第三章排列、组合与二项式定理 3.1排列与组合 3.1.1基本计数原理 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课标定位 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题， 素养阐释 3.体会数学抽象的过程，加强数学建模和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、分类加法计数原理 (2)完成每一步各有几种方法？ 【问题思考】 提示第1个步骤有7种方法，第2个步骤有6种 1.一名游客从沈阳出发去长沙游玩，已知从沈阳到长沙 方法 每天有7个航班、6列火车 (3)该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？ (1)该游客从沈阳到长沙的方案可分几类？ 提示共有7×6=42种不同的方法. 提示两类，即乘飞机、坐火车 2.填空： (2)这几类方案中各有几种方法？ 分步乘法计数原理：完成一件事，如果需要分成n个步 提示第一类（乘飞机）有7种方法，第二类（坐火车）有 骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有2种不 6种方法. 同的方法…做第n步有m.种不同的方法，那么完成这件 (3)该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法？ 事共有N=m1×m2X…×m.种不同的方法. 提示共有7十6=13种不同的方法. 基本计数原理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2.填空： 合称为基本计数原理. 分类加法计数原理：完成一件事，如果有n类办法，且： 3.做一做：现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的 第一类办法中有1种不同的方法，第二类办法中有m2种 长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的搭配种数 不同的方法…第n类办法中有m.种不同的方法，那么完 为() 成这件事共有N=m1十m2十…十m.种不同的方法. A.7 B.12 C.64 D.81 3.做一做：每天从甲地到乙地的汽车有8班，火车有2 答案B 班，轮船有3班，某人从甲地到乙地，共有不同的方法种数为 解析要完成配套，分两步：第一步，选上衣，从4件上 ( 衣中任选一件，有4种不同的选法：第二步，选长裤，从3条 A.13 B.16 C.24 D.48 长裤中任选一条，有3种不同的选法. 答案A 依据分步乘法计数原理，共有4×3=12种不同的搭配 解析由分类加法计数原理可知，不同的方法种数为 【思考辨析】 8+2+3=13. 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 二、分步乘法计数原理 “√”，错误的画“X”. 【问题思考】 (1)在分类加法计数原理中，每一类方案中的每一种方 1.一名游客从沈阳出发去长沙游玩，但需在北京停留， 法都能完成这件事. (√) 已知从沈阳到北京每天有7个航班，从北京到长沙每天有6 (2)分步乘法计数原理中的每个步骤都能完成这件事. 列火车. (X) (1)该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤？ (3)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可 以相同. (X) 提示两个步骤，即先乘飞机到北京，再坐火车到长沙
第三章 排列、组合与二项式定理 3.1 排列与组合 3.1.1 基本计数原理 课标定位 素养阐释 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题. 3.体会数学抽象的过程,加强数学建模和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 一、分类加法计数原理 【问题思考】 1.一名游客从沈阳出发去长沙游玩,已知从沈阳到长沙 每天有7个航班、6列火车. (1)该游客从沈阳到长沙的方案可分几类? 提示 两类,即乘飞机、坐火车. (2)这几类方案中各有几种方法? 提示 第一类(乘飞机)有7种方法,第二类(坐火车)有 6种方法. (3)该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法? 提示 共有7+6=13种不同的方法. 2.填空: 分类加法计数原理:完成一件事,如果有n 类办法,且: 第一类办法中有m1 种不同的方法,第二类办法中有m2 种 不同的方法……第n类办法中有mn 种不同的方法,那么完 成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法. 3.做一做:每天从甲地到乙地的汽车有8班,火车有2 班,轮船有3班,某人从甲地到乙地,共有不同的方法种数为 ( ) A.13 B.16 C.24 D.48 答案 A 解析 由分类加法计数原理可知,不同的方法种数为 8+2+3=13. 二、分步乘法计数原理 【问题思考】 1.一名游客从沈阳出发去长沙游玩,但需在北京停留, 已知从沈阳到北京每天有7个航班,从北京到长沙每天有6 列火车. (1)该游客从沈阳到长沙需要经历几个步骤? 提示 两个步骤,即先乘飞机到北京,再坐火车到长沙. (2)完成每一步各有几种方法? 提示 第1 个步骤有 7 种方法,第 2 个步骤有 6种 方法. (3)该游客从沈阳到长沙共有多少种不同的方法? 提示 共有7×6=42种不同的方法. 2.填空: 分步乘法计数原理:完成一件事,如果需要分成n 个步 骤,且:做第一步有m1 种不同的方法,做第二步有m2 种不 同的方法……做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件 事共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法. 基本计数原理:分类加法计数原理和分步乘法计数原理 合称为基本计数原理. 3.做一做:现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的 长裤,若一件上衣与一条长裤配成一套,则不同的搭配种数 为( ) A.7 B.12 C.64 D.81 答案 B 解析 要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从4件上 衣中任选一件,有4种不同的选法;第二步,选长裤,从3条 长裤中任选一条,有3种不同的选法. 依据分步乘法计数原理,共有4×3=12种不同的搭配. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)在分类加法计数原理中,每一类方案中的每一种方 法都能完成这件事. (√) (2)分步乘法计数原理中的每个步骤都能完成这件事. (×) (3)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可 以相同. (×) 1
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 课堂·重难突破 分类加法计数原理的应用 答案B 探究一 解析当a=0时，b取任意实数，关于x的方程都有实 【例1】某校高三年级共有三个班，各班人数如下表所示 数解；当a≠0时，要使关于x的方程有实数解，需满足△≥ 班级 男生人数 女生人数 总人数 0,即4-4ab≥0，整理得ab≤1. 高三(1)班 30 20 50 故当a=-1时，b=-1,0,1,2,有4种可能； 当a=0时，b=-1,0,1,2,有4种可能： 高三(2)班 30 30 60 当a=1时，b=一1,0,1，有3种可能： 高三(3)班 35 20 55 当a=2时，b=-1,0,有2种可能 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不 故满足题意的有序数对(a,b)的个数为4十4十3十2=13. 同的选法？ (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 探究二分步乘法计数原理的应用 1名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？ 【例2】一种号码锁从左到右有4个拨号盘，每个拨号 解(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三 盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个 类不同的方案： 不同的号码？（各拨号盘上的数字允许重复） 第一类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的 解按从左到右的顺序拨号可以分四步： 选法； 第二类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的 第一步，有10种拨号方式： 选法： 第二步，有10种拨号方式： 第三类，从高三(3)班中选出1名学生，有55种不同的 第三步，有10种拨号方式： 选法 第四步，有10种拨号方式」 根据分类加法计数原理，从三个班中选1名学生任学生 根据分步乘法计数原理，共可以组成10×10×10× 会主席，共有50十60十55=165种不同的选法. 10=10000个不同的号码. (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 延伸探究 1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案： 在例2中若各拨号盘上的数字不允许重复，则这4个拨 第一类，从高三(1)班男生中选出1名学生，有30种不 号盘可以组成多少个不同的号码？ 同的选法： 解按从左到右的顺序拔号可以分四步： 第二类，从高三(2)班男生中选出1名学生，有30种不 第一步，有10种拨号方式，即m1=10: 同的选法； 第二步，去掉第一步拔的数字，有9种拨号方式，即 第三类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不 m2=9; 同的选法。 第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拔号方式，即 根据分类加法计数原理，从高三(1)班、(2)班男生中或 7m3=8: 从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有 第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即 30+30十20=80种不同的选法 m4=7. 反思感悟 利用分类加法计数原理计数时的解题流程： 根据分步乘法计数原理，共可以组成N=m1×m2X m3×m4=10X9×8X7=5040个不同的号码。 、分类 将完成这件事的方法分成若干类 反思感悟 利用分步乘法计数原理解决问题的特点和注意点： (1)能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下 、计数 求出每一类的方法数 特点： ①完成一件事需要经过个步骤，缺一不可； 结论 将每一类的方法数相加得出结果 ②完成每一步都有若干种方法： ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这 件事的所有方法数. 【变式训练1】满足a,b∈{-1,0,1,2}，且关于x的 (2)利用分步乘法计数原理应注意： 方程a.x2+2x十b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 ①要按事情发生的过程合理分步，即分步是有先 后顺序的： A.14 B.13 C.12 D.10
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 课堂·重难突破 探究一 分类加法计数原理的应用 【例1】某校高三年级共有三个班,各班人数如下表所示. 班级 男生人数 女生人数 总人数 高三(1)班 30 20 50 高三(2)班 30 30 60 高三(3)班 35 20 55 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席,有多少种不 同的选法? (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法? 解 (1)从三个班中选1名学生任学生会主席,共有三 类不同的方案: 第一类,从高三(1)班中选出1名学生,有50种不同的 选法; 第二类,从高三(2)班中选出1名学生,有60种不同的 选法; 第三类,从高三(3)班中选出1名学生,有55种不同的 选法. 根据分类加法计数原理,从三个班中选1名学生任学生 会主席,共有50+60+55=165种不同的选法. (2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选 1名学生任学生会生活部部长,共有三类不同的方案: 第一类,从高三(1)班男生中选出1名学生,有30种不 同的选法; 第二类,从高三(2)班男生中选出1名学生,有30种不 同的选法; 第三类,从高三(3)班女生中选出1名学生,有20种不 同的选法. 根据分类加法计数原理,从高三(1)班、(2)班男生中或 从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长,共有 30+30+20=80种不同的选法. 利用分类加法计数原理计数时的解题流程: 【变式训练1】满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x 的 方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为 ( ) A.14 B.13 C.12 D.10 答案 B 解析 当a=0时,b取任意实数,关于x 的方程都有实 数解;当a≠0时,要使关于x 的方程有实数解,需满足Δ≥ 0,即4-4ab≥0,整理得ab≤1. 故当a=-1时,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a=0时,b=-1,0,1,2,有4种可能; 当a=1时,b=-1,0,1,有3种可能; 当a=2时,b=-1,0,有2种可能. 故满足题意的有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13. 探究二 分步乘法计数原理的应用 【例2】一种号码锁从左到右有4个拨号盘,每个拨号 盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个 不同的号码? (各拨号盘上的数字允许重复) 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步: 第一步,有10种拨号方式; 第二步,有10种拨号方式; 第三步,有10种拨号方式; 第四步,有10种拨号方式. 根据分步乘法计数原理,共可以组成10×10×10× 10=10000个不同的号码. 在例2中若各拨号盘上的数字不允许重复,则这4个拨 号盘可以组成多少个不同的号码? 解 按从左到右的顺序拨号可以分四步: 第一步,有10种拨号方式,即m1=10; 第二步,去掉第一步拨的数字,有 9种拨号方式,即 m2=9; 第三步,去掉前两步拨的数字,有 8种拨号方式,即 m3=8; 第四步,去掉前三步拨的数字,有 7种拨号方式,即 m4=7. 根据分步乘法计数原理,共可以组成 N =m1×m2× m3×m4=10×9×8×7=5040个不同的号码. 利用分步乘法计数原理解决问题的特点和注意点: (1)能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下 特点: ①完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可; ②完成每一步都有若干种方法; ③把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这 件事的所有方法数. (2)利用分步乘法计数原理应注意: ①要按事情发生的过程合理分步,即分步是有先 后顺序的; 2
第三章排列、组合与二项式定理 又会下围棋.现在从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围 ②“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的」 棋比赛，共有多少种不同的选法？ 但也不能重复、交叉； 解选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋 ③若完成某件事情需步，则必须且只需依次完 的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选：选参加 成这n个步骤后，这件事情才算完成。 国棋比赛的学生也有两种选法，在只会下围棋的2人中选或 【变式训练2】从一1,0,1,2这四个数中选三个不同的 在既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配，可得四类 不同的选法」 数作为函数f(x)=ax2十bx十c的各项的系数，可组成不同的 二次函数共」 第一类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 个，其中不同的偶函数有 赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加国棋比赛有 个，（用数字作答） 3X2=6种选法： 答案186 第二类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 解析一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值， 赛，同时从2名既会下象棋又会下固棋的学生中选1名参加 a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步 围棋比赛有3×2=6种选法： 乘法计数原理知，可组成不同的二次函数的个数为3X3X 第三类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加国棋比 2=18.其中不同的偶函数(b=0)的个数为1×3×2=6. 赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加 象棋比赛有2×2=4种选法： 探究三基本计数原理的应用 第四类，2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象 【例3】王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不 棋比赛和围棋比赛有2种选法」 依据分类加法计数原理，共有6十6十4十2=18种选法」 同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带 参考书到图书馆阅读 易错辨析 (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不 分不清“分类”还是“分步”而致误 同的带法？ 【典例】某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门， (2)若他带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不 小李到体育场看比赛，则他进、出体育场的方案有( 同的带法？ A.12种 B.7种 (3)若他从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到 C.14种 D.49种 图书馆，有多少种不同的带法？ 错解由题意知，小李进体育场有7种不同方案，出体 解(1)要完成的事情是带1本参考书，无论是带外语 育场有7种不同的方案，故依据分类加法计数原理，他进、出 书，还是带数学书、物理书，事情都可完成，根据分类加法计 数原理，不同的带法共有5十4十3=12种. 体育场共有7十7=14种不同的方案. (2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从 答案C 外语书、数学书、物理书中各选1本后，才能完成这件事情， 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ 因此根据分步乘法计数原理，不同的带法共有5X4×3= 你如何改正？你如何防范？ 60种. 提示错误的根本原因是没有分清小李完成进、出体育 (3)选1本外语书和1本数学书，应用分步乘法计数原 场的过程是分类还是分步，实际上小李到体育场看比赛，他 理，有5×4=20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有 进、出体育场的过程分两步：第一步进体育场，第二步出体 5×3=15种选法：选数学书、物理书各1本，有4×3=12种 育场 选法」 正解完成进、出体育场这件事，需要分两步，第一步进 根据分类加法计数原理，不同的带法共有20十15十 体育场，第二步出体育场. 12=47种. 第一步进体育场共有4十3=7种方法 ①反思感悟 第二步出体育场共有4十3=7种方法. 1.当题目无从下手时，可以先考虑要完成的这件 依据分步乘法计数原理，小李进、出体育场的方案有 事是什么，即怎样做才算完成这件事，再给出完成这件 7X7=49种 事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题 答案D 方法 ①防范措施 2.分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当 利用基本计数原理解决问题时，应首先弄清是“分 画出示意图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索 类”还是“分步”，其次要做到分类时不重不漏，分步时 规律。 步骤完整。 3.综合问题一般是先分类再分步 【变式训练3】在7名学生中，有3名会下象棋但不会 随堂训练 下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋 1.已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程(x 3
第三章 排列、组合与二项式定理 ②“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的, 但也不能重复、交叉; ③若完成某件事情需n 步,则必须且只需依次完 成这n个步骤后,这件事情才算完成. 【变式训练2】从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的 数作为函数f(x)=ax2+bx+c的各项的系数,可组成不同的 二次函数共 个,其中不同的偶函数有 个.(用数字作答) 答案 18 6 解析 一个二次函数对应着a,b,c(a≠0)的一组取值, a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步 乘法计数原理知,可组成不同的二次函数的个数为3×3× 2=18.其中不同的偶函数(b=0)的个数为1×3×2=6. 探究三 基本计数原理的应用 【例3】王华同学有课外参考书若干本,其中有5本不 同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书,他欲带 参考书到图书馆阅读. (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆,有多少种不 同的带法? (2)若他带外语、数学、物理参考书各1本,有多少种不 同的带法? (3)若他从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到 图书馆,有多少种不同的带法? 解 (1)要完成的事情是带1本参考书,无论是带外语 书,还是带数学书、物理书,事情都可完成,根据分类加法计 数原理,不同的带法共有5+4+3=12种. (2)要完成的事情是带3本不同学科的参考书,只有从 外语书、数学书、物理书中各选1本后,才能完成这件事情, 因此根据分步乘法计数原理,不同的带法共有5×4×3= 60种. (3)选1本外语书和1本数学书,应用分步乘法计数原 理,有5×4=20种选法;同样,选外语书、物理书各1本,有 5×3=15种选法;选数学书、物理书各1本,有4×3=12种 选法. 根据分类加法计数原理,不同的带法共有20+15+ 12=47种. 1.当题目无从下手时,可以先考虑要完成的这件 事是什么,即怎样做才算完成这件事,再给出完成这件 事的一种或几种方法,从这几种方法中归纳出解题 方法. 2.分类时标准要明确,做到不重不漏,有时要恰当 画出示意图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索 规律. 3.综合问题一般是先分类再分步. 【变式训练3】在7名学生中,有3名会下象棋但不会 下围棋,有2名会下围棋但不会下象棋,另2名既会下象棋 又会下围棋.现在从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围 棋比赛,共有多少种不同的选法? 解 选参加象棋比赛的学生有两种方法,在只会下象棋 的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选;选参加 围棋比赛的学生也有两种选法,在只会下围棋的2人中选或 在既会下象棋又会下围棋的2人中选.互相搭配,可得四类 不同的选法. 第一类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 赛,同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有 3×2=6种选法; 第二类,从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比 赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加 围棋比赛有3×2=6种选法; 第三类,从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比 赛,同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加 象棋比赛有2×2=4种选法; 第四类,2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象 棋比赛和围棋比赛有2种选法. 依据分类加法计数原理,共有6+6+4+2=18种选法. 易 错 辨 析 分不清“分类”还是“分步”而致误 【典例】某体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门, 小李到体育场看比赛,则他进、出体育场的方案有( ) A.12种 B.7种 C.14种 D.49种 错解 由题意知,小李进体育场有7种不同方案,出体 育场有7种不同的方案,故依据分类加法计数原理,他进、出 体育场共有7+7=14种不同的方案. 答案 C 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错误的根本原因是没有分清小李完成进、出体育 场的过程是分类还是分步,实际上小李到体育场看比赛,他 进、出体育场的过程分两步:第一步进体育场,第二步出体 育场. 正解 完成进、出体育场这件事,需要分两步,第一步进 体育场,第二步出体育场. 第一步进体育场共有4+3=7种方法. 第二步出体育场共有4+3=7种方法. 依据分步乘法计数原理,小李进、出体育场的方案有 7×7=49种. 答案 D 利用基本计数原理解决问题时,应首先弄清是“分 类”还是“分步”,其次要做到分类时不重不漏,分步时 步骤完整. 随堂训练 1.已知a∈{3,4,6},b∈{1,2},r∈{1,4,9,16},则方程(x- 3
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 a)2+(y一b)2=r2可表示的不同圆的个数是( 第一类，从7名学生中选出一名学生，有7种不同的 A.6 B.9 选法； C.16 D.24 第二类，从5名学生中选出一名学生，有5种不同的 答案D 选法 解析确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定 依据分类加法计数原理，共有7十5=12种不同的 a,有3种选法：第二步，确定b,有2种选法：第三步，确定 选法， r,有4种选法.由分步乘法计数原理，得不同圆的个数为 4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组 成复数a十bi,其中纯虚数有 个，虚数有 3×2×4=24. 个 2.若x,y∈N+,且x十y5,则有序数对(x,y)的个数为 答案636 ( A.6 B.8 解析第一步取b的数，有6种方法：第二步取a的数，只 C.9 D.10 能取0，有1种方法. 答案D 根据分步乘法计数原理，纯虚数共有6×1=6个. 解析当x=1时，y=1,2,3,4,共构成4个有序数对； 第一步取b的数，有6种方法：第二步取a的数，也有 6种方法 当x=2时，y=1,2,3,共构成3个有序数对： 根据分步乘法计数原理，虚数共有6X6=36个」 当x=3时，y=1,2,共构成2个有序数对： 5.有不同的红球8个，不同的白球7个. 当x=4时，y=1,共构成1个有序数对 (1)从中任意取出一个球，有多少种不同的方法？ 根据分类加法计数原理，有序数对共有4十3十2十 (2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的方 1=10个. 法？ 3.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有7名 学生只会用综合法证明，有5名学生只会用分析法证明，现 解(1)依据分类加法计数原理，从中任取一个球共有8十 任选1名学生证明这个问题，不同的选法有 种 7=15种不同的方法. 答案12 (2)依据分步乘法计数原理，从中任取两个不同颜色 的球共有8X7=56种不同的方法， 解析证明这个问题，共有两类不同的方案： 课后·训练提升 基础·巩固 A.56 B.65 1.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点，则这 5×6×5×4×3×2 13个点可以确定不同的平面个数为( 2 A.40 B.16 C.13 D.10 D.6×5×4×3×2 答案C 答案A 解析分两类情况讨论：第一类，直线α分别与直线b上 解析每名学生可自由选择5场讲座中的其中一场讲座， 的8个点可以确定8个不同的平面：第二类，直线b分别 故6名学生的安排可分6步进行，每步均有5种选择，依 与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面，根据分类 据分步乘法计数原理，共有5×5×5×5×5×5=5种不 加法计数原理，共可以确定8十5=13个不同的平面. 同选法 2.给一些书编号，准备用3个字符，其中首字符选用A,B,后两 4.已知集合M=1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集 个字符选用a,b,c(允许重复)，则编号不同的书共有( 合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐 A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( 答案D A.18 B.17 C.16 D.14 解析完成这件事可以分为三步：第一步，确定首字符，共 答案D 有2种方法：第二步，确定第二个字符，共有3种方法；第 解析分两类 三步，确定第三个字符，共有3种方法 第一类：M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐 依据分步乘法计数原理，不同编号的书共有2X3× 标，则在第一、第二象限内的点有3×2=6个： 3=18本.故选D. 第二类：N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐 3现有6名学生去听同时进行的5场课外知识讲座，每名学 标，则在第一、第二象限内的点有4×2=8个. 生可自由选择去听其中的一场讲座，不同选法的种数是 依据分类加法计数原理，表示第一、第二象限内的点 ( 的个数共有6+8=14
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 a)2+(y-b)2=r2 可表示的不同圆的个数是( ) A.6 B.9 C.16 D.24 答案 D 解析 确定一个圆的方程可分为三个步骤:第一步,确定 a,有3种选法;第二步,确定b,有2种选法;第三步,确定 r,有4种选法.由分步乘法计数原理,得不同圆的个数为 3×2×4=24. 2.若x,y∈N+ ,且x+y≤5,则有序数对(x,y)的个数为 ( ) A.6 B.8 C.9 D.10 答案 D 解析 当x=1时,y=1,2,3,4,共构成4个有序数对; 当x=2时,y=1,2,3,共构成3个有序数对; 当x=3时,y=1,2,共构成2个有序数对; 当x=4时,y=1,共构成1个有序数对. 根据分类加法计数原理,有序数对共有4+3+2+ 1=10个. 3.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有7名 学生只会用综合法证明,有5名学生只会用分析法证明,现 任选1名学生证明这个问题,不同的选法有 种. 答案 12 解析 证明这个问题,共有两类不同的方案: 第一类,从7名学生中选出一名学生,有7种不同的 选法; 第二类,从5名学生中选出一名学生,有5种不同的 选法. 依据分类加法计数原理,共有7+5=12种不同的 选法. 4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组 成复数 a+bi,其 中 纯 虚 数 有 个,虚 数 有 个. 答案 6 36 解析 第一步取b的数,有6种方法;第二步取a的数,只 能取0,有1种方法. 根据分步乘法计数原理,纯虚数共有6×1=6个. 第一步取b的数,有6种方法;第二步取a的数,也有 6种方法. 根据分步乘法计数原理,虚数共有6×6=36个. 5.有不同的红球8个,不同的白球7个. (1)从中任意取出一个球,有多少种不同的方法? (2)从中任意取出两个不同颜色的球,有多少种不同的方 法? 解 (1)依据分类加法计数原理,从中任取一个球共有8+ 7=15种不同的方法. (2)依据分步乘法计数原理,从中任取两个不同颜色 的球共有8×7=56种不同的方法. 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知两条异面直线a,b 上分别有5个点和8个点,则这 13个点可以确定不同的平面个数为( ) A.40 B.16 C.13 D.10 答案 C 解析 分两类情况讨论:第一类,直线a 分别与直线b 上 的8个点可以确定8个不同的平面;第二类,直线b分别 与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类 加法计数原理,共可以确定8+5=13个不同的平面. 2.给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符选用A,B,后两 个字符选用a,b,c(允许重复),则编号不同的书共有( ) A.8本 B.9本 C.12本 D.18本 答案 D 解析 完成这件事可以分为三步:第一步,确定首字符,共 有2种方法;第二步,确定第二个字符,共有3种方法;第 三步,确定第三个字符,共有3种方法. 依据分步乘法计数原理,不同编号的书共有2×3× 3=18本.故选D. 3.现有6名学生去听同时进行的5场课外知识讲座,每名学 生可自由选择去听其中的一场讲座,不同选法的种数是 ( ) A.56 B.65 C. 5×6×5×4×3×2 2 D.6×5×4×3×2 答案 A 解析 每名学生可自由选择5场讲座中的其中一场讲座, 故6名学生的安排可分6步进行,每步均有5种选择,依 据分步乘法计数原理,共有5×5×5×5×5×5=56 种不 同选法. 4.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集 合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐 标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( ) A.18 B.17 C.16 D.14 答案 D 解析 分两类. 第一类:M 中的元素作横坐标,N 中的元素作纵坐 标,则在第一、第二象限内的点有3×2=6个; 第二类:N 中的元素作横坐标,M 中的元素作纵坐 标,则在第一、第二象限内的点有4×2=8个. 依据分类加法计数原理,表示第一、第二象限内的点 的个数共有6+8=14. 4
第三章排列、组合与二项式定理 5.已知直线方程Ax十By=0,若从0,1,3,5,7,8这6个数 (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下（小明不坐），有几种 字中每次取两个不同的数作为A,B的值，则可表示 坐法？ 条不同的直线. (2)若小明与爸爸分别就座，有多少种坐法？ 答案22 解(1)小明爸爸选凳子可以分两类： 解析分两类：第一类，若A或B中有一个为0时，另一 第一类，选东面的空闲凳子坐下，有8种坐法： 个不论取何值，方程都只表示2条直线x=0和y=0:第 第二类，选西面的空闲凳子坐下，有6种坐法 二类，当AB≠0时，依据分步乘法计数原理，共有5×4= 根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8十6=14种 20条不同的直线. 坐法 综上所述，依据分类加法计数原理，共有20十2=22 (2)小明与爸爸分别就座，可以分两步完成： 条不同的直线 第一步，小明先就座，从东、西面共8十6=14个室闲 6.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增 凳子中选一个坐下，共有14种坐法： 加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那 第二步，小明爸爸再就座，从东、西面共13个空闲凳 么不同的插法的种数为 子中选一个坐下，共13种坐法 根据分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就座共有 答案42 14×13=182种坐法. 解析可以分两步：第一步，将第一个新节目插入5个节 10.现有四个组的学生共34人，其中一、二、三、四组分别有 目已排成的节目单中有6种插入方法，第二步，将第二个 7人，8人，9人、10人，他们自愿组成数学课外小组 新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种 (1)选其中一个为负责人，有多少种不同的选法？ 插入方法，依据分步乘法计数原理，共有6×7=42种插入 (2)每组选一名组长，有多少种不同的选法？ 方法 (3)推选两人进行发言，这两人需来自不同的组，有多少 7.某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、 种不同的选法？ 丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道 解(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种 上，则安排这8名运动员比赛的方式共有」 种 选法： 答案2880 第二类，从二班学生中选1人，有8种选法： 解析分两步安排这8名运动员： 第三类，从三班学生中选1人，有9种选法： 第一步，安排甲、乙、丙三人，有1,3,5,7四条跑道可 第四类，从四班学生中选1人，有10种选法。 安排，共有4×3X2=24种方法： 根据分类加法计数原理，共有7+8十9十10=34种 不同的选法， 第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条 奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1=120种方法. (2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班 学生中选一人任组长」 依据分步乘法计数原理，安排这8名男运动员比赛的 方式共有24×120=2880种. 根据分步乘法计数原理，共有7×8×9×10=5040 种不同的选法」 8.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，有28人是O 型血，有7人是A型血，有9人是B型血，有3人是AB (3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1 人，有7×8=56种不同的选法： 型血」 从一、三班学生中各选1人，有7×9=63种不同的 (1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？ 选法； (2)从B型血和AB型血中各选1人去献血，有多少种不 从一，四班学生中各选1人，有7×10=70种不同的 同的选法？ 选法： 解从)型血的人中选1人有28种不同的选法： 从二、三班学生中各选1人，有8×9=72种不同的 从A型血的人中选1人有7种不同的选法： 选法： 从B型血的人中选1人有9种不同的选法； 从二、四班学生中各选1人，有8X10=80种不同的 从AB型血的人中选1人有3种不同的选法 选法； (1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个 从三、四班学生中各选1人，有9×10=90种不同的 人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，依据分类 选法 加法计数原理，共有28十7+9+3=47种不同的选法. 依据分类加法计数原理，不同的选法共有56十63十 (2)分两步来完成：第一步，从B型血的人中选1人有 70十72+80+90=431种. 9种不同的选法；第二步，从AB型血的人中选1人有3种 不同的选法，依据分步乘法计数原理，共有9X3=27种不 拓展·提高 同的选法。 1.已知某乒乓球队里有男队员6人，女队员5人，从中选取 9.某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的 男、女队员各一人组成混合双打队，不同的组队方法有 凳子，小明和爸爸来这里休息. 5
第三章 排列、组合与二项式定理 5.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,3,5,7,8这6个数 字中每次取两个不同的数作为 A,B 的值,则可表示 条不同的直线. 答案 22 解析 分两类:第一类,若A 或B 中有一个为0时,另一 个不论取何值,方程都只表示2条直线x=0和y=0;第 二类,当AB≠0时,依据分步乘法计数原理,共有5×4= 20条不同的直线. 综上所述,依据分类加法计数原理,共有20+2=22 条不同的直线. 6.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增 加了2个新节目,如果将这两个节目插入原节目单中,那 么不同的插法的种数为 . 答案 42 解析 可以分两步:第一步,将第一个新节目插入5个节 目已排成的节目单中有6种插入方法,第二步,将第二个 新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单中有7种 插入方法,依据分步乘法计数原理,共有6×7=42种插入 方法. 7.某运动会上,8名男运动员参加100米决赛,其中甲、乙、 丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道 上,则安排这8名运动员比赛的方式共有 种. 答案 2880 解析 分两步安排这8名运动员: 第一步,安排甲、乙、丙三人,有1,3,5,7四条跑道可 安排,共有4×3×2=24种方法; 第二步,安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条 奇数号跑道安排,共有5×4×3×2×1=120种方法. 依据分步乘法计数原理,安排这8名男运动员比赛的 方式共有24×120=2880种. 8.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,有28人是 O 型血,有7人是 A 型血,有9人是 B型血,有3人是 AB 型血. (1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法? (2)从B型血和 AB型血中各选1人去献血,有多少种不 同的选法? 解 从 O型血的人中选1人有28种不同的选法; 从 A型血的人中选1人有7种不同的选法; 从B型血的人中选1人有9种不同的选法; 从 AB型血的人中选1人有3种不同的选法. (1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个 人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,依据分类 加法计数原理,共有28+7+9+3=47种不同的选法. (2)分两步来完成:第一步,从B型血的人中选1人有 9种不同的选法;第二步,从AB型血的人中选1人有3种 不同的选法,依据分步乘法计数原理,共有9×3=27种不 同的选法. 9.某公园休息处东面有8个空闲的凳子,西面有6个空闲的 凳子,小明和爸爸来这里休息. (1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐),有几种 坐法? (2)若小明与爸爸分别就座,有多少种坐法? 解 (1)小明爸爸选凳子可以分两类: 第一类,选东面的空闲凳子坐下,有8种坐法; 第二类,选西面的空闲凳子坐下,有6种坐法. 根据分类加法计数原理,小明爸爸共有8+6=14种 坐法. (2)小明与爸爸分别就座,可以分两步完成: 第一步,小明先就座,从东、西面共8+6=14个空闲 凳子中选一个坐下,共有14种坐法; 第二步,小明爸爸再就座,从东、西面共13个空闲凳 子中选一个坐下,共13种坐法. 根据分步乘法计数原理,小明与爸爸分别就座共有 14×13=182种坐法. 10.现有四个组的学生共34人,其中一、二、三、四组分别有 7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一个为负责人,有多少种不同的选法? (2)每组选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人进行发言,这两人需来自不同的组,有多少 种不同的选法? 解 (1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种 选法; 第二类,从二班学生中选1人,有8种选法; 第三类,从三班学生中选1人,有9种选法; 第四类,从四班学生中选1人,有10种选法. 根据分类加法计数原理,共有7+8+9+10=34种 不同的选法. (2)分四步:第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班 学生中选一人任组长. 根据分步乘法计数原理,共有7×8×9×10=5040 种不同的选法. (3)分六类,每类又分两步:从一、二班学生中各选1 人,有7×8=56种不同的选法; 从一、三班学生中各选1人,有7×9=63种不同的 选法; 从一、四班学生中各选1人,有7×10=70种不同的 选法; 从二、三班学生中各选1人,有8×9=72种不同的 选法; 从二、四班学生中各选1人,有8×10=80种不同的 选法; 从三、四班学生中各选1人,有9×10=90种不同的 选法. 依据分类加法计数原理,不同的选法共有56+63+ 70+72+80+90=431种. 拓展 提高 1.已知某乒乓球队里有男队员6人,女队员5人,从中选取 男、女队员各一人组成混合双打队,不同的组队方法有 ( ) 5
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 A.11种 B.30种 C.55种 D.65种 答案9 答案B 解析设4人为甲、乙、丙、丁，分两步进行： 解析先选1名男队员有6种方法，再选1名女队员有5 第一步，让甲拿，有三种方法： 种方法，故共有6×5=30种不同的组队方法. 第二步，让写甲拿到的卡片的人去拿，有三种方法，剩 2.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶 余两人只有一种拿法，故共有3×3×1X1=9种不同的分 点的连线称为它的对角线，则一个正五棱柱对角线的条数 配方式 为() 7.用0,1,2,3可以排成多少个数字不重复的三位偶数？ A.20 B.15 C.12 D.10 解第1类：末位为0. 答案D 第1步，排末位，有1种方法：第2步，排首位，从1,2 解析由题意，正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点 3中选1个，有3种方法：第3步，排十位，有2种方法. 和下底面的一个顶点的连线.因为不同在任何侧面内，所 故此类方法中有1×3×2=6个偶数. 以从一个顶点出发的对角线有2条，所以正五棱柱对角线 第2类：末位为2. 的条数为2×5=10. 第1步，排末位，有1种方法：第2步，排首位，从1,3 3.(多选题)已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则 中选1个，有2种方法：第3步，排十位，有2种方法」 方程(x一a)2十(y一b)2=r2可表示不同的圆的个数用式 故此类方法中有1×2×2=4个偶数 子表示为( 则一共有6十4=10个满足条件的不同数字 A.4+4十4十4十4十4 B.4+4+4+4 8.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参 C.3×4 D.3×4×2 加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，从其余7 答案AD 名队员中选2名安排在第二、四位置，则不同的出场安排 共有多少种？ 解析方法一：完成表示不同的圆这件事可以分三步完 解按出场位置顺序逐一安排： 成：第一步，确定α有3种不同的选取方法：第二步，确定 b有4种不同的选取方法：第三步，确定r有2种不同的 第一位置有3种安排方法： 选取方法」 第二位置有7种安排方法： 由分步乘法计数原理，方程(x一a)2十(y一b)2=r2 第三位置有2种安排方法： 可表示不同的圆共有3×4×2=24个. 第四位置有6种安排方法； 方法二：由分类加法计数原理，得当a=1时，b=4,5, 第五位置有1种安排方法. 6,7,r=8或9，有4十4种：当a=2时，b=4,5,6,7,r=8 由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有3X 或9，有4十4种：当a=3时，b=4,5,6,7,r=8或9，有 7×2×6×1=252种】 4十4种，故方程(x-a)2十(y-b)2=r2可表示不同的圆 挑战·创新 共有4十4十4十4十4十4=24个. 4.已知三个车队分别有4辆、5辆、6辆车，现欲从其中两个 (1)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位 车队各抽取一辆车外出执行任务，设不同的抽调方案数为 密码？ n,则n的值为 (2)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位数？ 答案74 解(1)完成“排成无重复数字的四位密码”这件事，可以 分四个步骤： 解析不妨设三个车队分别为甲、乙、丙，则分3类」 第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取 从甲、乙车队各抽取一辆车共有4×5=20种方案；从 方法； 甲、丙车队各抽取一辆车共有4X6=24种方案：从乙、丙 第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取 车队各抽取一辆车共有5×6=30种方案，所以共有20十 方法； 24十30=74种抽调方案」 第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取 5.三边均为整数，且最大边长为11的三角形有 个 方法： 答案36 第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取 解析另两边长分别用x,y表示，且不妨设1ry11 方法. 要构成三角形，需x十y≥12.当y=11时，x∈{1,2，…， 由分步乘法计数原理知，可排成不同的四位密码共有 11},有11个三角形：当y=10时，x∈{2,3，…，10}，有9个 N=5×4×3×2=120个. 三角形：…当y=6时，x=6,有1个三角形. (2)完成“排成无重复数字的四位数”这件事，可以分 故满足条件的三角形有11十9+7+5十3十1=36个. 四个步骤： 6.同寝室四人各写一张贺卡，首先集中起来，然后每人从中 第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有 拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同的分配方式有 4种不同的选取方法； 种 第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数 6
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 A.11种 B.30种 C.56 种 D.65 种 答案 B 解析 先选1名男队员有6种方法,再选1名女队员有5 种方法,故共有6×5=30种不同的组队方法. 2.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶 点的连线称为它的对角线,则一个正五棱柱对角线的条数 为( ) A.20 B.15 C.12 D.10 答案 D 解析 由题意,正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点 和下底面的一个顶点的连线.因为不同在任何侧面内,所 以从一个顶点出发的对角线有2条.所以正五棱柱对角线 的条数为2×5=10. 3.(多选题)已知a∈{1,2,3},b∈{4,5,6,7},r∈{8,9},则 方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆的个数用式 子表示为( ) A.4+4+4+4+4+4 B.4+4+4+4 C.3×4 D.3×4×2 答案 AD 解析 方法一:完成表示不同的圆这件事可以分三步完 成:第一步,确定a 有3种不同的选取方法;第二步,确定 b有4种不同的选取方法;第三步,确定r 有2种不同的 选取方法. 由分步乘法计数原理,方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆共有3×4×2=24个. 方法二:由分类加法计数原理,得当a=1时,b=4,5, 6,7,r=8或9,有4+4种;当a=2时,b=4,5,6,7,r=8 或9,有4+4种;当a=3时,b=4,5,6,7,r=8或9,有 4+4种,故方程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆 共有4+4+4+4+4+4=24个. 4.已知三个车队分别有4辆、5辆、6辆车,现欲从其中两个 车队各抽取一辆车外出执行任务,设不同的抽调方案数为 n,则n的值为 . 答案 74 解析 不妨设三个车队分别为甲、乙、丙,则分3类. 从甲、乙车队各抽取一辆车共有4×5=20种方案;从 甲、丙车队各抽取一辆车共有4×6=24种方案;从乙、丙 车队各抽取一辆车共有5×6=30种方案,所以共有20+ 24+30=74种抽调方案. 5.三边均为整数,且最大边长为11的三角形有 个. 答案 36 解析 另两边长分别用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11. 要构成三角形,需x+y≥12.当y=11时,x∈{1,2,…, 11},有11个三角形;当y=10时,x∈{2,3,…,10},有9个 三角形;……当y=6时,x=6,有1个三角形. 故满足条件的三角形有11+9+7+5+3+1=36个. 6.同寝室四人各写一张贺卡,首先集中起来,然后每人从中 拿一张别人送出的贺卡,则四张贺卡的不同的分配方式有 种. 答案 9 解析 设4人为甲、乙、丙、丁,分两步进行: 第一步,让甲拿,有三种方法; 第二步,让写甲拿到的卡片的人去拿,有三种方法,剩 余两人只有一种拿法,故共有3×3×1×1=9种不同的分 配方式. 7.用0,1,2,3可以排成多少个数字不重复的三位偶数? 解 第1类:末位为0. 第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,2, 3中选1个,有3种方法;第3步,排十位,有2种方法. 故此类方法中有1×3×2=6个偶数. 第2类:末位为2. 第1步,排末位,有1种方法;第2步,排首位,从1,3 中选1个,有2种方法;第3步,排十位,有2种方法. 故此类方法中有1×2×2=4个偶数. 则一共有6+4=10个满足条件的不同数字. 8.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名队员参 加比赛,3名主力队员要安排在第一、三、五位置,从其余7 名队员中选2名安排在第二、四位置,则不同的出场安排 共有多少种? 解 按出场位置顺序逐一安排: 第一位置有3种安排方法; 第二位置有7种安排方法; 第三位置有2种安排方法; 第四位置有6种安排方法; 第五位置有1种安排方法. 由分步乘法计数原理知,不同的出场安排方法有3× 7×2×6×1=252种. 挑战 创新 (1)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位 密码? (2)用0,1,2,3,4可以排成多少个无重复数字的四位数? 解 (1)完成“排成无重复数字的四位密码”这件事,可以 分四个步骤: 第一步,选取左边第一个位置上的数字,有5种选取 方法; 第二步,选取左边第二个位置上的数字,有4种选取 方法; 第三步,选取左边第三个位置上的数字,有3种选取 方法; 第四步,选取左边第四个位置上的数字,有2种选取 方法. 由分步乘法计数原理知,可排成不同的四位密码共有 N=5×4×3×2=120个. (2)完成“排成无重复数字的四位数”这件事,可以分 四个步骤: 第一步,从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字,有 4种不同的选取方法; 第二步,从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数 6
第三章排列、组合与二项式定理 字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法： 字，有2种不同的选取方法 第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数 由分步乘法计数原理知，可排成不同的四位数共有 字，有3种不同的选取方法： N=4×4×3×2=96个. 第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数 习题课—基本计数原理的综合应用 1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系， 课标定位 2能综合运用两个原理解决一些实际问题」 素养阐释 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养」 课前·基础认知 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别 法的种数分别是( 和联系 A.4320,39 B.39,39 【问题思考】 C.39,4320 D.4320,4320 1. 答案C 联系与 解析①任选1人去献血，即不论选哪种血型的哪个 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别 人，“任选1人去献血”的事情都可以完成，根据分类加法计 数原理，共有18十10十8十3=39种不同选法.②要从四种血 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决的都是 联系 型的人中各选1人去献血，即要在每种血型的人中依次选出 关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 1人后，“从四种血型的人中各选1人去献血”的事情才能完 分类加法计数原理针对的 分步乘法计数原理针对的 成，因此用分步乘法计数原理，共有18×10×8×3=4320 区别 是“分类”问题 是“分步”问题 种不同的选法」 【思考辨析】 区别二 各种方法相互独立 各个步骤互相依存 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画 任何一种方法都可以完成只有各个步骤都完成才算 “√”，错误的画“X”. 区别三 这件事 完成这件事 (1)如果完成一件事有两类办法，第一类办法中有m种 不同的方法，第二类办法中有n种不同的方法，那么完成这 2.做一做：某单位职工开展无偿献血活动，在体检合格 件事有mm种方法. (×) 的员工中，O型血的有18人，A型血的有10人，B型血的有 (2)在分步乘法计数原理中，只有所有步骤都完成，才能 8人，AB型血的有3人.若完成下面两件事：①从中任选1 完成这件事 (/) 人去献血：②从四种血型的人中各选1人去献血.则不同选 课堂 重难突破 第二步，确定十位上的数字，共有5种方法： 探究一 组数问题 第三步，确定个位上的数字，共有5种方法 【例1】用0,1,2,3,4五个数字， 依据分步乘法计数原理，共有4×5×5=100种方法. (1)可以排成多少个三位数字的号码？（数字允许重复） (3)被2整除的数即偶数，未位数字可取0,2,4，因此， (2)可以排成多少个三位数？（各位上数字允许重复） 可以分两类：一类是末位数字是0，分两步，第一步，首位有4 (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三 种排法，第二步，十位有3种排法，依据分步乘法计数原理， 位数？ 则有4×3=12种排法：一类是末位数字不是0，分三步，第 解(1)三位数字的号码，首位可以是0，数字也可以重 一步，未位有2种排法，即2或4，第二步，再排首位，因为0 不能在首位，所以有3种排法，第三步，十位有3种排法，依 复，每个位置都有5种排法，故可以分3步进行，每步有5种方 据分步乘法计数原理，有2X3X3=18种排法 法，依据分步乘法计数原理，共有5X5×5=5=125种方法. 综上所述，依据分类加法计数原理，有12十18=30种排 (2)排成一个三位数，可以分为三步：第一步，确定百位 法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 上的数字，百位上数字不能为0，共有4种方法：
第三章 排列、组合与二项式定理 字中选取一个数字作百位数字,有4种不同的选取方法; 第三步,从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数 字,有3种不同的选取方法; 第四步,从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数 字,有2种不同的选取方法. 由分步乘法计数原理知,可排成不同的四位数共有 N=4×4×3×2=96个. 习题课———基本计数原理的综合应用 课标定位 素养阐释 1.了解分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别与联系. 2.能综合运用两个原理解决一些实际问题. 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 课前·基础认知 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别 和联系 【问题思考】 1. 联系与 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,解决的都是 关于完成一件事情的不同方法的种数的问题 区别一 分类加法计数原理针对的 是“分类”问题 分步乘法计数原理针对的 是“分步”问题 区别二 各种方法相互独立 各个步骤互相依存 区别三 任何一种方法都可以完成 这件事 只有各个步骤都完成才算 完成这件事 2.做一做:某单位职工开展无偿献血活动,在体检合格 的员工中,O型血的有18人,A型血的有10人,B型血的有 8人,AB型血的有3人.若完成下面两件事:①从中任选1 人去献血;②从四种血型的人中各选1人去献血.则不同选 法的种数分别是( ) A.4320,39 B.39,39 C.39,4320 D.4320,4320 答案 C 解析 ①任选1人去献血,即不论选哪种血型的哪个 人,“任选1人去献血”的事情都可以完成,根据分类加法计 数原理,共有18+10+8+3=39种不同选法.②要从四种血 型的人中各选1人去献血,即要在每种血型的人中依次选出 1人后,“从四种血型的人中各选1人去献血”的事情才能完 成,因此用分步乘法计数原理,共有18×10×8×3=4320 种不同的选法. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)如果完成一件事有两类办法,第一类办法中有m 种 不同的方法,第二类办法中有n 种不同的方法,那么完成这 件事有mn种方法. (×) (2)在分步乘法计数原理中,只有所有步骤都完成,才能 完成这件事. (√) 课堂·重难突破 探究一 组数问题 【例1】用0,1,2,3,4五个数字, (1)可以排成多少个三位数字的号码? (数字允许重复) (2)可以排成多少个三位数? (各位上数字允许重复) (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三 位数? 解 (1)三位数字的号码,首位可以是0,数字也可以重 复,每个位置都有5种排法,故可以分3步进行,每步有5种方 法,依据分步乘法计数原理,共有5×5×5=53=125种方法. (2)排成一个三位数,可以分为三步:第一步,确定百位 上的数字,百位上数字不能为0,共有4种方法; 第二步,确定十位上的数字,共有5种方法; 第三步,确定个位上的数字,共有5种方法. 依据分步乘法计数原理,共有4×5×5=100种方法. (3)被2整除的数即偶数,末位数字可取0,2,4,因此, 可以分两类:一类是末位数字是0,分两步,第一步,首位有4 种排法,第二步,十位有3种排法,依据分步乘法计数原理, 则有4×3=12种排法;一类是末位数字不是0,分三步,第 一步,末位有2种排法,即2或4,第二步,再排首位,因为0 不能在首位,所以有3种排法,第三步,十位有3种排法,依 据分步乘法计数原理,有2×3×3=18种排法. 综上所述,依据分类加法计数原理,有12+18=30种排 法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数. 7
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 延伸探究 解(1)从中选派1名去参加外出学习，共有三类不同 由本例中的五个数字可排成多少个无重复数字的四位 的选法： 奇数？ 第一类，选出的是医生，有3种选法； 解完成“排成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分 第二类，选出的是护士，有5种选法： 四步：第一步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法： 第三类，选出的是麻醉师，有2种选法」 第二步定千位，有3种方法：第三步定百位，有3种方法：第 根据分类加法计数原理，共有3十5十2=10种选法. 四步定十位，有2种方法 (2)组成1个医疗小组，分三步： 依据分步乘法计数原理，共有2×3×3X2=36个无重 第一步，选1名医生，有3种选法： 复数字的四位奇数」 第二步，选1名护士，有5种选法： 反思感悟 第三步，选1名麻醉师，有2种选法」 对于组数问题，应掌握以下原则： 根据分步乘法计数原理，共有3×5×2=30种选法。 (1)明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类” 反思感悟 还是“分步”的关键.一殼按特殊位置（末位或首位）分 解决选（抽）取与分配问题的方法： 类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树 步完成：如果正面分类较多，那么可采用间接法求解， 状图法、框图法或者图表法」 (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字 (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法： 以上的数的最高位 ①直接法.直接使用分类加法计数原理或分步乘 法计数原理.一般地，若抽取是有顺序的，则按分步进 【变式训练1】从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两 行：若是按对象特征抽取的，则按分类进行 个数字，排成无重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ②间接法.先去掉限制条件，计算所有的抽取方法 ,奇数的个数为 数，再减去所有不符合条件的抽取方法数即可 答案1218 【变式训练2】有一项活动，需在3名教师、8名男学 解析若要求排成的数字是偶数，分为三步完成：第一 生和5名女学生中选人参加. 步，从0和2中任选一个数字放在个位，有2种选法：第二 (1)若只需一人参加，有多少种不同选法？ 步，从1,3,5中选1个数字放在百位，有3种选法：第三步， (2)若需教师、男学生、女学生各一人参加，有多少种不 从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位，有2种 同选法？ 选法 (3)若需一名教师、一名学生参加，有多少种不同选法？ 依据分步乘法计数原理，偶数共有2×3×2=12个. 解(1)只需一人参加共有三类选人的方法：第一类，从 若是奇数，此三位数可以分成两种情况，即奇偶奇，偶奇 奇.若是第一种奇偶奇的情况，则可以分三步完成：第一步， 3名教师中选一人，有3种方法：第二类，从8名男学生中选 一人，有8种方法：第三类，从5名女学生中选一人，有5种 从1,3,5中选1个数字放在个位，有3种选法：第二步，从0， 2中选1个数字放在十位，有2种选法：第三步，从1,3,5中 方法 剩下的2个数字中选1个数字放在百位，有2种选法」 依据分类加法计数原理，共有3十8十5=16种选法 (2)分三步选人：第一步选教师，有3种方法：第二步选 根据分步乘法计数原理，不同的选法有3×2×2= 12种 男学生，有8种方法：第三步选女学生，有5种方法 若是第二种偶奇奇的情况，可以分三步完成：第一步，从 依据分步乘法计数原理，共有3×8×5=120种选法. 1,3,5中选1个数字放在个位，有3种选法：第二步，从1,3， (3)可分两类，每一类又分两步，第一类：先选一名教师， 再选一名男学生，共有3×8=24种选法：第二类：先选一名 5剩下的2个数字中选1个数字放在十位，有2种选法：第 三步，从0,2中，排除0，共有1个数字放在百位，有1种 教师，再选一名女学生，共有3×5=15种选法. 选法 依据分类加法计数原理，共有24十15=39种选法」 依据分步乘法计数原理，不同的选法共有3X2X1一 探究三涂色与种植问题 6种. 故奇数共有12十6=18个」 【例3】(1)如图，用五种不同的颜色分别给A,B,C,D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜 探究二选（抽）取与分配问题 色多次使用，则不同的涂法种数为( ) 【例2】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习，有多少种不同的 选法？ (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师 D 组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？ 8
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 由本例中的五个数字可排成多少个无重复数字的四位 奇数? 解 完成“排成无重复数字的四位奇数”这件事,可以分 四步:第一步定个位,只能从1,3中任取一个,有2种方法; 第二步定千位,有3种方法;第三步定百位,有3种方法;第 四步定十位,有2种方法. 依据分步乘法计数原理,共有2×3×3×2=36个无重 复数字的四位奇数. 对于组数问题,应掌握以下原则: (1)明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类” 还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分 类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分 步完成;如果正面分类较多,那么可采用间接法求解. (2)要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字 以上的数的最高位. 【变式训练1】从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两 个数字,排成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为 ,奇数的个数为 . 答案 12 18 解析 若要求排成的数字是偶数,分为三步完成:第一 步,从0和2中任选一个数字放在个位,有2种选法;第二 步,从1,3,5中选1个数字放在百位,有3种选法;第三步, 从1,3,5中剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种 选法. 依据分步乘法计数原理,偶数共有2×3×2=12个. 若是奇数,此三位数可以分成两种情况,即奇偶奇,偶奇 奇.若是第一种奇偶奇的情况,则可以分三步完成:第一步, 从1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从0, 2中选1个数字放在十位,有2种选法;第三步,从1,3,5中 剩下的2个数字中选1个数字放在百位,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,不同的选法有 3×2×2= 12种. 若是第二种偶奇奇的情况,可以分三步完成:第一步,从 1,3,5中选1个数字放在个位,有3种选法;第二步,从1,3, 5剩下的2个数字中选1个数字放在十位,有2种选法;第 三步,从0,2中,排除0,共有1个数字放在百位,有1种 选法. 依据分步乘法计数原理,不同的选法共有3×2×1= 6种. 故奇数共有12+6=18个. 探究二 选(抽)取与分配问题 【例2】现有3名医生、5名护士、2名麻醉师. (1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的 选法? (2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师 组成1个医疗小组,有多少种不同的选法? 解 (1)从中选派1名去参加外出学习,共有三类不同 的选法: 第一类,选出的是医生,有3种选法; 第二类,选出的是护士,有5种选法; 第三类,选出的是麻醉师,有2种选法. 根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法. (2)组成1个医疗小组,分三步: 第一步,选1名医生,有3种选法; 第二步,选1名护士,有5种选法; 第三步,选1名麻醉师,有2种选法. 根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30种选法. 解决选(抽)取与分配问题的方法: (1)当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树 状图法、框图法或者图表法. (2)当涉及对象数目很大时,一般有两种方法: ①直接法.直接使用分类加法计数原理或分步乘 法计数原理.一般地,若抽取是有顺序的,则按分步进 行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行. ②间接法.先去掉限制条件,计算所有的抽取方法 数,再减去所有不符合条件的抽取方法数即可. 【变式训练2】有一项活动,需在3名教师、8名男学 生和5名女学生中选人参加. (1)若只需一人参加,有多少种不同选法? (2)若需教师、男学生、女学生各一人参加,有多少种不 同选法? (3)若需一名教师、一名学生参加,有多少种不同选法? 解 (1)只需一人参加共有三类选人的方法:第一类,从 3名教师中选一人,有3种方法;第二类,从8名男学生中选 一人,有8种方法;第三类,从5名女学生中选一人,有5种 方法. 依据分类加法计数原理,共有3+8+5=16种选法. (2)分三步选人:第一步选教师,有3种方法;第二步选 男学生,有8种方法;第三步选女学生,有5种方法. 依据分步乘法计数原理,共有3×8×5=120种选法. (3)可分两类,每一类又分两步.第一类:先选一名教师, 再选一名男学生,共有3×8=24种选法;第二类:先选一名 教师,再选一名女学生,共有3×5=15种选法. 依据分类加法计数原理,共有24+15=39种选法. 探究三 涂色与种植问题 【例3】(1)如图,用五种不同的颜色分别给 A,B,C,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜 色多次使用,则不同的涂法种数为( ) 8
第三章排列、组合与二项式定理 A.280 B.180 颜色.若B区域与D区域涂的颜色相同，则E区城有2种涂 C.96 D.60 色方法；若B区域与D区域所涂的颜色不相同，则E区域只 (2)如图，将3种作物全部种植在这5块试验田中，每块 有1种涂色方法. 种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，则不同 因此应先分类后分步 的种植方法共有 种。 答案(1)B(2)42 解析(1)按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可 (1)当B区域与D区域同色时，依据分步乘法计数原 选：第二步B区战有4种颜色可选；第三步C区域有3种颜 理，有4×3×2×2=48种涂色方法； 色可选：第四步由于可重复使用区域A中已有过的颜色，因 (2)当B区域与D区域不同色时，依据分步乘法计数原 此D区域也有3种颜色可选用. 理，有4×3×2×1×1=24种涂色方法】 依据分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种 综上所述，依据分类加法计数原理，共有48十24=72种 涂法 不同的涂色方法 (2)分别用a,b,c代表3种作物，先安排第一块田，有3 种方法，不妨设种植a,再安排第二块田，有2种方法b或c, 易错辨析 不妨设种植b,第三块田也有2种方法a或℃ 因计数时出现遗漏而致误 若第三块田种植c: 【典例】有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面或3面 第四、五块田分别有2种方法，共有2×2=4种方法 旗纵向排列在某一旗杆上，表示不同的信号，顺序不同也表 若第三块田种植a:第四块田有b或c2种方法， 示不同的信号，一共可以组成多少种不同的信号？ ①若第四块种植c:第五块田有2种方法： 错解每次升1面旗可组成1种不同的信号：每次升2 ②若第四块种植b:第五块田只能种作物c,共1种 面旗可组成2种不同的信号：每次升3面旗可组成3种不同 方法 的信号.根据分类加法计数原理，一共可以组成1十2十3=6 综上所述，依据基本计数原理，共有3×2×(2×2十2十 种不同的信号。 1)=42种方法. 以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？ ①反思感悟 你如何改正？你如何防范？ 解决涂色（种植）问题的一般思路： 涂色问题一般是综合利用基本计数原理求解，有 提示错解中忽略了不同的旗的颜色表示不同信号，顺 几种常用方法： 序不同也表示不同的信号 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步 正解每次升1面旗可组成3种不同的信号：每次升2 乘法计数原理分析 面旗可组成3×3=9种不同的信号：每次升3面旗可组成 (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段” 3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理，共可 等问题，用分类加法计数原理分析. 组成3十9十27=39种不同的信号. (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色 防苑措施 问题 解决此类问题要仔细审题，正确理解题意.一般是 种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计 先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类 案，防止重复和遗漏，分步时要注意步与步之间的连 加法计数原理计数. 续性。 【变式训练3】如图，用红、黄、绿、黑4种不同的颜色 随堂训练 分别涂入5个区域内，要求相邻的两个区域的颜色不相同， 问：有多少种不同的涂色方法？ 1.已知x∈{1,2,3,4}y∈{5,6,7,8}，则xy的不同值的个 数为( A.2 B.4 C.8 D.15 答案D 解析完成xy这件事分两步： 第一步，从集合{1,2,3,4}选一个数，共有4种选法： 解如图，将5个区域分别标记为A,B,C,D,E,则A区 第二步，从集合{5,6,7,8}选一个数，共有4种选法」 域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D 依据分步乘法计数原理，共有4×4=16种选法， 区域有2种，但E区域的涂色依赖于B区域与D区域涂的 其中3×8=4×6，所以xy的不同值的个数为15. 9
第三章 排列、组合与二项式定理 A.280 B.180 C.96 D.60 (2)如图,将3种作物全部种植在这5块试验田中,每块 种植一种作物,且相邻的试验田不能种同一种作物,则不同 的种植方法共有 种. 答案 (1)B (2)42 解析 (1)按区域分四步:第一步 A区域有5种颜色可 选;第二步B区域有4种颜色可选;第三步C区域有3种颜 色可选;第四步由于可重复使用区域 A中已有过的颜色,因 此D区域也有3种颜色可选用. 依据分步乘法计数原理,共有5×4×3×3=180种 涂法. (2)分别用a,b,c代表3种作物,先安排第一块田,有3 种方法,不妨设种植a,再安排第二块田,有2种方法b或c, 不妨设种植b,第三块田也有2种方法a或c. 若第三块田种植c: 第四、五块田分别有2种方法,共有2×2=4种方法. 若第三块田种植a:第四块田有b或c2种方法, ①若第四块种植c:第五块田有2种方法; ②若第四块种植 b:第五块田只能种作物c,共1种 方法. 综上所述,依据基本计数原理,共有3×2×(2×2+2+ 1)=42种方法. 解决涂色(种植)问题的一般思路: 涂色问题一般是综合利用基本计数原理求解,有 几种常用方法: (1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步 乘法计数原理分析. (2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段” 等问题,用分类加法计数原理分析. (3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色 问题. 种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计 数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类 加法计数原理计数. 【变式训练3】如图,用红、黄、绿、黑4种不同的颜色 分别涂入5个区域内,要求相邻的两个区域的颜色不相同, 问:有多少种不同的涂色方法? 解 如图,将5个区域分别标记为A,B,C,D,E,则A区 域有4种不同的涂色方法,B区域有3种,C区域有2种,D 区域有2种,但E区域的涂色依赖于B区域与 D区域涂的 颜色.若B区域与D区域涂的颜色相同,则E区域有2种涂 色方法;若B区域与D区域所涂的颜色不相同,则E区域只 有1种涂色方法. 因此应先分类后分步. (1)当B区域与 D区域同色时,依据分步乘法计数原 理,有4×3×2×2=48种涂色方法; (2)当B区域与D区域不同色时,依据分步乘法计数原 理,有4×3×2×1×1=24种涂色方法. 综上所述,依据分类加法计数原理,共有48+24=72种 不同的涂色方法. 易 错 辨 析 因计数时出现遗漏而致误 【典例】有红、黄、蓝旗各3面,每次升1面、2面或3面 旗纵向排列在某一旗杆上,表示不同的信号,顺序不同也表 示不同的信号,一共可以组成多少种不同的信号? 错解 每次升1面旗可组成1种不同的信号;每次升2 面旗可组成2种不同的信号;每次升3面旗可组成3种不同 的信号.根据分类加法计数原理,一共可以组成1+2+3=6 种不同的信号. 以上解答过程中都有哪些错误? 出错的原因是什么? 你如何改正? 你如何防范? 提示 错解中忽略了不同的旗的颜色表示不同信号,顺 序不同也表示不同的信号. 正解 每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次升2 面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成 3×3×3=27种不同的信号.根据分类加法计数原理,共可 组成3+9+27=39种不同的信号. 解决此类问题要仔细审题,正确理解题意.一般是 先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方 案,防止重复和遗漏,分步时要注意步与步之间的连 续性. 随堂训练 1.已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},则xy 的不同值的个 数为( ) A.2 B.4 C.8 D.15 答案 D 解析 完成xy这件事分两步: 第一步,从集合{1,2,3,4}选一个数,共有4种选法; 第二步,从集合{5,6,7,8}选一个数,共有4种选法. 依据分步乘法计数原理,共有4×4=16种选法. 其中3×8=4×6,所以xy的不同值的个数为15. 9
数学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.有A,B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人， 共8种情况，分为8类，在每一类中满足题目要求的两位 其中甲、乙都会操作A,B两种车床，丙只会操作A种车 数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个 床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则 根据分类加法计数原理，符合题意的两位数共有1十 不同的选派方法有( 2+3+4+5+6+7+8=36个. A.6种 B.5种 4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别 C.4种 D.3种 种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多 答案C 少种不同的种植方法 解析不同的选派精况可分为3类：若选甲、乙，则有2种 解方法一（直接法）不同的种植方法可分为3类：若黄 方法；若选甲、丙，则有1种方法：若选乙、丙，则有1种方 瓜种在第一块土地上，则有3×2×1=6种不同种植方法. 法，根据分类加法计数原理，不同的选派方法有2十1十 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3X2X 1=4种 1=6种不同种植方法. 3.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 依据分类加法计数原理，不同的种植方法共有6十 个 6十6=18种. 答案36 方法二（间接法）从4种蔬莱中选出3种，种在三块 地上，有4×3×2=24种，其中不种黄瓜有3X2×1=6 解析根据题意，个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9 种，故共有不同种植方法24一6=18种 课后·训练提升 1.用0,1，…，9这10个数字可以排成有重复数字的三位数 的个数为( A.243 B.252 C.261 D.648 答案B 解析0,1,2，·，9共能排成9×10×10=900个三位数， 其中无重复数字的三位数有9X9×8=648个，所以有重 A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 复数字的三位数有900一648=252个. 答案D 2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、 解析如图，将4个部分分别标记为A,B,C,D,分四步完 跳远四项比赛，若每班每项限报1人，则这3名学生参赛 成：第一步，确定A部分的颜色，共有4种方法；第二步， 的不同方法有( 确定B部分的颜色，共有3种方法：第三步，确定C部分 A.24种 B.48种 的颜色，共有2种方法，第四步，确定D部分的颜色，共有 C.64种 D.81种 2种方法.依据分步乘法计数原理，共有4×3X2X2 答案A 48种. 解析由于每班每项限报1人，图此当前面的学生选了某 项之后，后面的学生不能再报，依据分步乘法计数原理，共 有4×3X2=24种不同的参赛方法 3.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法 种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 答案D 5.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的 “甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配， 解析先將3把空椅子隔开摆放，此时3把空椅子中间和 用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、已、未、酉、 两边有4个空隙供3人（不妨记为甲、乙、丙）选择就座，因 亥”相配，共可配成 组 此，可分三步：甲从4个空隙中任选一个空隙，有4种不同 答案60 的选择；乙从余下的3个空隙中任选一个空隙，有3种不 同的选择：丙从余下的2个空隙中任选一个空隙，有2种 解析分两类：第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地 不同的选择.根据分步乘法计数原理，任何两人不相邻的 支的“子、寅、辰、午、中、戌”相配，分两步，先从天千里选1 坐法种数为4×3×2=24.故选D. 种，有5种选法，再从地支里选1种，有6种选法，依据分 4.如图，现有4种不同颜色对四个部分进行着色，要求有公 步乘法计数原理，则有5×6=30组不同的结果，第二类也 共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 有30组不同的结果 依据分类加法计数原理，共可配成30十30=60组 10
数 学 选择性必修 第二册 配人教B版 2.有 A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人, 其中甲、乙都会操作 A,B两种车床,丙只会操作 A 种车 床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则 不同的选派方法有( ) A.6种 B.5种 C.4种 D.3种 答案 C 解析 不同的选派情况可分为3类:若选甲、乙,则有2种 方法;若选甲、丙,则有1种方法;若选乙、丙,则有1种方 法.根据分类加法计数原理,不同的选派方法有2+1+ 1=4种. 3.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有 个. 答案 36 解析 根据题意,个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9 共8种情况,分为8类,在每一类中满足题目要求的两位 数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个. 根据分类加法计数原理,符合题意的两位数共有1+ 2+3+4+5+6+7+8=36个. 4.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别 种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,求有多 少种不同的种植方法. 解 方法一(直接法) 不同的种植方法可分为3类:若黄 瓜种在第一块土地上,则有3×2×1=6种不同种植方法. 同理,黄瓜种在第二块、第三块土地上,均有3×2× 1=6种不同种植方法. 依据分类加法计数原理,不同的种植方法共有6+ 6+6=18种. 方法二(间接法) 从4种蔬菜中选出3种,种在三块 地上,有4×3×2=24种,其中不种黄瓜有3×2×1=6 种,故共有不同种植方法24-6=18种. 课后·训练提升 1.用0,1,…,9这10个数字可以排成有重复数字的三位数 的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.648 答案 B 解析 0,1,2,…,9共能排成9×10×10=900个三位数, 其中无重复数字的三位数有9×9×8=648个,所以有重 复数字的三位数有900-648=252个. 2.某班有3名学生准备参加校运会的100米、200米、跳高、 跳远四项比赛,若每班每项限报1人,则这3名学生参赛 的不同方法有( ) A.24种 B.48种 C.64种 D.81种 答案 A 解析 由于每班每项限报1人,因此当前面的学生选了某 项之后,后面的学生不能再报,依据分步乘法计数原理,共 有4×3×2=24种不同的参赛方法. 3.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任意两人不相邻的坐法 种数为( ) A.144 B.120 C.72 D.24 答案 D 解析 先将3把空椅子隔开摆放,此时3把空椅子中间和 两边有4个空隙供3人(不妨记为甲、乙、丙)选择就座,因 此,可分三步:甲从4个空隙中任选一个空隙,有4种不同 的选择;乙从余下的3个空隙中任选一个空隙,有3种不 同的选择;丙从余下的2个空隙中任选一个空隙,有2种 不同的选择.根据分步乘法计数原理,任何两人不相邻的 坐法种数为4×3×2=24.故选D. 4.如图,现有4种不同颜色对四个部分进行着色,要求有公 共边界的两块不能用同一种颜色,则不同的着色方法共有 ( ) A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 答案 D 解析 如图,将4个部分分别标记为 A,B,C,D,分四步完 成:第一步,确定 A 部分的颜色,共有4种方法;第二步, 确定B部分的颜色,共有3种方法;第三步,确定 C部分 的颜色,共有2种方法,第四步,确定 D部分的颜色,共有 2种方法.依据分步乘法计数原理,共有4×3×2×2= 48种. 5.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的 “甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配, 用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、 亥”相配,共可配成 组. 答案 60 解析 分两类:第一类,由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地 支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,分两步,先从天干里选1 种,有5种选法,再从地支里选1种,有6种选法.依据分 步乘法计数原理,则有5×6=30组不同的结果.第二类也 有30组不同的结果. 依据分类加法计数原理,共可配成30+30=60组. 10