x 的方程 x 2 -x-m=0 有实根,所以 Δ=1+4m≥0,解得 m≥- 1 4 .而{m|m>0}⊆{𝑚 |𝑚 ≥ - 1 4 },所以“m>0”是“关于 x 的方程 x 2 -x-m=0 有实根”的充分条件.故选 A. 6.若“2x+m3”的充分条件,则实数 m 的取值范围是( ) A.m≥6 B.2≤m≤6 C.m≥2 D.m≤2 答案:C 解析:由已知得{𝑥 |𝑥 3},所以- 𝑚 2 ≤-1,解得 m≥2.故选 C. 7.设 x,y∈R,那么“x>y>0”是“ 𝑥 𝑦 >1”的 条件(填“充分”或“必要”). 答案:充分 解析:x>y>0⇒ 𝑥 𝑦 >1,而由𝑥 𝑦 >1 推不出 x>y>0,如:x=-5,y=-4,满足𝑥 𝑦 >1,但-5y>0.故 “x>y>0”是“ 𝑥 𝑦 >1”的充分条件. 8.若“a≤x≤2a+1”是“1<x<2”的必要条件,则 a 的取值范围是 . 答案: 1 2 ≤a≤1 解析:由已知得{x|1<x<2}⊆{x|a≤x≤2a+1,a∈R},所以{ 𝑎 ≤ 1, 2𝑎 + 1 ≥ 2, 即 1 2 ≤a≤1. 9.判断下列各题中的 p 是 q 的什么条件.(在“充分条件”“必要条件”“既不充分也不必要条件” 中选出一种) (1)p:x-5=0,q:(x-5)(x-3)=0; (2)p:m<-3,q:方程 x 2 -x-m=0 无实根; (3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形. 解:(1)因为 x-5=0⇒(x-5)(x-3)=0,而(x-5)·(x-3)=0 x-5=0, 所以 p 是 q 的充分条件. (2)因为 x 2 -x-m=0 无实根时, Δ=(-1)2 -4×(-m)=1+4m<0, 即 m<- 1 4 , 所以 q:m<- 1 4 . 所以 p⇒q,q p. 所以 p 是 q 的充分条件. (3)因为矩形的对角线相等,所以 q⇒p.而对角线相等的四边形不一定是矩形,所以 p q,所以 p 是 q 的必要条件. 拓展提高 1.已知条件 p:k=1,结论 q:函数 y=kx+1 的图象经过第一象限,则( ) A.p 是 q 的充分条件 B.p 是 q 的必要条件 C.p 不是 q 的充分条件 D.无法判断 答案:A
2.已知甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条 件，那么() A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C丙既是甲的充分条件，也是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 答案：A 解析：由已知得乙→甲，丙→乙，乙力丙，所以丙→甲，甲力丙故选A 3.关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要条件是( Am月 B.m0 C.a0. 解析：因为一元二次方程a2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以 0中选出适合的条件，用序号填空 (1)a,b都为0的必要条件是 (2)使a,b都不为0的充分条件是 答案：(1)①②(2)③ 解析(1)a,b都为0”能推出“ab=0,a+b=0”,所以填①② (2)因为“ab>0”能推出“a,b都不为0”，所以“a,b都不为0”的充分条件是“ab>0” 6在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件？（在“充分“必要既不充分也不必 要”中选出一种) (1)如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件： (2)如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件 (3)如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件
2.已知甲、乙、丙三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条 件,那么( ) A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙既是甲的充分条件,也是甲的必要条件 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 答案:A 解析:由已知得乙⇒甲,丙⇒乙,乙 丙,所以丙⇒甲,甲 丙.故选 A. 3.关于 x 的一元二次方程 x 2+x+m=0 有实数解的一个必要条件是( ) A.m0 C.a 0, 1 𝑎 0 中选出适合的条件,用序号填空. (1)a,b 都为 0 的必要条件是 ; (2)使 a,b 都不为 0 的充分条件是 . 答案:(1)①② (2)③ 解析:(1)“a,b 都为 0”能推出“ab=0,a+b=0”,所以填①②. (2)因为“ab>0”能推出“a,b 都不为 0”,所以“a,b 都不为 0”的充分条件是“ab>0”. 6.在下列电路图中,闭合开关 A 是灯泡 B 亮的什么条件?(在“充分”“必要”“既不充分也不必 要”中选出一种) (1)如图①所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 条件; (2)如图②所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 条件; (3)如图③所示,开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 条件
答案：(1)充分(2)必要(3)既不充分也不必要 解析(I)开关A闭合，灯泡B亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，故开关A闭合是灯泡B 亮的充分条件。 (2)开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮，开关A必须闭合，故开关A闭合是灯泡B亮的 必要条件」 (3)开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮，开关A也不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡 B亮的既不充分也不必要条件 7.己知p:3x+m3,若p是g的一个充分条件，则m的取值范围是 答案：m心3 解析：由3x+m3} p是q的一个充分条件， ∴p→q,∴AB, 1, ∴.m23, 即m的取值范围是m≥3. 挑h战创新 已知p:(x-3)x+1)0)是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值 范围。 解：由(x-3)x+1)0)是p的一个必要条件 所以{x-10}. 所以4 解得a22. 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2
答案:(1)充分 (2)必要 (3)既不充分也不必要 解析:(1)开关 A 闭合,灯泡 B 亮;而灯泡 B 亮时,开关 A 不一定闭合,故开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分条件. (2)开关 A 闭合,灯泡 B 不一定亮;而灯泡 B 亮,开关 A 必须闭合,故开关 A 闭合是灯泡 B 亮的 必要条件. (3)开关 A 闭合,灯泡 B 不一定亮;而灯泡 B 亮,开关 A 也不一定闭合,所以开关 A 闭合是灯泡 B 亮的既不充分也不必要条件. 7.已知 p:3x+m3,若 p 是 q 的一个充分条件,则 m 的取值范围是 . 答案:m≥3 解析:由 3x+m3}, ∵p 是 q 的一个充分条件, ∴p⇒q,∴A⊆B, ∴- 𝑚 3 ≤-1, ∴m≥3, 即 m 的取值范围是 m≥3. 挑战创新 已知 p:(x-3)(x+1)0)是 p 的一个必要条件,求使 a>b 恒成立的实数 b 的取值 范围. 解:由(x-3)(x+1)0)是 p 的一个必要条件, 所以{x|-10}. 所以{ 1-𝑎 ≤ -1, 1 + 𝑎 ≥ 3, 解得 a≥2. 则使 a>b 恒成立的实数 b 的取值范围是 b<2