5.3诱导公式 第1课时 三角函数的诱导公式二~四 基础巩固 1.若sin-110°)=a,则tan70°等于( A高 D. -0 B./ 答案B 解析：.sin(-110)=-sin110°=-sin(180°.70)=-sin70°=a,.sin70°=-a. ∴.cos70°=1-(-a)2=V1-a2 .tan70°-sin70 os570=a 2.化简sin2(π+a)-cos(π+a)cos(-)+1的值为( A.1 B.2sin'a C.0 D.2 答案D 解析：原式=(-sina}2-(-cosa)cosa+1=sin2a+cos2a+1=2. 3.(多选题)下列化简正确的是( A.tan(π+l)=tanl B.sin(-a) =cos a tan(360°-a) C.sin(n-a) -=tan a cos(n+a) D cos(n-a)tan(- sin(2n-a) 答案：AB 解析：由诱导公式可得tan(π+1)=tanl,故A中化简正确： 。= sin(-a) =cosa,故B中化简正确； nm-@=ng-tana故C中化简不正确； cos(π+a) -cosa cos(n-a)tan(cosa(-tana) sin(2n-a) -sina 故D中化简不正确，故选AB. 4已知sn(e到=号则sm(俘d)的 A月 B c D. 答案：C 解析：sin(受-a-sinr-(c别-sin(ac-)=复 5.c0s1°+c0s2°+cos3°+.+c0s360°等于() A.0 B.2 C.-2 D.1 答案：A 解析：利用诱导公式：c0s(180°+a)=-cosa,可得 cos1°+c0s2°+cos3°+..+cos360°=(c0s1°+cos2°+cos3°+.+c0s180)+(cos181°+cos 182°+cos183°+..+c0s360°)=(cos1°+c0s2°+cos3°+..+c0s180°)-(cos1°+c0s2°+c0s 3°+..+c0s180)=0. 6已知cos(侣+9)=，则os(倍-0))
5.3 诱导公式 第 1 课时 三角函数的诱导公式二~四 基础巩固 1.若 sin(-110°)=a,则 tan 70°等于( ) A. 𝑎 √1-𝑎2 B. -𝑎 √1-𝑎2 C. 𝑎 √1+𝑎2 D. -𝑎 √1+𝑎2 答案:B 解析:∵sin(-110°)=-sin 110°=-sin(180°-70°)=-sin 70°=a,∴sin 70°=-a. ∴cos 70°=√1-(-𝑎) 2 = √1-𝑎 2, ∴tan 70°= sin70° cos70° = -𝑎 √1-𝑎2 . 2.化简 sin2 (π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1 的值为( ) A.1 B.2sin2α C.0 D.2 答案:D 解析:原式=(-sin α) 2 -(-cos α)cos α+1=sin2α+cos2α+1=2. 3.(多选题)下列化简正确的是( ) A.tan(π+1)=tan 1 B. sin(-𝛼) tan(360°-𝛼) =cos α C. sin(π-𝛼) cos(π+𝛼) =tan α D.cos(π-𝛼)tan(-π-𝛼) sin(2π-𝛼) =1 答案:AB 解析:由诱导公式可得 tan(π+1)=tan 1,故 A 中化简正确; sin(-𝛼) tan(360°-𝛼) = -sin𝛼 -tan𝛼 =cos α,故 B 中化简正确; sin(π-𝛼) cos(π+𝛼) = sin𝛼 -cos𝛼 =-tan α.故 C 中化简不正确; cos(π-𝛼)tan(-π-𝛼) sin(2π-𝛼) = -cos𝛼(-tan𝛼) -sin𝛼 =-1, 故 D 中化简不正确,故选 AB. 4.已知 sin(𝛼- π 4 ) = √3 2 ,则 sin( 5π 4 -𝛼)的值为( ) A.1 2 B.- 1 2 C.√3 2 D.- √3 2 答案:C 解析:sin( 5π 4 -𝛼)=sin[π- (𝛼- π 4 )]=sin(𝛼- π 4 ) = √3 2 . 5.cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 360°等于( ) A.0 B.2 C.-2 D.1 答案:A 解析:利用诱导公式:cos(180°+α)=-cos α,可得 cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 360°=(cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 180°)+(cos 181°+cos 182°+cos 183°+…+cos 360°)=(cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 180°)-(cos 1°+cos 2°+cos 3°+…+cos 180°)=0. 6.已知 cos( π 6 + 𝜃) = √3 3 ,则 cos( 5π 6 -𝜃)=( )
A.V3 B.-V3 D. 答案D 解析cos(g-0）-cor-(信+0-cos+0-9 7.化简os-aan(7m+ sin(n-a) 答案：1 解析：原式-costan(+@-cosatana=ina-l. sina sina sina 8若点P(-4,3)是角a终边上的一点，则osa-3mtaa-2m的值为 sin2(n-a) 答案号 解析由题意知sna是原式上o二品 sin2a sin2a sina3 9.c0s-5859 sn4959+sn-5709的值是 答案V2-2 解析：原式 c0s(360°+225°) C0s225° c0s(180°+45) sin(360°+135)-sin(210°+360) sin135.sin210°=sin(180.45-sin(180+30° -C0s45° sin45°+sin30°= 22 10.化简下列各式： (1sin(g罗)cos2 7π (2)sin(-960°)cos1470°-cos(-240°)sin(-210°). 解()原式=-sim(6m+》eo(π+君)sino=子 (2)原式=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360)+cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin60°cos 30°+cos60°sin30°=1. 1.已知)-os+5sin2mn∈Z cos2[(2n+1)m-x] (1)化简x: ②求0) 解(1x)-ost+sin2am--os3xsn2=sin2xn∈Z） cos2[(2n+1)m-x] cos2x 2)(1)知0g0）-sin2020-sin(672x+）sin9-snm(π+)-sin号=月 3 拓展提高 1.己知n为整数，化简加m+巴所得的结果是( cos(nn+a)' A.tan(na) B.-tan(na) C.tan a D.-tan a 答案C 解析：当n为偶数时，原式-sina-tand cosa 当n为奇数时，原式sng=tana故选C -cosa 2.(多选题)给出下列四个结论，其中结论正确的是( A.sin(π+a)=-sina成立的条件是角a是锐角 B.若cosm:a)n∈2Z,则cosa C若角a是三角形的一个内角，cosπ+a号则am(r-0-号
A.√3 B.-√3 C.√3 3 D.- √3 3 答案:D 解析:cos( 5π 6 -𝜃)=cos[π- ( π 6 + 𝜃)]=-cos( π 6 +θ)=- √3 3 . 7.化简cos(-𝛼)tan(7π+𝛼) sin(π-𝛼) = . 答案:1 解析:原式= cos𝛼tan(π+𝛼) sin𝛼 = cos𝛼tan𝛼 sin𝛼 = sin𝛼 sin𝛼 =1. 8.若点 P(-4,3)是角 α 终边上的一点,则 cos(𝛼-3π)tan(𝛼-2π) sin2(π-𝛼) 的值为 . 答案:- 5 3 解析:由题意知 sin α= 3 5 ,原式= (-cos𝛼)tan𝛼 sin2𝛼 =- sin𝛼 sin2𝛼 =- 1 sin𝛼 =- 5 3 . 9. cos(-585°) sin495°+sin(-570°)的值是 . 答案:√2-2 解析:原式= cos(360°+225°) sin(360°+135°)-sin(210°+360°) = cos225° sin135°-sin210° = cos(180°+45°) sin(180°-45°)-sin(180°+30°) = -cos45° sin45°+sin30° = - √2 2 √2 2 + 1 2 = √2-2. 10.化简下列各式: (1)sin(- 19π 3 )cos 7π 6 ; (2)sin(-960°)cos 1 470°-cos(-240°)sin(-210°). 解:(1)原式=-sin(6π + π 3 )cos(π + π 6 )=sinπ 3 cos π 6 = 3 4 . (2)原式=-sin(180°+60°+2×360°)cos(30°+4×360°)+cos(180°+60°)sin(180°+30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=1. 11.已知 f(x)= cos 2 (𝑛π+𝑥)sin 2 (𝑛π-𝑥) cos 2[(2𝑛+1)π-𝑥] (n∈Z). (1)化简 f(x); (2)求 f( 2 020π 3 ). 解:(1)f(x)= cos 2 (𝑛π+𝑥)sin 2 (𝑛π-𝑥) cos 2[(2𝑛+1)π-𝑥] = cos 2𝑥sin 2𝑥 cos 2𝑥 =sin2 x(n∈Z). (2)由(1)知 f( 2 020π 3 )=sin2 2 020π 3 =sin2 672π+ 4π 3 =sin2 4π 3 =sin2(π + π 3 )=sin2 π 3 = 3 4 . 拓展提高 1.已知 n 为整数,化简sin(𝑛π+𝛼) cos(𝑛π+𝛼) 所得的结果是( ) A.tan(nα) B.-tan(nα) C.tan α D.-tan α 答案:C 解析:当 n 为偶数时,原式= sin𝛼 cos𝛼 =tan α; 当 n 为奇数时,原式= -sin𝛼 -cos𝛼 =tan α.故选 C. 2.(多选题)给出下列四个结论,其中结论正确的是( ) A.sin(π+α)=-sin α 成立的条件是角 α 是锐角 B.若 cos(nπ-α)= 1 3 (n∈Z),则 cos α= 1 3 C.若角 α 是三角形的一个内角,cos(π+α)= 2 3 ,则 tan(π-α)= √5 2
D.若sina+cosa=l,则sin”a+cos”a=1 答案：CD 解析：对于A,由诱导公式二，知a∈R时，sin(π+a)=-sina,所以A中结论错误， 对于B,当n-2kk∈Z)时，c0sm-a)=c0s(-a=00sa此时cosa-号当n=2k+1(k∈Z☑)时，cosm- @=c0s2k+1m-a=cos(-a)=c0sa此时c0sa=所以B中结论错误； 对于C因为cos红+a)-号所以cos以-导又角a是三角形的一个内角，所以sina5所以an(: ④ma一器-浮所以C中结论正痛 cosa 对于D,将等式sina+cosa=1两边平方，得sin acos a=0,所以sina=0或cosa=0,若sina=0, 则cosa=l,此时sin”a+cos"a=l,若cosa=0,则sina=l,此时sin"a+cos”a=l,故sin"a+cos"a=l, 所以D中结论正确.故选CD 3.若sin(-d)-logs子且a∈(2,0)，则cos(π+o)的值为 B C D.以上都不对 答案B 解析.：sin--sina=-logs-log222=导a∈（7,0）月 :.cod+a)-.cos a--VI-sina- 4若cosr+a)-3a2，元则sin(a-2n 答案号 解析：由os红+)=2得cosa之 又要a2元故sina:2m)-sina=V-coa-1-偵-要 5已知a=tam(召)b=cos2孕c=sin(）,则a,Ae的大小关系是 答案：b>a>c 解析a-tan及-tan- 63 b-eos(6m)-cos=号 c-要-n-9 故b>a>c 6已知09o则(》侣)的值为 答案-2 解析国为（岩）=in(g）sin(2π+》sin话=克 侣）得)1-(》2=sm()-2=22=是 所以（岩）侣》2 7.在△4BC中，若sin(2r-A)=-V2sin(π-B),V3cosA=-V2cos(π-B),求△4BC的三个内角. 解：由条件得sinA-V2sin B,① V3cosA=V2cos B,② ①2+②2，得2cSA=1,则c0sA=±号
D.若 sin α+cos α=1,则 sinn α+cosn α=1 答案:CD 解析:对于 A,由诱导公式二,知 α∈R 时,sin(π+α)=-sin α,所以 A 中结论错误; 对于 B,当 n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此时 cos α= 1 3 ,当 n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ- α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos α,此时 cos α=- 1 3 ,所以 B 中结论错误; 对于 C,因为 cos(π+α)= 2 3 ,所以 cos α=- 2 3 ,又角 α 是三角形的一个内角,所以 sin α= √5 3 ,所以 tan(π- α)=-tan α=- sin𝛼 cos𝛼 = √5 2 ,所以 C 中结论正确; 对于 D,将等式 sin α+cos α=1 两边平方,得 sin αcos α=0,所以 sin α=0 或 cos α=0,若 sin α=0, 则 cos α=1,此时 sinn α+cosn α=1,若 cos α=0,则 sin α=1,此时 sinn α+cosn α=1,故 sinn α+cosn α=1, 所以 D 中结论正确.故选 CD. 3.若 sin(π-α)=log8 1 4 ,且 α∈(- π 2 ,0),则 cos(π+α)的值为( ) A.√5 3 B.- √5 3 C.±√5 3 D.以上都不对 答案:B 解析:∵sin(π-α)=sin α=log8 1 4 =log2 32 -2=- 2 3 ,α∈(- π 2 ,0), ∴cos(π+α)=-cos α=-√1-sin 2𝛼=-√1- 4 9 =- √5 3 . 4.若 cos(π+α)=- 1 2 , 3π 2 a>c 解析:a=-tan7π 6 =-tanπ 6 =- √3 3 , b=cos(6π- π 4 )=cos π 4 = √2 2 , c=-sin33π 4 =-sinπ 4 =- √2 2 , 故 b>a>c. 6.已知 f(x)={ sin π𝑥,𝑥 0, 则 f(- 11 6 )+f( 11 6 )的值为 . 答案:-2 解析:因为 f(- 11 6 )=sin(- 11π 6 )=sin(-2π + π 6 )=sinπ 6 = 1 2 , f( 11 6 )=f( 5 6 )-1=f(- 1 6 )-2=sin(- π 6 )-2=- 1 2 -2=- 5 2 , 所以 f(- 11 6 )+f( 11 6 )=-2. 7.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=-√2sin(π-B),√3cos A=-√2cos(π-B),求△ABC 的三个内角. 解:由条件得 sin A=√2sin B,① √3cos A=√2cos B,② ①2+②2 ,得 2cos2A=1,则 cos A=± √2 2
又A∈(0，，所以A号或要 当A时，cosB=-0, 2 所以Be侵，， 此时A,B均为钝角，不符合题意，舍去 故A导osB号 所以B号 所以C受 综上所述，A平B云C侣 挑战剑新 已知角a的终边经过单位圆上的点P(信) (1)求sina的值； (2)求9s2m:g,am+的值 `sin(π+a)cos(3π-a) 解(1)点P在单位圆上， “由正弦函数的定义得sinQ=是 2原式二二==点 由余弦函数的定义得c0sa号故原式是
又 A∈(0,π),所以 A=π 4 或 3π 4 . 当 A=3π 4 时,cos B=- √3 2 <0, 所以 B∈( π 2 ,π), 此时 A,B 均为钝角,不符合题意,舍去. 故 A=π 4 ,cos B=√3 2 , 所以 B=π 6 , 所以 C=7π 12. 综上所述,A=π 4 ,B=π 6 ,C=7π 12. 挑战创新 已知角 α 的终边经过单位圆上的点 P( 4 5 ,- 3 5 ). (1)求 sin α 的值; (2)求 cos(2π-𝛼) sin(π+𝛼) · tan(π+𝛼) cos(3π-𝛼)的值. 解:(1)∵点 P 在单位圆上, ∴由正弦函数的定义得 sin α=- 3 5 . (2)原式= cos𝛼 -sin𝛼 · tan𝛼 -cos𝛼 = sin𝛼 sin𝛼cos𝛼 = 1 cos𝛼 . 由余弦函数的定义得 cos α= 4 5 ,故原式= 5 4