第五章」 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1任意角 基础巩固 1.射线OA绕端点O逆时针旋转120到达OB的位置，再顺时针旋转270°到达OC的位置，则 ∠AOC=() A.150° B.-150° C.390° D.-390 答案B 解析：按逆时针方向旋转形成的角是正角，按顺时针方向旋转形成的角是负角，故∠ A0C=120°-270°=.150° 故选B. 2.(多选题)下列说法错误的是() A.终边在x轴非正半轴上的角是零角 B.第二象限角一定是钝角 C第四象限角一定是负角 D.若B=a+k360°(k∈Z),则角a与角B的终边相同 答案：ABC 解析：终边在x轴非正半轴上的角为k360°+180°，k∈Z,零角为0°，所以A中说法错误；480°角 为第二象限角，但不是钝角，所以B中说法错误：285°角为第四象限角，但不是负角，所以C中说 法错误；B=a+k360°，k∈Z,则角a与角B的终边相同，所以D中说法正确 3.与-330°角终边相同的最小正角是( A.-30° B.330° C.30° D.60° 答案C 解析：，-330°=-360°+30°，∴.与-330°角终边相同的最小正角是30°.故选C 4.若角a=m360°+60°，B=k360°+120°(m,k∈Z,则角a与角B终边的位置关系是() A重合 B.关于原点对称 C关于x轴对称 D.关于y轴对称 答案D 解析：角a的终边和60°角的终边相同，角B的终边与120°角的终边相同，，180°-120°=60°， 角a与角B终边的位置关系是关于y轴对称故选D 5.若分针走过了2时40分，则分针转过的角是() A.80° B.-80° C.960° D.-960° 答案D 解析：分针转过的角是负角，且分针每转一周是-360°，故共转了-360°×(2+0)二960° 6.已知角a=-3000°，则与角a的终边相同的最小正角是 答案：240° 解析：与角a=-3000°终边相同的角的集合为{l0=-3000°+k360°，k∈Z, 令-3000°+k360>0°，解得空 故当k=9时.0=240°满足条件
第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 基础巩固 1.射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120°到达 OB 的位置,再顺时针旋转 270°到达 OC 的位置,则 ∠AOC=( ) A.150° B.-150° C.390° D.-390° 答案:B 解析:按逆时针方向旋转形成的角是正角,按顺时针方向旋转形成的角是负角,故∠ AOC=120°-270°=-150°. 故选 B. 2.(多选题)下列说法错误的是( ) A.终边在 x 轴非正半轴上的角是零角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若 β=α+k·360°(k∈Z),则角 α 与角 β 的终边相同 答案:ABC 解析:终边在 x 轴非正半轴上的角为 k·360°+180°,k∈Z,零角为 0°,所以 A 中说法错误;480°角 为第二象限角,但不是钝角,所以 B 中说法错误;285°角为第四象限角,但不是负角,所以 C 中说 法错误;β=α+k·360°,k∈Z,则角 α 与角 β 的终边相同,所以 D 中说法正确. 3.与-330°角终边相同的最小正角是( ) A.-30° B.330° C.30° D.60° 答案:C 解析:∵-330°=-360°+30°,∴与-330°角终边相同的最小正角是 30°.故选 C. 4.若角 α=m·360°+60°,β=k·360°+120°(m,k∈Z),则角 α 与角 β 终边的位置关系是( ) A.重合 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 答案:D 解析:角 α 的终边和 60°角的终边相同,角 β 的终边与 120°角的终边相同,∵180°-120°=60°,∴ 角 α 与角 β 终边的位置关系是关于 y 轴对称.故选 D. 5.若分针走过了 2 时 40 分,则分针转过的角是( ) A.80° B.-80° C.960° D.-960° 答案:D 解析:分针转过的角是负角,且分针每转一周是-360°,故共转了-360°×(2 + 40 60)=-960°. 6.已知角 α=-3 000°,则与角 α 的终边相同的最小正角是 . 答案:240° 解析:与角 α=-3 000°终边相同的角的集合为{θ|θ=-3 000°+k·360°,k∈Z}, 令-3 000°+k·360°>0°,解得 k>25 3 , 故当 k=9 时,θ=240°满足条件
7.若角a=k360°+45°，k∈Z,则g是第 象限角 答案：一或第三 解析：a=k360°+45°，k∈Z ∴号-k180°+22.5°，keZ 当k为偶数，即k-2n,n∈Z时号=n360°+22.5°，n∈Z,∴为第一象限角 当k为奇数，即k-2n+1,n∈Z时，号=n360°+202.5°，n∈Z,∴号为第三象限角. 综上号是第一或第三象限角。 8.如图所示，写出终边在直线y=V3x上的角a的集合（用0°到360间的角表示）. y y=N3x A60° 0 解：由题图可知，在0°-360°范围内，终边在直线y=V3x上的角有两个：60°，240° 故终边在直线y=V3x上的角a的集合为{aa=60°+k360°，k∈ZU{a=240°+k360°，k∈ Z公={ada=60°+n180°，n∈Z. 9.写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式-1080°≤$<-360°的角B. 解：与25°角终边相同的角的集合为S={B=k360°+25°，k∈Z. 令k=-3,则有B=-3×360°+25°=-1055°，符合条件； 令k=-2,则有B=-2×360°+25°=-695°，合条件； 令k=-1,则有B=-1×360°+25°=-335°，不符合条件. 故符合条件的角B有-1055°，-695° 拓展提高 1若角α是第三象限角，则角二的终边所在的区域是图中的区域（不含边界）() ③② ④ ⑧ A.③⑦ B.④⑧ C.②⑤⑧ D.①③⑤⑦ 答案：A 解析：角a是第三象限角，.k360°+180°<a<k360°+270(k∈Z,∴. k180°+90°<号<k180°+135(k∈Z) 当k=2n(n∈Z)时，n360°+90°<g<m360°+135°，n∈Z,其终边在区域③内；当k=2n+1(n∈Z 时，m360°+270°<受m360°+315°，n∈乙，其终边在区域⑦内. ∴.角号的终边所在的区域为③⑦ 2.终边在直线y=x上的角a的集合是() A.{ala=n360°+135°，n∈Z B.{ca=n360°-45°，n∈Z C.{aa=n-180°+225°，n∈Z} D.{aa=n180°-45°，n∈Z 答案D
7.若角 α=k·360°+45°,k∈Z,则 𝛼 2是第 象限角. 答案:一或第三 解析:∵α=k·360°+45°,k∈Z, ∴ 𝛼 2 =k·180°+22.5°,k∈Z. 当 k 为偶数,即 k=2n,n∈Z 时, 𝛼 2 =n·360°+22.5°,n∈Z,∴ 𝛼 2 为第一象限角; 当 k 为奇数,即 k=2n+1,n∈Z 时, 𝛼 2 =n·360°+202.5°,n∈Z,∴ 𝛼 2为第三象限角. 综上, 𝛼 2是第一或第三象限角. 8.如图所示,写出终边在直线 y=√3x 上的角 α 的集合(用 0°到 360°间的角表示). 解:由题图可知,在 0°~360°范围内,终边在直线 y=√3x 上的角有两个:60°,240°. 故终边在直线 y=√3x 上的角 α 的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈ Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}. 9.写出与 25°角终边相同的角的集合,并求出该集合中满足不等式-1 080°≤β<-360°的角 β. 解:与 25°角终边相同的角的集合为 S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}. 令 k=-3,则有 β=-3×360°+25°=-1 055°,符合条件; 令 k=-2,则有 β=-2×360°+25°=-695°,符合条件; 令 k=-1,则有 β=-1×360°+25°=-335°,不符合条件. 故符合条件的角 β 有-1 055°,-695°. 拓展提高 1.若角 α 是第三象限角,则角𝛼 2 的终边所在的区域是图中的区域(不含边界)( ) A.③⑦ B.④⑧ C.②⑤⑧ D.①③⑤⑦ 答案:A 解析:∵角 α 是第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),∴ k·180°+90°< 𝛼 2 <k·180°+135°(k∈Z). 当 k=2n(n∈Z)时,n·360°+90°< 𝛼 2 <n·360°+135°,n∈Z,其终边在区域③内;当 k=2n+1(n∈Z) 时,n·360°+270°< 𝛼 2 <n·360°+315°,n∈Z,其终边在区域⑦内. ∴角 𝛼 2 的终边所在的区域为③⑦. 2.终边在直线 y=-x 上的角 α 的集合是( ) A.{α|α=n·360°+135°,n∈Z} B.{α|α=n·360°-45°,n∈Z} C.{α|α=n·180°+225°,n∈Z} D.{α|α=n·180°-45°,n∈Z} 答案:D
解析：角a的取值集合为{ada=k360°+135°，k∈Z)U{aa=k360°.45°，k∈ Z={ada=(2k+1)180°-45°，k∈ZU{aa=2k180°.45°，k∈Z={da=n180°.45°，n∈Z,故选D. 3.若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合 {adk180°+45°≤cck180°+90°，k∈Z}中的角a的终边在图中的位置（阴影部分）是() 答案C 解析：当k为偶数时，设k=2m(n∈Z),则有n360°+45°≤n-360°+90°，角a的终边在介于 45°~90°角终边所在的区域内（包含边界），当k为奇数时，设k=2n+1(n∈Z),则有 n:360°+225°≤0≤m360°+270(n∈Z),角a的终边在介于225°~270°角终边所在的区域内（包含 边界).故选C 4.若角a满足180°<a<360°，角5a与角a有相同的始边，且有相同的终边，则角 a=. 答案：270° 解析：因为角5a与角a的始边、终边均相同，所以5a=a+k360°，k∈Z 所以a=k90°，k∈Z 又180°<a<360°，所以a=270° 5.己知角α的终边在图中阴影表示的范围内（不包括边界），则角α的集合是_ 答案：{adk180°+45°<a<k180°+135°，k∈Z 解析：由题图可知，当角的终边在第一、第三象限角平分线上时，设角为1，则1=k180°+45°，k ∈Z;当角的终边在第二、第四象限角平分线上时，设角为，则2=k180°+135°，k∈Z 故角a的范围为{adk180°+45°<a<k180°+135°，k∈Z. 6.如图所示，分别写出终边落在阴影部分（包含边界）的角α的集合 ↑y 45 459 30 (1) (2) 解(1)因为与45°角的终边相同的角为45°+k360°，k∈Z,与-180°+30°=-150°角终边相同的角 为-150°+k360°，k∈Z,所以题图中阴影部分的角a的集合可表示为{ 150°+k360°≤0≤45°+k360°，k∈Z (2)题图中角a的集合可表示为{a45°+k360°≤0≤300°+k360°，k∈Z: 挑战创新
解析:角 α 的取值集合为{α|α=k·360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k·360°-45°,k∈ Z}={α|α=(2k+1)·180°-45°,k∈Z}∪{α|α=2k·180°-45°,k∈Z}={α|α=n·180°-45°,n∈Z},故选 D. 3.若角 α 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,则集合 {α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}中的角 α 的终边在图中的位置(阴影部分)是( ) 答案:C 解析:当 k 为偶数时,设 k=2n(n∈Z),则有 n·360°+45°≤α≤n·360°+90°,角 α 的终边在介于 45°~90°角终边所在的区域内(包含边界);当 k 为奇数时,设 k=2n+1(n∈Z),则有 n·360°+225°≤α≤n·360°+270°(n∈Z),角 α 的终边在介于 225°~270°角终边所在的区域内(包含 边界).故选 C. 4.若角 α 满足 180°<α<360°,角 5α 与角 α 有相同的始边,且有相同的终边,则角 α= . 答案:270° 解析:因为角 5α 与角 α 的始边、终边均相同,所以 5α=α+k·360°,k∈Z. 所以 α=k·90°,k∈Z. 又 180°<α<360°,所以 α=270°. 5.已知角 α 的终边在图中阴影表示的范围内(不包括边界),则角 α 的集合是 . 答案:{α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k∈Z} 解析:由题图可知,当角的终边在第一、第三象限角平分线上时,设角为 α1,则 α1=k·180°+45°,k ∈Z;当角的终边在第二、第四象限角平分线上时,设角为 α2,则 α2=k·180°+135°,k∈Z. 故角 α 的范围为{α|k·180°+45°<α<k·180°+135°,k∈Z}. 6.如图所示,分别写出终边落在阴影部分(包含边界)的角 α 的集合. (1) (2) 解:(1)因为与 45°角的终边相同的角为 45°+k·360°,k∈Z,与-180°+30°=-150°角终边相同的角 为-150°+k·360°,k∈Z,所以题图中阴影部分的角 α 的集合可表示为{α|- 150°+k·360°≤α≤45°+k·360°,k∈Z}. (2)题图中角 α 的集合可表示为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}. 挑战创新
在角的集合{ada=k90°+45°，k∈Z中， (1)终边不相同的角有几种？ (2)满足-360°<a<360°的角a有几个？ (3)写出其中是第三象限角的一般表示法 解(1)在给定的角的集合中，终边不相同的角有四种 (2)由-360<k90°+45<360°，得-2号 又k∈Z,故k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3. 所以满足-360°<a<360°的角a有8个 (3)其中是第三象限角的可表示为k360°+225°，k∈Z
在角的集合{α|α=k·90°+45°,k∈Z}中, (1)终边不相同的角有几种? (2)满足-360°<α<360°的角 α 有几个? (3)写出其中是第三象限角的一般表示法. 解:(1)在给定的角的集合中,终边不相同的角有四种. (2)由-360°<k·90°+45°<360°,得- 9 2 <k<7 2 . 又 k∈Z,故 k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3. 所以满足-360°<α<360°的角 α 有 8 个. (3)其中是第三象限角的可表示为 k·360°+225°,k∈Z