2.2基本不等式 第1课时基本不等式 基础巩固 1.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是() A.a=±1 B.a=1 C.a=.1 D.a=0 答案B 解析a2+1-2a=(a-1)2≥0，当a=1时，等号成立 2.对x∈R,且x0都成立的不等式是() Ax+22 B.x+.2 c斗≥ Dx+非2 答案：D 解析：因为x∈R,且x≠0， 所以当x>0时，x+三2，当x0, 所以x止(x+》上-2，所以选项AB不特合题意，选项D符合题意： 又因为x2+1≥2x, 所以斗≤是所以选项C不特合题意，故选D 3.若0(a+bP-2(尝)= a2+b2-2ab=(a-b)2>0,∴.a2+b2>2ab, :00,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的() A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：当a>0,b>0时，a+b≥2Vab,则当a+bs4时，有2√ab≤a+bs4,解得abs4,充分性成立 当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分 不必要条件 5.己知x>0,y>0,x找，则下列四个式子中值最小的是 () A安 B+) c D2病 答案C 解析（方法一），x>0,y>0,xy t2可动<排除D
2.2 基本不等式 第 1 课时 基本不等式 基础巩固 1.不等式 a 2+1≥2a 中等号成立的条件是( ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 答案:B 解析:a 2+1-2a=(a-1)2≥0,当 a=1 时,等号成立. 2.对 x∈R,且 x≠0 都成立的不等式是( ) A.x+1 𝑥 ≥2 B.x+1 𝑥 ≤-2 C. |𝑥| 𝑥 2+1 ≥ 1 2 D.|𝑥 + 1 𝑥 |≥2 答案:D 解析:因为 x∈R,且 x≠0, 所以当 x>0 时,x+1 𝑥 ≥2;当 x0, 所以 x+1 𝑥 =-(-𝑥 + 1 -𝑥 )≤-2,所以选项 A,B 不符合题意,选项 D 符合题意; 又因为 x 2+1≥2|x|, 所以 |𝑥| 𝑥 2+1 ≤ 1 2 ,所以选项 C 不符合题意,故选 D. 3.若 0(a+b) 2 -2·( 𝑎+𝑏 2 ) 2 = 1 2 , a 2+b2 -2ab=(a-b) 2>0,∴a 2+b2>2ab, ∵00,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:当 a>0,b>0 时,a+b≥2 √𝑎𝑏,则当 a+b≤4 时,有 2 √𝑎𝑏≤a+b≤4,解得 ab≤4,充分性成立. 当 a=1,b=4 时,满足 ab≤4,但此时 a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分 不必要条件. 5.已知 x>0,y>0,x≠y,则下列四个式子中值最小的是 ( ) A. 1 𝑥+𝑦 B.1 4 ( 1 𝑥 + 1 𝑦 ) C.√ 1 2(𝑥 2+𝑦2) D. 1 2√𝑥𝑦 答案:C 解析:(方法一)∵x>0,y>0,x≠y, ∴x+y>2 √𝑥𝑦,∴ 1 𝑥+𝑦 < 1 2√𝑥𝑦 ,排除 D;
+)== +y2 x+y X+V x+y ∴排除B .(x+y)2=x2+y2+2y 1 2x2+排除A (方法二)取x=1,y=2, 则站=+)=、4=六病=品=房其中六最小 1 6已知a>b>c,则√@-bXb-可与兰的大小关系是 答案a-bjb-g≤ 解析：a>b>c,∴.a-b>0,b-c>0. 学=@b@≥a-bX00当且仅当ab-6c,即2b=c时取等号. 2 7.不等式+名2恒成立，当且仅当x=时取等号. Vx2+1 答案0 解桥器=器=中+宗小原7斋2共中当且仅当中 “Vx2+1√x2+1 1 =台x2+1=1台x2=-0台x=0时等号成立 √x2+ 8.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是 (填序号) 0abs1,②a+V万svZ,③a2+b22,④a2+b>3,⑤片+22 答案：①③⑤ 解析：令a=b-1,排除②④，由2=a+b22Vab→abs1,①中不等式恒成立；2+b=(a+b)2-2ab=4- 2ae42(学°-2.国申不等式恒成立号+日=器-品≥迪2，⑥中不等式板成立 2 b=2 2 9.设a,.b,c都是正数，求证c+些+≥a+b+c b C 证明因为ab,c都是正数，所以，=，驰也都是正数 a’b,c 所以竖+焉2c号+典2a,g+空2b C C 三式相加得2（售+号+碧）>2a+b+d),即二+号+典a+b+c,当且仅当a=b=c时取等号. a c 10.已知a,b,c∈R,求证：Va2+b2+Vb2+cz+Vc2+a2≥√2(a+b+c. 证明（学°-少+2迪-（学0学s a2+b- 2 4 2 Va+下≥学=知+b等号在a-b时成 同理6+C≥b+e以等号在b-e时成立). va2+c≥a+c(等号在a-e时成立， 三式相加得a+F+VB+C+V+C≥a+b)+b+o)+at+ol-2a+bo(等号 在a=b=c时成立)片 拓展提高 1.已知a,b是正数，则，Va5和 2+的大小关系是
∵ 1 4 ( 1 𝑥 + 1 𝑦 ) = 𝑥+𝑦 4𝑥𝑦 = 1 4𝑥𝑦 𝑥+𝑦 > 1 (𝑥+𝑦) 2 𝑥+𝑦 = 1 𝑥+𝑦 , ∴排除 B; ∵(x+y) 2=x2+y2+2xy √ 1 2(𝑥 2+𝑦2) ,排除 A. (方法二)取 x=1,y=2, 则 1 𝑥+𝑦 = 1 3 , 1 4 ( 1 𝑥 + 1 𝑦 ) = 3 8 , √ 1 2(𝑥 2+𝑦2) = 1 √10 , 1 2√𝑥𝑦 = 1 2√2 = 1 √8 .其中 1 √10最小. 6.已知 a>b>c,则√(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)与 𝑎-𝑐 2 的大小关系是 . 答案:√(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐) ≤ 𝑎-𝑐 2 解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0. ∴ 𝑎-𝑐 2 = (𝑎-𝑏)+(𝑏-𝑐) 2 ≥ √(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐),当且仅当 a-b=b-c,即 2b=a+c 时取等号. 7.不等式 𝑥 2+2 √𝑥 2+1 ≥2 恒成立,当且仅当 x= 时取等号. 答案:0 解析: 𝑥 2+2 √𝑥 2+1 = (𝑥 2+1)+1 √𝑥 2+1 = √𝑥 2 + 1 + 1 √𝑥 2+1 ≥2√√𝑥 2 + 1· 1 √𝑥 2+1 =2,其中当且仅当√𝑥 2 + 1 = 1 √𝑥 2+1 ⇔x 2+1=1⇔x 2=0⇔x=0 时等号成立. 8.若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的是 (填序号). ①ab≤1;②√𝑎 + √𝑏 ≤ √2;③a 2+b2≥2;④a 3+b3≥3;⑤ 1 𝑎 + 1 𝑏 ≥2. 答案:①③⑤ 解析:令 a=b=1,排除②④;由 2=a+b≥2√𝑎𝑏⇒ab≤1,①中不等式恒成立;a 2+b2=(a+b) 2 -2ab=4- 2ab≥4-2×( 𝑎+𝑏 2 ) 2 =2,③中不等式恒成立; 1 𝑎 + 1 𝑏 = 𝑎+𝑏 𝑎𝑏 = 2 𝑎𝑏 ≥ 2 ( 𝑎+𝑏 2 ) 2=2,⑤中不等式恒成立. 9.设 a,b,c 都是正数,求证: 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑎𝑐 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐 ≥a+b+c. 证明:因为 a,b,c 都是正数,所以𝑏𝑐 𝑎 , 𝑎𝑐 𝑏 , 𝑎𝑏 𝑐 也都是正数. 所以𝑏𝑐 𝑎 + 𝑎𝑐 𝑏 ≥2c, 𝑎𝑐 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐 ≥2a, 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑎𝑏 𝑐 ≥2b, 三式相加得 2( 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑎𝑐 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐 )≥2(a+b+c),即 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑎𝑐 𝑏 + 𝑎𝑏 𝑐 ≥a+b+c,当且仅当 a=b=c 时取等号. 10.已知 a,b,c∈R,求证:√𝑎 2 + 𝑏 2 + √𝑏 2 + 𝑐 2 + √𝑐 2 + 𝑎 2 ≥ √2(a+b+c). 证明:∵( 𝑎+𝑏 2 ) 2 − 𝑎 2+𝑏 2 2 =- 𝑎 2+𝑏 2 -2𝑎𝑏 4 =-( 𝑎-𝑏 2 ) 2 ≤0,∴ 𝑎+𝑏 2 ≤ √𝑎2+𝑏 2 2 , ∴√𝑎 2 + 𝑏 2 ≥ 𝑎+𝑏 √2 = √2 2 (a+b)(等号在 a=b 时成立), 同理√𝑏 2 + 𝑐 2 ≥ √2 2 (b+c)(等号在 b=c 时成立), √𝑎 2 + 𝑐 2 ≥ √2 2 (a+c)(等号在 a=c 时成立), 三式相加得√𝑎 2 + 𝑏 2 + √𝑏 2 + 𝑐 2 + √𝑎 2 + 𝑐 2 ≥ √2 2 (a+b)+ √2 2 (b+c)+ √2 2 (a+c)=√2(a+b+c)(等号 在 a=b=c 时成立). 拓展提高 1.已知 a,b 是正数,则 𝑎+𝑏 2 ,√𝑎𝑏和√𝑎2+𝑏 2 2 的大小关系是 ( )
A学骋2V历2、 a2+b 2 B≥ c历 D 答案D 解析：a,b是正数，生之V函当且仅当a=b时，取等号)再比较 与的大小 (-22- 2 4 学)0，≤ 故选D 2.(多选题)给出下列命题，其中为真命题的是() A.若a>0,则2+1>a B若a>0,b>0,则（日+a)(b+上4 C若a>0,b>0,则(a+b日+》4 D.若a∈R且a-0,则2+≥6 答案：ABC 解析因为a+a-(a-)+子0， 所以a2+1>a,故A中命题为真命题， 国为a>0,所以a+2, 因为b>0,所以b+分2， 所以当a>0,b0时.(a+)(b+》4,故B中今题为真命题 因为(a+b侣+)-2+会+号 又a>0,b>0, 所以+学2， 所以(a+b)日+》4，故C中命题为真令题当a0),第三年的增长率为b(b>0),这两年 的平均增长率为x,则() Ax-Q4地 2 Ba+也 2 Cx>a+地 2 DQ+也 2 答案：B 解析：这两年的平均增长率为x, ∴.A1+x)2=A(1+a1+b), ∴.(1+x)2=(1+a01+b). 由题设知a>0,b>0, ∴1+x=√1+a(1+b≤L+@牛+也-1++地 2 2 ∴生 当且仅当1+a=1+b,即a=b时，等号成立.故选B. 4.设a,b为非零实数，给出下列不等式： @k②少≥(，®学≥品÷@呢+2其中恒成立的不等式是 2 (填 序号)
A.𝑎+𝑏 2 ≥ √𝑎𝑏 ≥ √𝑎2+𝑏 2 2 B.𝑎+𝑏 2 ≥ √𝑎2+𝑏 2 2 ≥ √𝑎𝑏 C.√𝑎2+𝑏 2 2 ≥ √𝑎𝑏 ≥ 𝑎+𝑏 2 D.√𝑎2+𝑏 2 2 ≥ 𝑎+𝑏 2 ≥ √𝑎𝑏 答案:D 解析:∵a,b 是正数,∴ 𝑎+𝑏 2 ≥ √𝑎𝑏(当且仅当 a=b 时,取等号);再比较√𝑎2+𝑏 2 2 与 𝑎+𝑏 2 的大小. ∵( 𝑎+𝑏 2 ) 2 − 𝑎 2+𝑏 2 2 =- 𝑎 2+𝑏 2 -2𝑎𝑏 4 =-( 𝑎-𝑏 2 ) 2 ≤0,∴ 𝑎+𝑏 2 ≤ √𝑎2+𝑏 2 2 . 故选 D. 2.(多选题)给出下列命题,其中为真命题的是( ) A.若 a>0,则 a 2+1>a B.若 a>0,b>0,则( 1 𝑎 + 𝑎) (𝑏 + 1 𝑏 )≥4 C.若 a>0,b>0,则(a+b)( 1 𝑎 + 1 𝑏 )≥4 D.若 a∈R,且 a≠0,则 9 𝑎 +a≥6 答案:ABC 解析:因为(a 2+1)-a=(𝑎- 1 2 ) 2 + 3 4 >0, 所以 a 2+1>a,故 A 中命题为真命题. 因为 a>0,所以 a+1 𝑎 ≥2, 因为 b>0,所以 b+1 𝑏 ≥2, 所以当 a>0,b>0 时,(𝑎 + 1 𝑎 ) (𝑏 + 1 𝑏 )≥4,故 B 中命题为真命题. 因为(a+b)( 1 𝑎 + 1 𝑏 )=2+ 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 , 又 a>0,b>0, 所以𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 ≥2, 所以(a+b)( 1 𝑎 + 1 𝑏 )≥4,故 C 中命题为真命题.当 a0),第三年的增长率为 b(b>0),这两年 的平均增长率为 x,则( ) A.x= 𝑎+𝑏 2 B.x≤ 𝑎+𝑏 2 C.x>𝑎+𝑏 2 D.x≥ 𝑎+𝑏 2 答案:B 解析:∵这两年的平均增长率为 x, ∴A(1+x) 2=A(1+a)(1+b), ∴(1+x) 2=(1+a)(1+b). 由题设知 a>0,b>0, ∴1+x=√(1 + 𝑎)(1 + 𝑏) ≤ (1+𝑎)+(1+𝑏) 2 =1+ 𝑎+𝑏 2 , ∴x≤ 𝑎+𝑏 2 , 当且仅当 1+a=1+b,即 a=b 时,等号成立.故选 B. 4.设 a,b 为非零实数,给出下列不等式: ① 𝑎 2+𝑏 2 2 ≥ab;② 𝑎 2+𝑏 2 2 ≥ ( 𝑎+𝑏 2 ) 2 ;③ 𝑎+𝑏 2 ≥ 𝑎𝑏 𝑎+𝑏 ;④ 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑎 ≥2.其中恒成立的不等式是 (填 序号)
答案：①② 解析：由不等式2+b2≥2ab,可知①中不等式恒成立； 2+拉=242+的=+的4+的≥+4地-4=（生艺），可知②中不等式恒成主 4 4 4 当a=b-1时，尝-1品。可知国中不等式不成主 当a-l,b=1时号+台-20,b>0,且a+b=l,求证(a+12+(b+1)≥号 证明：，a>0,b>0, .a+1>0,b+1>0, ∴.(a+1)2+(b+1)）2≥2(a+1)(b+1), ∴.2(a+1)2+2(b+1)2≥(a+1)2+(b+1)2+2(a+1)b+1)=[(a+1)+(b+1)]2, ∴2(a+1)2+2(b+1)2≥(a+1)+b+1)=3, (a+1y+b+I)2号 当且仅当a=b时，等号成立 6.已知a>0,b>0,a+b=1,求证 (片+后+品8， 2(1+(1+》9 证明（哈+坊+品=+片+出2+分 .a+b=1,a>0,b>0, +片=+告-2+号+÷2+2-4， a 日+片+品8（当且仅当a=b时，等号成立） (2a>0,b>0,a+h=1,1+日1+也-2+同理，1+片-2+号 :(1+)(1+月)=(2+)(2+)-5+2哈+≥5+4=9， ∴(（1+)(1+》9（当且仅当a=b时，等号成立）， 挑战创新 设a>b>c且品+≥二恒成立，求m的取值范围 解：由a>b>℃，知a-b>0,b-c>0,a-c>0 因此，原不等式等价于酷+总m 要使原不等式恒成立，只需二+器的最小值不小于m即可 因为器+能=@+0-2+气+学2+2气二4当且仅当器=总即 a-b b-c 2b=a+c时，等号成立.所以m4,即m的取值范围为m4
答案:①② 解析:由不等式 a 2+b2≥2ab,可知①中不等式恒成立; 𝑎 2+𝑏 2 2 = 2(𝑎 2+𝑏 2 ) 4 = (𝑎 2+𝑏 2 )+(𝑎 2+𝑏 2 ) 4 ≥ 𝑎 2+𝑏 2+2𝑎𝑏 4 = (𝑎+𝑏) 2 4 = ( 𝑎+𝑏 2 ) 2 ,可知②中不等式恒成立; 当 a=b=-1 时, 𝑎+𝑏 2 =-1, 𝑎𝑏 𝑎+𝑏 =- 1 2 ,可知③中不等式不成立; 当 a=1,b=-1 时, 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑎 =-20,b>0,且 a+b=1,求证:(a+1)2+(b+1)2≥ 9 2 . 证明:∵a>0,b>0, ∴a+1>0,b+1>0, ∴(a+1)2+(b+1)2≥2(a+1)(b+1), ∴2(a+1)2+2(b+1)2≥(a+1)2+(b+1)2+2(a+1)(b+1)=[(a+1)+(b+1)]2 , ∴√2(𝑎 + 1) 2 + 2(𝑏 + 1) 2 ≥(a+1)+(b+1)=3, ∴(a+1)2+(b+1)2≥ 9 2 , 当且仅当 a=b=1 2时,等号成立. 6.已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑎𝑏≥8; (2)(1 + 1 𝑎 ) (1 + 1 𝑏 )≥9. 证明:(1)1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑎𝑏 = 1 𝑎 + 1 𝑏 + 𝑎+𝑏 𝑎𝑏 =2( 1 𝑎 + 1 𝑏 ). ∵a+b=1,a>0,b>0, ∴ 1 𝑎 + 1 𝑏 = 𝑎+𝑏 𝑎 + 𝑎+𝑏 𝑏 =2+ 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑎 ≥2+2=4, ∴ 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑎𝑏≥8(当且仅当 a=b=1 2 时,等号成立). (2)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+ 1 𝑎 =1+ 𝑎+𝑏 𝑎 =2+ 𝑏 𝑎 ,同理,1+ 1 𝑏 =2+ 𝑎 𝑏 , ∴(1 + 1 𝑎 ) (1 + 1 𝑏 ) = (2 + 𝑏 𝑎 ) (2 + 𝑎 𝑏 )=5+2( 𝑏 𝑎 + 𝑎 𝑏 )≥5+4=9, ∴(1 + 1 𝑎 ) (1 + 1 𝑏 )≥9(当且仅当 a=b=1 2时,等号成立). 挑战创新 设 a>b>c,且 1 𝑎-𝑏 + 1 𝑏-𝑐 ≥ 𝑚 𝑎-𝑐恒成立,求 m 的取值范围. 解:由 a>b>c,知 a-b>0,b-c>0,a-c>0. 因此,原不等式等价于𝑎-𝑐 𝑎-𝑏 + 𝑎-𝑐 𝑏-𝑐 ≥m. 要使原不等式恒成立,只需𝑎-𝑐 𝑎-𝑏 + 𝑎-𝑐 𝑏-𝑐的最小值不小于 m 即可. 因为𝑎-𝑐 𝑎-𝑏 + 𝑎-𝑐 𝑏-𝑐 = (𝑎-𝑏)+(𝑏-𝑐) 𝑎-𝑏 + (𝑎-𝑏)+(𝑏-𝑐) 𝑏-𝑐 =2+ 𝑏-𝑐 𝑎-𝑏 + 𝑎-𝑏 𝑏-𝑐 ≥2+2√ 𝑏-𝑐 𝑎-𝑏 · 𝑎-𝑏 𝑏-𝑐 =4,当且仅当𝑏-𝑐 𝑎-𝑏 = 𝑎-𝑏 𝑏-𝑐 ,即 2b=a+c 时,等号成立.所以 m≤4,即 m 的取值范围为 m≤4