第2课时 补集及其综合应用 基础巩固 1设全集U=R,集合P={x-2sr3} C.{x-2,或x>3} D.{x-2,且x23} 答案：A 解析：由P={x-2sr<3},得CuP={xx<-2,或之3}.故选A 2.已知全集U={1,2,a2-2a+3},集合A={1,a,C4={3},则实数a等于() A.0或2 B.0 C.1或2 D.2 答案D 解析：由题意， a=2 a2-2a+3=3,解得a-2 3.已知全集U={1,3,5},且C4={3;,则集合A的真子集的个数为) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：A 解析：由题意得A={1,5},所以集合A的真子集的个数为22-1=3， 4.设集合U={-1,1,2,3},M={xx2+px+q=0,p,q∈R},若CuM={-1,1},则实数p+q的值为( A.-1 B.-5 C.5 D.1 答案D 解析：由已知可得M={2,3},则2,3为方程x2+px+g=0的两根，则p=-(2+3)=-5,g=2×3=6. 故p+q=-5+6=1.故选D 5.如图，阴影部分表示的集合是( A.A0(BOC) B.(CuA)n(BnC) C.CnC(AUB) D.CnCu(ANB) 答案C 解析：因为阴影部分在集合C中，均不在集合A,B中，所以阴影部分表示的集合是C的子集，也 是C(AUB)的子集，即是CnC(AUB). 6.(多选题)设集合P={1,2,3},Q={x2s3},则下列结论正确的是( A.PCO B.PNO=P C.(PNO)EP D.(CRQ)nP≠o 答案：CD
第 2 课时 补集及其综合应用 基础巩固 1.设全集 U=R,集合 P={x|-2≤x3} C.{x|x≤-2,或 x>3} D.{x|x≤-2,且 x≥3} 答案:A 解析:由 P={x|-2≤x<3},得∁UP={x|x<-2,或 x≥3}.故选 A. 2.已知全集 U={1,2,a 2 -2a+3},集合 A={1,a},∁UA={3},则实数 a 等于( ) A.0 或 2 B.0 C.1 或 2 D.2 答案:D 解析:由题意,知{ 𝑎 = 2, 𝑎 2 -2𝑎 + 3 = 3, 解得 a=2. 3.已知全集 U={1,3,5},且∁UA={3},则集合 A 的真子集的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:A 解析:由题意得 A={1,5},所以集合 A 的真子集的个数为 2 2 -1=3. 4.设集合 U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0,p,q∈R},若∁UM={-1,1},则实数 p+q 的值为( ) A.-1 B.-5 C.5 D.1 答案:D 解析:由已知可得 M={2,3},则 2,3 为方程 x 2+px+q=0 的两根,则 p=-(2+3)=-5,q=2×3=6. 故 p+q=-5+6=1.故选 D. 5.如图,阴影部分表示的集合是( ) A.A∩(B∩C) B.(∁UA)∩(B∩C) C.C∩∁U(A∪B) D.C∩∁U(A∩B) 答案:C 解析:因为阴影部分在集合 C 中,均不在集合 A,B 中,所以阴影部分表示的集合是 C 的子集,也 是∁U(A∪B)的子集,即是 C∩∁U(A∪B). 6.(多选题)设集合 P={1,2,3},Q={x|2≤x≤3},则下列结论正确的是( ) A.P⊆Q B.P∩Q=P C.(P∩Q)⊆P D.(∁RQ)∩P≠⌀ 答案:CD
解析：由于集合P中的元素1EQ,故选项A中结论错误；由P∩Q={2,3},知选项B中结论错误； 由P∩Q={2,3}SP,知选项C中结论正确； 由CRQ={xr3},(CRQ)∩P={1}≠o,知选项D中结论正确 7.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4,5},N={2,4,5,61,则() A.MnN={4,6} B.MUN=U C.(CuN)UM=U D.(CUM)ON=N 答案B 解析：MnW={4,5},MUN={1,2,3,4,5,6}=U,(CWUM={1,3}U 1,3,4,5}={1,3,4,5},(C0∩W={2,6}n{2,4,5,6}={2,6.故选B 8.己知全集为R,集合A={xx2 C.a<2 D.2 答案：A 解析：由已知得CRB={x之2}，则由AU(CRB)=R,得a22.故选A 9.已知全集U={0,1,2,3},A={x∈Ux2+mr=0,m∈R}.若C4={1,2},则实数m的值 是 答案-3 解析：由已知得A={0,3, 所以x=3是关于x的方程x2+mx=0的一个实根， 所以3m+9=0, 解得m=3 10.高一某班60名同学参加跳远和铅球测试，及格人数分别为40人和31人，这两项均不及格 的人数有4人，则两项都及格的人数为 答案：15 解析：设两项都及格的人数为x,由题意画出Venn图，如图. 40-x )31- 由图可得，(40-x)+x+(31-x)+4=60, 解得x=15. 11.己知全集为R,集合M={x∈R-2<x<2}.P={x之a,a∈R},并且MECRP,则实数a的取值范 围是 答案：a心2 解析：P={xx2a,a∈R, ∴.CRP-{xlx<a,a∈R} MCCRP,在数轴上表示出集合M,CRP ∴.由图可知，22 12.已知全集S={1,3,x3+3x2+2x},集合A={1,2x-1,若Cs4={0;,则这样的实数x是否存在？若 存在，求出x,若不存在，请说明理由。 解：CsA={0},∴.0∈S,0A, 即x23+3x2+2x=0
解析:由于集合 P 中的元素 1∉Q,故选项 A 中结论错误;由 P∩Q={2,3},知选项 B 中结论错误; 由 P∩Q={2,3}⊆P,知选项 C 中结论正确; 由∁RQ={x|x3},(∁RQ)∩P={1}≠⌀,知选项 D 中结论正确. 7.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4,5},N={2,4,5,6},则( ) A.M∩N={4,6} B.M∪N=U C.(∁UN)∪M=U D.(∁UM)∩N=N 答案:B 解析:M∩N={4,5},M∪N={1,2,3,4,5,6}=U,(∁UN)∪M={1,3}∪ {1,3,4,5}={1,3,4,5},(∁UM)∩N={2,6}∩{2,4,5,6}={2,6}.故选 B. 8.已知全集为 R,集合 A={x|x2 C.a<2 D.a≤2 答案:A 解析:由已知得∁RB={x|x≥2},则由 A∪(∁RB)=R,得 a≥2.故选 A. 9.已知全集 U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0,m∈R}.若∁UA={1,2},则实数 m 的值 是 . 答案:-3 解析:由已知得 A={0,3}, 所以 x=3 是关于 x 的方程 x 2+mx=0 的一个实根, 所以 3m+9=0, 解得 m=-3. 10.高一某班 60 名同学参加跳远和铅球测试,及格人数分别为 40 人和 31 人,这两项均不及格 的人数有 4 人,则两项都及格的人数为 . 答案:15 解析:设两项都及格的人数为 x,由题意画出 Venn 图,如图. 由图可得,(40-x)+x+(31-x)+4=60, 解得 x=15. 11.已知全集为 R,集合 M={x∈R|-2<x<2}.P={x|x≥a,a∈R},并且 M⊆∁RP,则实数 a 的取值范 围是 . 答案:a≥2 解析:∵P={x|x≥a,a∈R}, ∴∁RP={x|x<a,a∈R}. ∵M⊆∁RP,在数轴上表示出集合 M,∁RP, ∴由图可知,a≥2. 12.已知全集 S={1,3,x 3+3x 2+2x},集合 A={1,|2x-1|},若∁SA={0},则这样的实数 x 是否存在?若 存在,求出 x;若不存在,请说明理由. 解:∵∁SA={0},∴0∈S,0∉A, 即 x 3+3x 2+2x=0
x=0或x=-1或x=-2 当x=0时，2x-1川=1，不符合要求，舍去 当x=-2时，2x1川=5,5S,舍去. 当x=-1时，2x-1川=3∈S,符合题意 这样的实数x存在，x=1 拓展提高 1.已知全集U=R,集合A={x-2sx≤3}，B={xx4,那么集合(C4)∩(CB)等于() A.{x33},CuB={x-2s4},∴.(Cu4)n(CuB)={x3<≤4；.故选A 2.己知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若Nn(CM0=o,则MUN等于( ) A.M B.N CI D.o 答案：A 解析：因为Nn(CM)=o,所以NcM(如图)， 所以MUN=M. 3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={xx2-3x+2=0},B={xx=2a,a∈A},则集合C(AUB)中元素的 个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析：由已知得A={1,2;,B={2,4),所以AUB={1,2,4},所以C(AUB)={3,5}.故选B. 4.己知全集U=R,集合A={x∈Z0<x≤3}，B={x∈Z-2<x<2},其Vnn图如图所示，则图中阴影 部分表示的集合为() B A.{1} B.{-1,0,2,3} C.{-2,-1,0,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案B 解析：由已知得A={1,2,3},B={-1,0,1},所以AUB={-1,0,1,2,3},4nB={1.记P=AUB,Q=A∩B, 则阴影部分表示的集合为CPQ={-1,0,2,3}.故选B. 5.己知全集S={x∈N-2<x<9},集合M={3,4,5},P={1,3,6},则{2,7,8}是( ) A.MUP B.MOP C.([sM)U([sP) D.([sM)n([sP) 答案D
∴x=0 或 x=-1 或 x=-2. 当 x=0 时,|2x-1|=1,不符合要求,舍去. 当 x=-2 时,|2x-1|=5,5∉S,舍去. 当 x=-1 时,|2x-1|=3∈S,符合题意. ∴这样的实数 x 存在,x=-1. 拓展提高 1.已知全集 U=R,集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x4},那么集合(∁UA)∩(∁UB)等于( ) A.{x|33},∁UB={x|-2≤x≤4},∴(∁UA)∩(∁UB)={x|3<x≤4}.故选 A. 2.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N∩(∁IM)=⌀,则 M∪N 等于( ) A.M B.N C.I D.⌀ 答案:A 解析:因为 N∩(∁IM)=⌀,所以 N⊆M(如图), 所以 M∪N=M. 3.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x2 -3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的 个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解析:由已知得 A={1,2},B={2,4},所以 A∪B={1,2,4},所以∁U(A∪B)={3,5}.故选 B. 4.已知全集 U=R,集合 A={x∈Z|0<x≤3},B={x∈Z|-2<x<2},其 Venn 图如图所示,则图中阴影 部分表示的集合为( ) A.{1} B.{-1,0,2,3} C.{-2,-1,0,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案:B 解析:由已知得 A={1,2,3},B={-1,0,1},所以 A∪B={-1,0,1,2,3},A∩B={1}.记 P=A∪B,Q=A∩B, 则阴影部分表示的集合为∁PQ={-1,0,2,3}.故选 B. 5.已知全集 S={x∈N * |-2<x<9},集合 M={3,4,5},P={1,3,6},则{2,7,8}是( ) A.M∪P B.M∩P C.(∁SM)∪(∁SP) D.(∁SM)∩(∁SP) 答案:D
解析：因为S={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CsM={1,2,6,7,8},CsP={2,4,5,7,8},所以 (Cs0n(CsP)={2,7,8.故选D. 6.己知全集为U,集合A={1,3,x},B={1,x,若BU(CuB)=A,则CuB= 答案：{-√3，或{V3}或{3} 解析：因为BU(CuB)=A, 所以A=U所以x2-3或2=x ①当x2=3时，x=+V3,B={1,3,CuB={V3}或{-V3 ②当x2=x时，x=0或1.当x=0时，B={0,1},CuB={3};当x=1时，B={1,1},不符合集合中元素的 互异性，舍去」 7.已知U=R,A={xx2+pr+12=0,p∈R},B={xlx2-5x+q=0,q∈R}.若(C4)nB={2},(CuB)∩A={4}, 则AUB= 答案：{2,3,4} 解析：因为(Cu4)nB={2;,(CuB)门4={4}，所以2∈B,4∈A所以16+4p+12=0,4-10+q=0,所以p= 7,9=6,所以A={3,4},B={2,3} 所以AUB={2,3,4}. 8.已知全集为R,集合A={x1Sr≤2；，若BU(CR4)=R,B∩(CRA)={x02} 又BU(CRA)=R,AU(CRA)=R可得ASB. 而Bn(CRA)={x02} 因为(CRA)UB=R, 所以892 解得-l≤≤0. (2)因为A∩B=0,所以a>2或a+32或a<-3. 因为(CRA)UB=R所以-1≤sO. 故不存在实数a,使(CR4)UB=R,且AnB=O
解析:因为 S={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁SM={1,2,6,7,8},∁SP={2,4,5,7,8},所以 (∁SM)∩(∁SP)={2,7,8}.故选 D. 6.已知全集为 U,集合 A={1,3,x},B={1,x 2},若 B∪(∁UB)=A,则∁UB= . 答案:{-√3}或{√3}或{3} 解析:因为 B∪(∁UB)=A, 所以 A=U.所以 x 2=3 或 x 2=x. ①当 x 2=3 时,x=±√3,B={1,3},∁UB={√3}或{-√3}. ②当 x 2=x 时,x=0 或 1.当 x=0 时,B={0,1},∁UB={3};当 x=1 时,B={1,1},不符合集合中元素的 互异性,舍去. 7.已知 U=R,A={x|x2+px+12=0,p∈R},B={x|x2 -5x+q=0,q∈R}.若(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={4}, 则 A∪B= . 答案:{2,3,4} 解析:因为(∁UA)∩B={2},(∁UB)∩A={4},所以 2∈B,4∈A.所以 16+4p+12=0,4-10+q=0,所以 p=- 7,q=6,所以 A={3,4},B={2,3}, 所以 A∪B={2,3,4}. 8.已知全集为 R,集合 A={x|1≤x≤2},若 B∪(∁RA)=R,B∩(∁RA)={x|02}. 又 B∪(∁RA)=R,A∪(∁RA)=R,可得 A⊆B. 而 B∩(∁RA)={x|02}. 因为(∁RA)∪B=R, 所以{ 𝑎 ≤ 0, 𝑎 + 3 ≥ 2, 解得-1≤a≤0. (2)因为 A∩B=⌀,所以 a>2 或 a+32 或 a<-3. 因为(∁RA)∪B=R,所以-1≤a≤0. 故不存在实数 a,使(∁RA)∪B=R,且 A∩B=⌀