第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 基础巩固 1.(多选题)下列计算正确的是( A器1 B1-2sm*75-号 Ccos骨snr号=号 D.c0s275°+c0s215°+c0s75c0s15°-号 答案：ACD 解析A中需器器an45”引 B中，1-2sin2750=0s150°-号 C中，os骨sin骨=-(cos2晋+sin2)cos晋sm骨-cos=昙 D中，cos275°+c0s215°+c0s75c0s15°=sinm215°+c0s215°+sin15°c0s15°-1+2sin30°-l+号=号 故ACD正确. 2.in65cos25°+cos659sin250-tan22.5等于( 2tan22.5 A月 B.1 C.3 D.2 答案B 解析：原式-sin90-tan222.5° 1-tan222.5 1 2tan22.5 2tan22.5°=an45-l. 5 3.已知角a是第三象限角，cosa=则sin2a等于( A贵 B号 C.120 169 D20 169 答案D 解析由角a是第三象限角，且c0sa=高得sina=号所以sin2a=2 2sin0sa=-2×(号)×( )=器故选D 4.函数fx)=2cos2x+2 sin xcosx的最小正周期是( A受 B.元 C.2π D.4元 答案B 解析：“x)=2cos2x+2 sin xcos=1+cos2x+sin2x=l+V2sin(2x+),∴x)的最小正周期是元 5.已知角a为锐角，且满足cos2a=sina,则角a等于() A.30°或60° B.45° C.60° D.30° 答案D 解析：因为cos2a=1-2sina,所以由题意，知2sina+sinc-1=0,即(sina+1)(2 sin a--1)=0. 又角a为锐角，所以sina-2所以a=30°，故选D, 6.若2±V3是方程x2-5xsin0+1=0的两个根，则cos20等于」 答案云 解析：由题意得5sin0=4,即sin6-号
第 3 课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 基础巩固 1.(多选题)下列计算正确的是( ) A. 2tan22.5° 1-tan222.5° =1 B.1-2sin275°= √3 2 C.cos4π 8 -sin4π 8 = √2 2 D.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°= 5 4 答案:ACD 解析:A 中, 2tan22.5° 1-tan222.5° =tan 45°=1; B 中,1-2sin275°=cos 150°=- √3 2 ; C 中,cos4π 8 -sin4π 8 = (cos 2 π 8 + sin 2 π 8 ) cos2π 8 -sin2π 8 =cos π 4 = √2 2 ; D 中,cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+ 1 2 sin 30°=1+ 1 4 = 5 4 . 故 ACD 正确. 2. sin65°cos25°+cos65°sin25°-tan 222.5° 2tan22.5° 等于( ) A.1 2 B.1 C.√3 D.2 答案:B 解析:原式= sin90°-tan 222.5° 2tan22.5° = 1-tan 222.5° 2tan22.5° = 1 tan45° =1. 3.已知角 α 是第三象限角,cos α=- 5 13,则 sin 2α 等于( ) A.- 12 13 B.12 13 C.- 120 169 D.120 169 答案:D 解析:由角 α 是第三象限角,且 cos α=- 5 13,得 sin α=- 12 13,所以 sin 2α=2sin αcos α=2×(- 12 13) × (- 5 13) = 120 169.故选 D. 4.函数 f(x)=2cos2 x+2sin xcos x 的最小正周期是( ) A.π 2 B.π C.2π D.4π 答案:B 解析:∵f(x)=2cos2 x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x=1+√2sin(2𝑥 + π 4 ),∴f(x)的最小正周期是 π. 5.已知角 α 为锐角,且满足 cos 2α=sin α,则角 α 等于( ) A.30°或 60° B.45° C.60° D.30° 答案:D 解析:因为 cos 2α=1-2sin2α,所以由题意,知 2sin2α+sin α-1=0,即(sin α+1)(2sin α-1)=0. 又角 α 为锐角,所以 sin α= 1 2 ,所以 α=30°.故选 D. 6.若 2±√3是方程 x 2 -5xsin θ+1=0 的两个根,则 cos 2θ 等于 . 答案:- 7 25 解析:由题意得 5sin θ=4,即 sin θ= 4 5
所以cos20-1-2sin20=1-2×26-.7 2525 7.sin6°sin42°sin66°sin78° 答案品 解析：原式=sin6°cos48°cos24°cos12°= sin6cos6°cos12°cos24°cos48° sin96 C0s6° 1 c0s69 16c0s6° 16c0s60= 16 8若共二-2020，则 s2a +tan 2a= 答案2020 解析atan2a 0s2a+n2& 1 =1+sin2a =(cosa+sina)2 cosa+sina cos2a cos2a cos2a-sin2a cosa-sina 1+anc=2020, 1-tang 9已知角a是第一象限角，且cosa号求2 cosl2a里的值 sin(a+ 解：c0sa号且角a是第一象限角，∴sima号 ..cos2a-cosa-sina-7 5 sin 2a-2sin acosa4 25 原式-1+Zcos2acos7+sin2asin cosa ±osn2=片 cosa 拓展提高 1已知等稷三角形底角的正弦值为号则顶角的正弦值是 A B25 9 C. D. 答案：A 解析：设底角为0，则0e(0,),顶角为-20 :sn0-5∴c0s0=1-sim0=号 “snx:20-sn20-2snts0-2x号x号=9 9 2.函数x)-c0s2x+6cos(侵-x)的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 答案B 解析由题意可知=1-2sinx+6sinx=2(sinx)°+号又sinx∈1，l,所以当sinx=l 时几x)取得最大值，且最大值为5 3.(多选题)已知函数x)之os xsin(x+),则下列结论错误的是( ) A几x)既是奇函数又是周期函数 B)的图象关于直线x亚对称 Cx)的最大值为1 Dx)在区间0，用上单调递减 答案：ACD 解析x)-cossin(x+)=inc0sx+cos3x京in2x+1+cos2x)-in(2x+号）)+得所 以x)不是奇函数，x)的最大值不为1x)在区问0，习上不是单调函数，所以选项A,C,D中结
所以 cos 2θ=1-2sin2θ=1-2×16 25=- 7 25. 7.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°= . 答案: 1 16 解析:原式=sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°= sin6°cos6°cos12°cos24°cos48° cos6° = sin96° 16cos6° = cos6° 16cos6° = 1 16. 8.若 1+tan𝛼 1-tan𝛼 =2 020,则 1 cos2𝛼 +tan 2α= . 答案:2 020 解析: 1 cos2𝛼 +tan 2α= 1 cos2𝛼 + sin2𝛼 cos2𝛼 = 1+sin2𝛼 cos2𝛼 = (cos𝛼+sin𝛼) 2 cos 2𝛼-sin2𝛼 = cos𝛼+sin𝛼 cos𝛼-sin𝛼 = 1+tan𝛼 1-tan𝛼 =2 020. 9.已知角 α 是第一象限角,且 cos α= 3 5 ,求 1+√2cos(2𝛼- π 4 ) sin(𝛼+ π 2 ) 的值. 解:∵cos α= 3 5 ,且角 α 是第一象限角,∴sin α= 4 5 . ∴cos 2α=cos2α-sin2α=- 7 25, sin 2α=2sin αcos α= 24 25, ∴原式= 1+√2(cos2𝛼cos π 4 +sin2𝛼sinπ 4 ) cos𝛼 = 1+cos2𝛼+sin2𝛼 cos𝛼 = 14 5 . 拓展提高 1.已知等腰三角形底角的正弦值为√5 3 ,则顶角的正弦值是 ( ) A.4√5 9 B.2√5 9 C.- 4√5 9 D.- 2√5 9 答案:A 解析:设底角为 θ,则 θ∈(0, π 2 ),顶角为 π-2θ. ∵sin θ= √5 3 ,∴cos θ=√1-sin 2𝜃 = 2 3 . ∴sin(π-2θ)=sin 2θ=2sin θcos θ=2×√5 3 × 2 3 = 4√5 9 . 2.函数 f(x)=cos 2x+6cos( π 2 -𝑥)的最大值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案:B 解析:由题意可知 f(x)=1-2sin2 x+6sin x=-2 (sin𝑥- 3 2 ) 2 + 11 2 ,又 sin x∈[-1,1],所以当 sin x=1 时,f(x)取得最大值,且最大值为 5. 3.(多选题)已知函数 f(x)= 1 2 cos xsin x+ π 3 ,则下列结论错误的是( ) A.f(x)既是奇函数又是周期函数 B.f(x)的图象关于直线 x= π 12对称 C.f(x)的最大值为 1 D.f(x)在区间[0, π 4 ]上单调递减 答案:ACD 解析:f(x)= 1 2 cos xsin(𝑥 + π 3 ) = 1 4 sin xcos x+√3 4 cos2x= 1 8 sin 2x+√3 8 (1+cos 2x)= 1 4 sin 2x+ π 3 + √3 8 ,所 以 f(x)不是奇函数,f(x)的最大值不为 1,f(x)在区间[0, π 4 ]上不是单调函数,所以选项 A,C,D 中结
论错误，令2x+号+号k∈乙，得x受+受k∈Z,当k0时，x品，故)的图象关于直线x对 称 故选ACD. 4已知tan号3，则cos0+sin2 1+cos0+sine 答案3 解析原式-2im孕+2sn号os9 2c02+2sin cos 2sing(singtcose) 2oca号+ntan叹-3 5已知tanx=2,则tan[2(x)的值为 答案 辉折（引-离器古 --C0s2x_1 a- 2tanx 6.函数fx)=cosx-sin2x-cos2x+2的最大值是 答案2 解析由题意可知)=c0sx1-cos2-(2cos2xl)+-os2x+c0sx+子-(0sxr》2+2 当c0sx=时，x)取得最大值，且最大值为2 挑战剑新 化简L+sina+cosa)(sin号-cos习 V2+2cosa π<a<2π) 解原式-2os9+2sin9os(snco 4cos2g 2cos乳cos号+sin)(sin号-cos别 2cos号 cos号乳sin2号cos2) cos别 -cos号osa cos 因为<a<2m,所以<号元 所以c0s号<0，所以原式=c0sa
论错误;令 2x+ π 3 =kπ+ π 2 ,k∈Z,得 x= 𝑘π 2 + π 12,k∈Z,当 k=0 时,x= π 12,故 f(x)的图象关于直线 x= π 12对 称. 故选 ACD. 4.已知 tan𝜃 2 =3,则 1-cos𝜃+sin𝜃 1+cos𝜃+sin𝜃 = . 答案:3 解析:原式= 2sin 2𝜃 2 +2sin𝜃 2 cos 𝜃 2 2cos 2𝜃 2 +2sin𝜃 2 cos 𝜃 2 = 2sin𝜃 2 (sin𝜃 2 +cos 𝜃 2 ) 2cos𝜃 2 (cos 𝜃 2 +sin𝜃 2 ) =tan𝜃 2 =3. 5.已知 tan x=2,则 tan[2 (𝑥- π 4 )]的值为 . 答案: 3 4 解析:tan[2 (𝑥- π 4 )]=tan(2𝑥- π 2 ) = sin(2𝑥- π 2 ) cos(2𝑥- π 2 ) = -cos2𝑥 sin2𝑥 =- 1 tan2𝑥 =- 1-tan 2𝑥 2tan𝑥 = 3 4 . 6.函数 f(x)=cos x-sin2 x-cos 2x+7 4的最大值是 . 答案:2 解析:由题意可知,f(x)=cos x-(1-cos2x)-(2cos2x-1)+ 7 4 =-cos2x+cos x+7 4 =- cos x- 1 2 2+2. 当 cos x= 1 2时,f(x)取得最大值,且最大值为 2. 挑战创新 化简: (1+sin𝛼+cos𝛼)(sin𝛼 2 -cos 𝛼 2 ) √2+2cos𝛼 (π<α<2π). 解:原式= (2cos 2𝛼 2 +2sin𝛼 2 cos 𝛼 2 )(sin𝛼 2 -cos 𝛼 2 ) √4cos 2𝛼 2 = 2cos𝛼 2 (cos 𝛼 2 +sin𝛼 2 )(sin𝛼 2 -cos 𝛼 2 ) 2|cos 𝛼 2 | = cos 𝛼 2 (sin 2𝛼 2 -cos 2𝛼 2 ) |cos 𝛼 2 | = -cos 𝛼 2 cos𝛼 |cos 𝛼 2 | . 因为 π<α<2π,所以π 2 < 𝛼 2 <π, 所以 cos 𝛼 2 <0,所以原式=cos α