第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 基础巩固 1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他已经存了60元.计划从现在起以后每个月 节省30元，直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元，则根据以上情景，得到的不等式 是(） A.30x-60≥400 B.30x+60≥400 C.30x-60≤400 D.30x+40≤400 答案B 解析：x月后他至少有400元，可表示成30x+60≥400， 2.已知a>b,c>d,且c,d不为0，那么下列不等式一定成立的是() A.ad>bc B.ac>bd C.a+c>b+d D.a-c>b-d 答案：C 解析：由a>b,c>d得a+c>b+d,故选C 3.若a>b>0,cb Ba9 Dase 答案D 解析是-台=，国为cd0,而a-hc的符号不能确定，所以选项AB不一定成立号-= 国为c>0,又a>b0, 所以-ac>-hd>0,所以ac0,所以b B.ab 答案：AB 解析：日0,则a+bb>1,则下列不等式一定成立的有 A.a>b2 B.va-b>Va-√i C.a+b>2a2b Da+b+日 答案：ABD 解析a>b>1,则a2>b2,A中不等式成立； (a-b)2-(a-V万}-2(a-V) 因为a>b>1,所以Va>V历>0， 所以2v(√a-√5)>0，即(@-b)2>(a-V万)2 又Va-b>0,va-Vb>0,所以VQ-b>va-Vb,B中不等式成立； 取a=2,b3则a2+=8+2马<2b=12,C中不等式不成立 8
第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 基础巩固 1.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他已经存了 60 元.计划从现在起以后每个月 节省 30 元,直到他至少有 400 元.设 x 个月后他至少有 400 元,则根据以上情景,得到的不等式 是( ) A.30x-60≥400 B.30x+60≥400 C.30x-60≤400 D.30x+40≤400 答案:B 解析:x 月后他至少有 400 元,可表示成 30x+60≥400. 2.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式一定成立的是( ) A.ad>bc B.ac>bd C.a+c>b+d D.a-c>b-d 答案:C 解析:由 a>b,c>d 得 a+c>b+d,故选 C. 3.若 a>b>0,c 𝑏 𝑑 B.𝑎 𝑐 𝑏 𝑐 D.𝑎 𝑑 0,而 ad-bc 的符号不能确定,所以选项 A,B 不一定成立; 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑐 = 𝑎𝑐-𝑏𝑑 𝑑𝑐 ,因为 c-d>0,又 a>b>0, 所以-ac>-bd>0,所以 ac0,所以𝑎𝑐-𝑏𝑑 𝑑𝑐 |b| B.ab3 答案:AB 解析:由 1 𝑎 0,则 a+bb>1,则下列不等式一定成立的有 ( ) A.a 2>b2 B.√𝑎-𝑏 > √𝑎 − √𝑏 C.a 3+b3>2a 2b D.a+1 𝑏 >b+1 𝑎 答案:ABD 解析:a>b>1,则 a 2>b2 ,A 中不等式成立; (√𝑎-𝑏) 2 -(√𝑎 − √𝑏) 2=2√𝑏(√𝑎 − √𝑏); 因为 a>b>1,所以√𝑎 > √𝑏>0, 所以 2√𝑏(√𝑎 − √𝑏)>0,即(√𝑎-𝑏) 2>(√𝑎 − √𝑏) 2 , 又√𝑎-𝑏>0,√𝑎 − √𝑏>0,所以√𝑎-𝑏 > √𝑎 − √𝑏,B 中不等式成立; 取 a=2,b=3 2 ,则 a 3+b3=8+ 27 8 <2a 2b=12,C 中不等式不成立;
a-b+(6)a-b+路a-b1+) 因为a>b>l,所以(a-b(1+)>0, 所以a+分b+后D中不等式成立.故选ABD 6.己知一辆汽车原来每天行驶xkm (1)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km,那么它8天的行程就超过2200km,该 问题用不等式可表示为 (2)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来少12km,那么它原来行驶8天的路程现在就得 花9天多的时间行驶，该问题用不等式可表示为】 答案：(1)8x+19列>2200(29品10 7.若1≤5，-1≤b2,求a-b的取值范围 解：-1≤b2,∴.-2≤-bs1. 又1≤a5,∴.-l≤a-b6. 拓展提高 1若-10后-台0，则bcad>0,国若bcad0后-月0，则ab>0 其中真命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解析.①ab0,∴品(ca0后-g0∴a6后)}0， 即bc-ad>0,∴.②中命题为真命题 ®：-g0,40, ab 又bc-ad>0, ∴ab>0, ∴③中命题为真命题 故选C 3.下列命题为真命题的是() A若a>b,昭>则a>0,h0 B.若a>b,b0,则哈1 C.若a>b,且a+c>b+d,则c>d
a-b+( 1 𝑏 - 1 𝑎 )=a-b+𝑎-𝑏 𝑎𝑏=(a-b)(1 + 1 𝑎𝑏), 因为 a>b>1,所以(a-b)(1 + 1 𝑎𝑏)>0, 所以 a+1 𝑏 >b+1 𝑎 .D 中不等式成立.故选 ABD. 6.已知一辆汽车原来每天行驶 x km. (1)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km,那么它 8 天的行程就超过 2 200 km,该 问题用不等式可表示为 ; (2)如果现在这辆汽车每天行驶的路程比原来少 12 km,那么它原来行驶 8 天的路程现在就得 花 9 天多的时间行驶,该问题用不等式可表示为 . 答案:(1)8(x+19)>2 200 (2)90,则 𝑐 𝑎 − 𝑑 𝑏 >0;②若 ab>0,𝑐 𝑎 − 𝑑 𝑏 >0,则 bc-ad>0;③若 bc-ad>0,𝑐 𝑎 − 𝑑 𝑏 >0,则 ab>0. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:C 解析:①∵ab0,∴ 1 𝑎𝑏·(bc-ad)0,𝑐 𝑎 − 𝑑 𝑏 >0,∴ab( 𝑐 𝑎 - 𝑑 𝑏 )>0, 即 bc-ad>0,∴②中命题为真命题; ③∵𝑐 𝑎 − 𝑑 𝑏 >0,∴ 𝑏𝑐-𝑎𝑑 𝑎𝑏 >0, 又 bc-ad>0, ∴ab>0, ∴③中命题为真命题. 故选 C. 3.下列命题为真命题的是( ) A.若 a>b,且 1 𝑎 > 1 𝑏 ,则 a>0,bb,b≠0,则 𝑎 𝑏 >1 C.若 a>b,且 a+c>b+d,则 c>d
D.若a>b,且ac>bd,则c>d 答案：A 解析对于A>铝0 又a>b,∴.b-a0,b0,b2+3，但1(-2)×3，但-1b>c,且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是 () A.ab-ac B.ac>bc C.albl>cbl D.a2>b2>c2 答案：A 解析：由a>b>c及a+b+c=0知a>0,c0,b>c,∴.ab>ac 5.己知a时2，b-1,M=2+b2,N=4-2b-5,则M与N的大小关系为 答案：M>W 解析：M-N=2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2,又a时2，b≠-1，∴.MN>0,即N 6.已知12<a<60,15<b<36,求2a-b的取值范围. 解：15<b<36,.-36<-b<-15.12<a<60,∴.24<2a<120..-12<2a-b<105. 7.某矿山车队有4辆载质量为10t的甲型卡车和7辆载质量为6t的乙型卡车，有9名驾驶 员.此车队每天至少要运360t矿石至治炼厂.己知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每 辆每天可往返8次.用不等式或不等式组表示上述问题中的不等关系 解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意， x+y≤9， x+y≤9， 10×6x+6×8y≥360， 5x+4y≥30 得{0≤x≤4， 即{0≤x≤4， 0≤y≤7， 0≤y≤7， x∈N,y∈N x∈N,y∈N 挑战创新 已知0<a+h受a-b学求2a和3a-的取值范围 解0<a+b<2'两式相加得<2a<5严 <a-b< 3 m+n=3, m= 设3a-号=ma+b)+na-b)=am+m)+bMm-m),则有 m-n=.1解得 3 n= 故3a-号=影a+b)a-b 由0a+b)号若<a-b)号 两式相加，得.亚<3a-2<n 6 3 9 故2兽g3a号<号 6361
D.若 a>b,且 ac>bd,则 c>d 答案:A 解析:对于 A,∵ 1 𝑎 > 1 𝑏 ,∴ 𝑏-𝑎 𝑎𝑏 >0. 又 a>b,∴b-a0,b0,b2+3,但 1(-2)×3,但-1b>c,且 a+b+c=0,则下列不等式中正确的是 ( ) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a 2>b2>c2 答案:A 解析:由 a>b>c 及 a+b+c=0 知 a>0,c0,b>c,∴ab>ac. 5.已知 a≠2,b≠-1,M=a2+b2 ,N=4a-2b-5,则 M 与 N 的大小关系为 . 答案:M>N 解析:∵M-N=a2+b2 -4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2 ,又 a≠2,b≠-1,∴M-N>0,即 M>N. 6.已知 12<a<60,15<b<36,求 2a-b 的取值范围. 解:∵15<b<36,∴-36<-b<-15.∵12<a<60,∴24<2a<120.∴-12<2a-b<105. 7.某矿山车队有 4 辆载质量为 10 t 的甲型卡车和 7 辆载质量为 6 t 的乙型卡车,有 9 名驾驶 员.此车队每天至少要运 360 t 矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返 6 次,乙型卡车每 辆每天可往返 8 次.用不等式或不等式组表示上述问题中的不等关系. 解:设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,由题意, 得 { 𝑥 + 𝑦 ≤ 9, 10 × 6𝑥 + 6 × 8𝑦 ≥ 360, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 7, 𝑥∈N,𝑦∈N, 即 { 𝑥 + 𝑦 ≤ 9, 5𝑥 + 4𝑦 ≥ 30, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 7, 𝑥∈N,𝑦∈N. 挑战创新 已知 0<a+b<π 2 ,- π 2 <a-b<π 3 ,求 2a 和 3a- 𝑏 3的取值范围. 解:{ 0 < 𝑎 + 𝑏 < π 2 , - π 2 < 𝑎-𝑏 < π 3 , 两式相加得- π 2 <2a<5π 6 . 设 3a- 𝑏 3 =m(a+b)+n(a-b)=a(m+n)+b(m-n),则有{ 𝑚 + 𝑛 = 3, 𝑚-𝑛 = - 1 3 , 解得{ 𝑚 = 4 3 , 𝑛 = 5 3 . 故 3a- 𝑏 3 = 4 3 (a+b)+ 5 3 (a-b). 由 0< 4 3 (a+b)< 2π 3 ,- 5π 6 < 5 3 (a-b)< 5π 9 , 两式相加,得- 5π 6 <3a- 𝑏 3 < 11π 9 . 故- π 2 <2a< 5π 6 ,- 5π 6 <3a- 𝑏 3 < 11π 9