第2课时 对数函数的图象与性质 基础巩固 1.如果log1xy>1, 2.设a=log36,b=log510,c=log714,则() A.c>b-a B.b>c>a C.a-c-b D.a>b>c 答案D 解析：a=l0g36=l0g32+1,b=l0g510=l0g52+1,c=log714=l0g72+1,在同一平面直角坐标系内分别 画出y=log3x,Jy=logsx,,Jy=logx的图象 -y=log,x y=log x =log x 当x=2时，由图易知1og32>log52>log72, ∴.a>b>c. 3.己知函数x)=lg(-x2+3x-2),则函数2x-1)的定义域为( A.(-o,1)U(3+) B.(1,3) C.(1,2) D.(1引 答案D 解析：由题可知-x2+3x-2>0, 即x2.3x+2<0,解得1<x<2 故函数x)的定义域为{x1<x<2. 对于函数y=j2x-1),有1<2x-1<2, 解得1K2 国此函数=2x-l)的定义城为(1，》故选D 4.如果函数fx)=logalx-2在区间(2，+o)内单调递减，那么x)在区间(0,2)内() A.单调递增且无最大值 B.单调递减且无最小值 C.单调递增且有最大值 D.单调递减且有最小值 答案：A 解析：因为函数x)=logx-2在区间(2，+o)内单调递减，并且y=k-2在区间(2，+o)内单调递增， 所以0<a<1,故x)在区间(0,2)内单调递增，且无最大值故选A 5已知a为非零常数，函数x)-ale-1<r<).且满足g0.5)=-l,则g2)) A.0 B.1 C.2 D.3 答案B 解析由--ale授-ale-
第 2 课时 对数函数的图象与性质 基础巩固 1.如果 log1 2 xy>1. 2.设 a=log36,b=log510,c=log714,则( ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 答案:D 解析:a=log36=log32+1,b=log510=log52+1,c=log714=log72+1,在同一平面直角坐标系内分别 画出 y=log3x,y=log5x,y=log7x 的图象, 当 x=2 时,由图易知 log32>log52>log72, ∴a>b>c. 3.已知函数 f(x)=lg(-x 2+3x-2),则函数 f(2x-1)的定义域为( ) A.(-∞,1)∪ 3 2 ,+∞ B.(1,3) C.(1,2) D. 1,3 2 答案:D 解析:由题可知-x 2+3x-2>0, 即 x 2 -3x+2<0,解得 1<x<2, 故函数 f(x)的定义域为{x|1<x<2}. 对于函数 y=f(2x-1),有 1<2x-1<2, 解得 1<x<3 2 . 因此函数 y=f(2x-1)的定义域为 1,3 2 .故选 D. 4.如果函数 f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)内单调递减,那么 f(x)在区间(0,2)内( ) A.单调递增且无最大值 B.单调递减且无最小值 C.单调递增且有最大值 D.单调递减且有最小值 答案:A 解析:因为函数 f(x)=loga|x-2|在区间(2,+∞)内单调递减,并且 y=|x-2|在区间(2,+∞)内单调递增, 所以 0<a<1,故 f(x)在区间(0,2)内单调递增,且无最大值.故选 A. 5.已知 a 为非零常数,函数 f(x)=alg 1-𝑥 1+𝑥 (-1<x<1),且满足 f(lg 0.5)=-1,则 f(lg 2)=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析:由 f(-x)=alg1+𝑥 1-𝑥 =-alg 1-𝑥 1+𝑥 =-f(x)
且-10,且a1),若函数图象过点(11,2)，则5)的值为 答案：1 解析：，函数x)=log(x-2)的图象过点(11,2) ∴.l0g9=2,∴a=3(负值舍去)， ∴x)=log3(x-2)】 ∴5)=log3(5-2)=log33=1 7.不等式log(x+1)>log3(3-x)的解集是 答案：{x-10, 解析：原不等式等价于3-x>0, x+10,即月≤2， 4-2a+3a>0, 解得-40,且a时1)的单调性. 解：由3x2-2x-1>0,得函数的定义域为 {x>1,或x1时， 若x>1,则u=3x2-2x-1单调递增， .∴x)=log(3x2-2x-1)单调递增； 若x1,则x)=log(3x2-2x-1)单调递减， 若x0→3+1>1→log2(3+1)>log21=0. 故选A
且-10,且 a≠1),若函数图象过点(11,2),则 f(5)的值为 . 答案:1 解析:∵函数 f(x)=loga(x-2)的图象过点(11,2), ∴loga9=2,∴a=3(负值舍去), ∴f(x)=log3(x-2), ∴f(5)=log3(5-2)=log33=1. 7.不等式 log3 4 (x+1)>log3 4 (3-x)的解集是 . 答案:{x|-1 0, 3-𝑥 > 0, 𝑥 + 1 0,即{ 𝑎 2 ≤ 2, 4-2𝑎 + 3𝑎 > 0, 解得-40,且 a≠1)的单调性. 解:由 3x 2 -2x-1>0,得函数的定义域为 {𝑥 |𝑥 > 1,或𝑥 1 时, 若 x>1,则 u=3x 2 -2x-1 单调递增, ∴f(x)=loga(3x 2 -2x-1)单调递增; 若 x1,则 f(x)=loga(3x 2 -2x-1)单调递减; 若 x0⇒3 x+1>1⇒log2(3x+1)>log21=0. 故选 A
2.己知函数x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，+o)内单调递增.若实数a满足 1og2a)+flog1a)21),则a的取值范围是() A.[1,2] B(o引 c2 D.(0,2] 答案：C 解析：：函数x)是定义在R上的偶函数， ..floga)=f-logza)=flog2a), ∴.原不等式可化为1og2a)1) 又x)在区间[0，+o)内单调递增， ∴.log2als1 解得头a2, 则a的取值范围是[2] 3.已知函数x)=ln(V1+9x-3x)+1,则lg2)+/(g)等于() A.-1 B.0 C.1 D.2 答案D 解析：易知函数x)的定义域为Rx)+f-x)=ln(V1+9x2.3x)+ln(V1+9x2+3x)+2=ln(1+9x2. 9x)+2=ln1+2=2,所以1g2)+/(g=lg2)+-lg2)=2 4函数)=log0与g)=( ）+log0.50.5在同一直角坐标系下的图象大致是图中的( -2-1123x 123支 42 B y 3 答案B 解析九x)-log的定义城为-l,+om,画数)-log本-log(+l)为定义城上的增函数且 图象过点(0,0)，排除选项Cg)-()+l0gs05-)广+1的定义域为R为减画数，且图象过点 (0,2),排除选项A,D.故选B 5.若函数fx)=d+log(x+1)在区间0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值 为 答案 解析：当a>1时，y=d与y=log(x+1)在区间[0,1]上单调递增， ∴jx)max=a+loga2,x)min=d°+loga1=l, ∴.a+loga2+1=a, ∴log2=-1,a舍去)， 当0<a<1时， y=ad与y=loga(x+1)在区间[0,1]上单调递减
2.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1 2 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( ) A.[1,2] B.(0, 1 2 ] C.[ 1 2 ,2] D.(0,2] 答案:C 解析:∵函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(log1 2 a)=f(-log2a)=f(log2a), ∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1). 又 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增, ∴|log2a|≤1, 解得1 2 ≤a≤2, 则 a 的取值范围是 1 2 ,2 . 3.已知函数 f(x)=ln(√1 + 9𝑥 2-3x)+1,则 f(lg 2)+f(lg 1 2 )等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案:D 解析:易知函数 f(x)的定义域为 R,f(x)+f(-x)=ln(√1 + 9𝑥 2-3x)+ln(√1 + 9𝑥 2+3x)+2=ln(1+9x 2 - 9x 2 )+2=ln 1+2=2,所以 f(lg 2)+f(lg 1 2 )=f(lg 2)+f(-lg 2)=2. 4.函数 f(x)=log0.5 1 𝑥+1与 g(x)=( 1 2 ) 𝑥 +log0.50.5 在同一直角坐标系下的图象大致是图中的( ) 答案:B 解析:f(x)=log0.5 1 𝑥+1的定义域为(-1,+∞),函数 f(x)=log0.5 1 𝑥+1 =log2(x+1)为定义域上的增函数且 图象过点(0,0),排除选项 C;g(x)=( 1 2 ) 𝑥 +log0.50.5=( 1 2 ) 𝑥 +1 的定义域为 R,为减函数,且图象过点 (0,2),排除选项 A,D.故选 B. 5.若函数 f(x)=ax+loga(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值 为 . 答案: 1 2 解析:当 a>1 时,y=ax与 y=loga(x+1)在区间[0,1]上单调递增, ∴f(x)max=a+loga2,f(x)min=a0+loga1=1, ∴a+loga2+1=a, ∴loga2=-1,a= 1 2 (舍去). 当 0<a<1 时, y=ax与 y=loga(x+1)在区间[0,1]上单调递减
.∴jx)max=d°+loga(0+l)=l,fx)min=a+loga2, ∴.a+loga2+1=a, ∴a克 综上所述，a- 6.已知函数y=log2(ax-1)在区间(-2，-1)内单调递减，则a的取值范围是 答案：a-l 解析：若函数y=log2(ax-1)在区间(-2，-1)内单调递减，则a0在区间(-2，-1)内恒成立， 即a0,且a味1)，求a的取值范围. 解：由log21得log分loga 当a>1时，有a<经此时无解. 当0<a<1时，有a,从而a<l ∴a的取值范国是（侵，1） 挑战创新 己知函数x)=log2(4+1)+a(k∈R)是偶函数 (1)求k的值： (2)解不等式x)s1og号 解(1)由题意可知几-x)=x,则1og（是+1）-k=l0g2(4+1)+k,化简得到log录=2kc,即-2x-2 恒成立，解得k=1 (2)由(1)知x1og即为1og2(4+1)-☒0g2即1og(4+1)sr+log=og(2),得到 4+1s2三，即(2y-号2+1s0, 解得22'2，则-11， 所以不等式的解集为{x-1s≤1}
∴f(x)max=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=a+loga2, ∴a+loga2+1=a, ∴a= 1 2 . 综上所述,a= 1 2 . 6.已知函数 y=log2(ax-1)在区间(-2,-1)内单调递减,则 a 的取值范围是 . 答案:a≤-1 解析:若函数 y=log2(ax-1)在区间(-2,-1)内单调递减,则 a0 在区间(-2,-1)内恒成立, 即 a1(a>0,且 a≠1),求 a 的取值范围. 解:由 loga 1 2 >1 得 loga 1 2 >logaa. 当 a>1 时,有 a<1 2 ,此时无解. 当 0<a<1 时,有 1 2 <a,从而1 2 <a<1. ∴a 的取值范围是( 1 2 ,1). 挑战创新 已知函数 f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)解不等式 f(x)≤log2 5 2 . 解:(1)由题意可知 f(-x)=f(x),则 log2 1 4 𝑥+1 -kx=log2(4x+1)+kx,化简得到 log2 1 4 𝑥=2kx,即-2x=2kx 恒成立,解得 k=-1. (2)由(1)知 f(x)≤log2 5 2 即为 log2(4x+1)-x≤log2 5 2 ,即 log2(4x+1)≤x+log2 5 2 =log2 2 x· 5 2 ,得到 4 x+1≤5 2 ·2x ,即(2x ) 2 - 5 2 ·2x+1≤0, 解得1 2 ≤2x ≤2,则-1≤x≤1, 所以不等式的解集为{x|-1≤x≤1}