数学建模建立函数模型解决实际问题 1.某城市现有人口总数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题 (1)写出x年后该城市的人口总数单位：万人)与年数（单位：年）的函数关系式， (2)计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万， (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120万（精确到1年） (1+1.2%)10≈1.127，(1+1.2%)5≈1.196，(1+1.2%)6≈1.21) 解：(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%):2年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2:3年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)3:.…x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%),x∈N (2)10年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7（万）. (3)令y=120,则有100×(1+1.2%)'-120，由题中数据可得15<x<16. 故大约16年后该城市人口总数将达到120万 2.某个体经营者把前六个月试销A,B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表 投资A种商品金额万元 3 4 6 获纯利润万元 0.65 1.39 1.85 1.84 1.40 投资B种商品金额万元 3 6 获纯利润万元 0.25 0.49 0.76 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使该经营 者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效 数字)。 解：①画散点图 以投入颜x为横坐标，所获纯利润y为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示 y y 2 1 0123456x0123456x 投资A种商品 投资B种商品 ②求函数模型 由散点图可以看出，投资A种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律可以用二次函数 模型进行拟合 设y=a(x-h)2+b,取(4,2)为最高点，则y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)的坐标代入，得0.65=a(1 4)2+2,解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2. 投资B种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行 拟合 +m,将点.025和4)的坐标代入得{25水m解得k=025所以) (m=0. ③检验模型， 画出函数y=-0.15(x4)2+2与函数y=0.25x的图象如图所示 0123456x0123456 由图可知，函数模型与实际数据基本吻合
数学建模 建立函数模型解决实际问题 1.某城市现有人口总数为 100 万,如果年自然增长率为 1.2%,试解答下面的问题: (1)写出 x 年后该城市的人口总数 y(单位:万人)与年数 x(单位:年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万); (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到 120 万(精确到 1 年). ((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196,(1+1.2%)16≈1.21) 解:(1)1 年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%);2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2 ;3 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)3 ;…;x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x ,x∈N * . (2)10 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万). (3)令 y=120,则有 100×(1+1.2%)x=120,由题中数据可得 15<x<16. 故大约 16 年后该城市人口总数将达到 120 万. 2.某个体经营者把前六个月试销 A,B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表: 投资 A 种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资 B 种商品金额/万元 1 2 3 4 5 6 获纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使该经营 者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效 数字). 解:①画散点图. 以投入额 x 为横坐标,所获纯利润 y 为纵坐标,在平面直角坐标系中画出散点图,如图所示. 投资 A 种商品 投资 B 种商品 ②求函数模型. 由散点图可以看出,投资 A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规律可以用二次函数 模型进行拟合. 设 y=a(x-h) 2+b,取(4,2)为最高点,则 y=a(x-4)2+2,再把点(1,0.65)的坐标代入,得 0.65=a(1- 4)2+2,解得 a=-0.15,所以 y=-0.15(x-4)2+2. 投资 B 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规律是线性的,可以用一次函数模型进行 拟合. 设 y=kx+m,将点(1,0.25)和(4,1)的坐标代入,得{ 0.25 = 𝑘 + 𝑚, 1 = 4𝑘 + 𝑚, 解得{ 𝑘 = 0.25, 𝑚 = 0, 所以 y=0.25x. ③检验模型. 画出函数 y=-0.15(x-4)2+2 与函数 y=0.25x 的图象如图所示. 由图可知,函数模型与实际数据基本吻合
故前六个月所获纯利润y关于月投入A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)+2;前 六个月所获纯利润y关于月投入B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x ④求解问题 设下个月投入A,B两种商品的资金分别为xA,B(单位：万元)，总利润为队单位：万元)， 则w=8+p=0.15k-4+2+0.25x2 所以W=-0.15(x碧)+0.15×(g)+2.6 当号3.2时，即取最大值，约为41，此时88故孩经营者下个月把12万元中的32万元 投入A种商品，8.8万元投入B种商品，可获得最大纯利润，最大纯利润约为4.1万元
故前六个月所获纯利润 y 关于月投入 A 种商品的金额 x 的函数关系式是 y=-0.15(x-4)2+2;前 六个月所获纯利润 y 关于月投入 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y=0.25x. ④求解问题. 设下个月投入 A,B 两种商品的资金分别为 xA,xB(单位:万元),总利润为 W(单位:万元), 则{ 𝑥A + 𝑥B = 12, 𝑊 = 𝑦A + 𝑦B = -0.15(𝑥A-4) 2 + 2 + 0.25𝑥B. 所以 W=-0.15(𝑥A- 19 6 ) 2 +0.15×( 19 6 ) 2 +2.6. 当 xA= 19 6 ≈3.2 时,W 取最大值,约为 4.1,此时 xB≈8.8.故该经营者下个月把 12 万元中的 3.2 万元 投入 A 种商品,8.8 万元投入 B 种商品,可获得最大纯利润,最大纯利润约为 4.1 万元