5.1.2 弧度制 基础巩固 1.下列说法中，错误的是( A.“度”与弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B1的角是周角的0，lrad的角是周角的2 C.lrad的角比1的角要大 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关 答案D 解析：根据1度，1弧度的定义可知只有D中的说法是错误的，故选D 2.若圆的半径是6cm,则圆心角为60°的扇形的面积是(） A.7 cm2 B买cm C.πcm2 D.6πcm2 答案D 解析：因为60°号所以扇形的面积S号×于×62-6πcm), 3.若扇形周长为6cm,面积为2cm2,则其圆心角的弧度数是() A.1或4 B.1或2 C.2或4 D.1或5 答案：A 解析：设扇形的半径为r,圆心角为a 2r+r=6, 根据题意得1 号m2=2,解得a=1或a4 4.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则下列四组角的表达式（各式中k∈ Z)中：(I)2km+号与r+号(2)k±罗与2km+受(3)km与m+(4)2k±r与k伍表示终边相同的角的 组数是( A.0 B.1 C.2 D.3 答案B 解析：对于()，当=1时，血+号=织不存在2kk∈Z)与之对应，不符合题意；对于(2，mk ∈Z)表示终边在y轴上的角，2π+k∈ZD表示终边在y轴正半轴上的角，不符合题意；对于 (3),kmk∈Z),km+k∈)表示终边在y轴上的角，符合题意；对于(4)，2k±k∈Z)表示终边在 x轴非正半轴上的角，kπk∈Z)表示终边在x轴上的角，不符合题意.故选B. 527严是第 d 象限角 答案：三 解析国为平-6m平而婴是第三象限角，所以2平是第三象限角。 6.若a∈(0，)，且a与角终边相同，则a= 3 答案胃 解析国为号-2r+号又a∈(0，故a号 7.时针经过一小时，转过了」 rad 答案 解析：时针经过一小时，转过-30，-30°-rad 8.已知一扇形的圆心角是？，所在圆的半径是10cm,求：
5.1.2 弧度制 基础巩固 1.下列说法中,错误的是( ) A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1°的角是周角的 1 360,1 rad 的角是周角的 1 2π C.1 rad 的角比 1°的角要大 D.用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关 答案:D 解析:根据 1 度,1 弧度的定义可知只有 D 中的说法是错误的,故选 D. 2.若圆的半径是 6 cm,则圆心角为 60°的扇形的面积是( ) A.π 2 cm2 B.3π 2 cm2 C.π cm2 D.6π cm2 答案:D 解析:因为 60°= π 3 ,所以扇形的面积 S=1 2 × π 3 ×62=6π(cm2 ). 3.若扇形周长为 6 cm,面积为 2 cm2 ,则其圆心角的弧度数是( ) A.1 或 4 B.1 或 2 C.2 或 4 D.1 或 5 答案:A 解析:设扇形的半径为 r,圆心角为 α, 根据题意得{ 2𝑟 + 𝑟𝛼 = 6, 1 2 𝛼𝑟 2 = 2, 解得 α=1 或 α=4. 4.已知角的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,则下列四组角的表达式(各式中 k∈ Z)中:(1)2kπ± π 3 与 kπ± π 3 ;(2)kπ± π 2 与 2kπ+ π 2 ;(3)kπ- π 2 与 kπ+ π 2 ;(4)2kπ±π 与 kπ.表示终边相同的角的 组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析:对于(1),当 k=1 时,kπ+ π 3 = 4π 3 ,不存在 2kπ± π 3 (k∈Z)与之对应,不符合题意;对于(2),kπ± π 2 (k ∈Z)表示终边在 y 轴上的角,2kπ+ π 2 (k∈Z)表示终边在 y 轴正半轴上的角,不符合题意;对于 (3),kπ- π 2 (k∈Z),kπ+ π 2 (k∈Z)表示终边在 y 轴上的角,符合题意;对于(4),2kπ±π(k∈Z)表示终边在 x 轴非正半轴上的角,kπ(k∈Z)表示终边在 x 轴上的角,不符合题意.故选 B. 5.- 27π 4 是第 象限角. 答案:三 解析:因为- 27π 4 =-6π- 3π 4 ,而- 3π 4 是第三象限角,所以- 27π 4 是第三象限角. 6.若 α∈(0,π),且 α 与角- 5π 3 终边相同,则 α= . 答案: π 3 解析:因为- 5π 3 =-2π+ π 3 ,又 α∈(0,π),故 α= π 3 . 7.时针经过一小时,转过了 rad. 答案:- π 6 解析:时针经过一小时,转过-30°,-30°=- π 6 rad. 8.已知一扇形的圆心角是2π 3 ,所在圆的半径是 10 cm,求:
(1)扇形的弧长； (2)该弧所在的弓形的面积 解()国为圆心角a三圆的半径=10cm 所以孤长1-w号×10-29(cm (2)该孤所在的弓形的面积S=SaS6产sina号×号×10-102×sn号=09 3 25v3(cm2). 9.如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的 集合 y4B5匹 1 4π 11 (1) (2) y 2π (3) (4) 解(1)将阴影部分看成是由射线OA逆时针旋转到OB所形成的，故满足条件的角的集合为 {a要+2<a号+2a,k∈Z. (2)将终边为0A的一个角改写为此时阴影部分可以看成是射线OA逆时针旋转到OB所 形成故满足条件的角的集合为@-+2<受+2，keZ. (3)将题图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转元rd而得到的，所以满 足条件的角的集合为{akm≤a≤+kmk∈Z (4)将题图中第二象限的阴影部分旋转元rd后可得到第四象限的阴影部分，故满足条件的角 的集合为{a竖+km<a<君+kk∈Z 拓展提高 1.若扇形的圆心角为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为 A1:3 B.2:3 C.4:3 D.4:9 答案B 解析：设扇形的半径为R,扇形内切圆的半径为r,扇形的圆心角为α 扇形的圆心角a号∴R=r+2r=3r ∴内切国的面积S=m2,扇形的面积SaR:号×写R2号×9P 1 2 ∴S内物国：S痛利=2：3. 2.已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形的面积为( A号cm2 B.πcm2 C.2πcm2 D.4z cm2 答案：C 解析：孤长为πcm的孤所对的圆心角为平 “扇形所在圆的半径空-4(cm)
(1)扇形的弧长; (2)该弧所在的弓形的面积. 解:(1)因为圆心角 α= 2π 3 ,圆的半径 r=10 cm, 所以弧长 l=αr= 2π 3 ×10= 20π 3 (cm). (2)该弧所在的弓形的面积 S=S 扇形-S 三角形= 1 2 lr- 1 2 r 2 sin α= 1 2 × 20π 3 ×10- 1 2 ×102×sin2π 3 = 100π 3 - 25√3(cm2 ). 9.如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分的角的 集合. 解:(1)将阴影部分看成是由射线 OA 逆时针旋转到 OB 所形成的,故满足条件的角的集合为 {α| 3π 4 +2kπ<α< 4π 3 +2kπ,k∈Z}. (2)将终边为 OA 的一个角改写为- π 6 ,此时阴影部分可以看成是射线 OA 逆时针旋转到 OB 所 形成,故满足条件的角的集合为{α|- π 6 +2kπ<α≤ 5π 12 +2kπ,k∈Z}. (3)将题图中 x 轴下方的阴影部分看成是由 x 轴上方的阴影部分旋转 π rad 而得到的,所以满 足条件的角的集合为{𝛼 |𝑘π ≤ 𝛼 ≤ π 2 + 𝑘π,𝑘∈Z}. (4)将题图中第二象限的阴影部分旋转 π rad 后可得到第四象限的阴影部分,故满足条件的角 的集合为{𝛼 | 2π 3 + 𝑘π < 𝛼 < 5π 6 + 𝑘π,𝑘∈Z}. 拓展提高 1.若扇形的圆心角为π 3 ,则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( ) A.1∶3 B.2∶3 C.4∶3 D.4∶9 答案:B 解析:设扇形的半径为 R,扇形内切圆的半径为 r,扇形的圆心角为 α, ∵扇形的圆心角 α= π 3 ,∴R=r+2r=3r. ∴内切圆的面积 S 内切圆=πr 2 ,扇形的面积 S 扇形= 1 2 αR 2= 1 2 × π 3 ×R 2= 1 2 × π 3 ×9r 2= 3π 2 r 2 . ∴S 内切圆∶S 扇形=2∶3. 2.已知弧长为 π cm 的弧所对的圆心角为π 4 ,则这条弧所在的扇形的面积为( ) A.π 2 cm2 B.π cm2 C.2π cm2 D.4π cm2 答案:C 解析:∵弧长为 π cm 的弧所对的圆心角为π 4 , ∴扇形所在圆的半径 r= π π 4 =4(cm)
“这条孤所在的扇形的面积S-mx4-2(cm 故选C 3.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数 是 答案2v3 解析设圆的半径为其外切正三角形的边长为a,则)汽。 又孤长为a所以这段孤所对圆心角的孤度数a号=写=合23 ba 4.若两个角的差是1°，它们的和是1rad,则这两个角的弧度数分别是 答案180+n,180.n 360′360 (-B=180'解得 a=180+n 解析：设两角的孤度数分别为aB,a>B,则 3601 a+B=1, -8 5.己知一扇形的圆心角a=60°，所在圆的半径R=10cm.求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 解设孤长为1，弓形面积为S5, :a-60°号R=10cm,∴1R-9 cm. S=S-S4×g9×10-2x10×sig×10×co-50传}(em, 挑战剑创新 某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和 线段AD,BC围成的.设圆弧AB,CD所在圆的半径分别为n1,2(单位：米)，圆心角为（单位：弧 度) ()若0罗n=3,n=6,求花坛的面积 (2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，己知直线部分的装饰费用为60元/米，弧 线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，在这种情况下，线段AD的长度为多少 时，花坛的面积最大？ 解()花坛的面积S62号-32号=（平方未） (2)孤AB的长为n0米，孤CD的长为n0米，线段AD的长为n-n)米」 由题意知602(n-n)+90n0+n0)=1200, 即4(n-n)+3(n0+n0)=40.() 则花坛的面积S20吃r0-n0+n8)n-n) 由(9式知，n0+n0-9- 3-32-n), 记n-n=x,则0<x<10, 所以S(兽xx=-5P+9x∈0,10. 故当x=5时，S取得最大值即AD=5米时，花坛的面积最大」
∴这条弧所在的扇形的面积 S=1 2 ×π×4=2π(cm2 ). 故选 C. 3.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数 是 . 答案:2√3 解析:设圆的半径为 r,其外切正三角形的边长为 a,则 r= √3 6 a. 又弧长为 a,所以这段弧所对圆心角的弧度数 α= 𝑎 𝑟 = 𝑎 √3 6 𝑎 = 6 √3 =2√3. 4.若两个角的差是 1°,它们的和是 1 rad,则这两个角的弧度数分别是 . 答案: 180+π 360 , 180-π 360 解析:设两角的弧度数分别为 α,β,α>β,则{ 𝛼-𝛽 = π 180 , 𝛼 + 𝛽 = 1, 解得{ 𝛼 = 180+π 360 , 𝛽 = 180-π 360 . 5.已知一扇形的圆心角 α=60°,所在圆的半径 R=10 cm.求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积. 解:设弧长为 l,弓形面积为 S 弓, ∵α=60°= π 3 ,R=10 cm,∴l=αR=10π 3 cm. S 弓=S 扇-S 三角形= 1 2 × 10π 3 ×10- 1 2 ×2×10×sinπ 6 ×10×cosπ 6 =50( π 3 - √3 2 )(cm2 ). 挑战创新 某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示),该扇环是由以点 O 为圆心的两个同心圆弧和 线段 AD,BC 围成的.设圆弧 AB,CD 所在圆的半径分别为 r1,r2(单位:米),圆心角为 θ(单位:弧 度). (1)若 θ= π 3 ,r1=3,r2=6,求花坛的面积. (2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为 60 元/米,弧 线部分的装饰费用为 90 元/米,预算费用总计 1 200 元,在这种情况下,线段 AD 的长度为多少 时,花坛的面积最大? 解:(1)花坛的面积 S=1 2 ×62× π 3 − 1 2 ×32× π 3 = 9π 2 (平方米). (2)弧 AB 的长为 r1θ 米,弧 CD 的长为 r2θ 米,线段 AD 的长为(r2-r1)米. 由题意知 60·2(r2-r1)+90(r1θ+r2θ)=1 200, 即 4(r2-r1)+3(r2θ+r1θ)=40.(*) 则花坛的面积 S=1 2 𝑟2 2θ- 1 2 𝑟1 2θ= 1 2 (r2θ+r1θ)·(r2-r1). 由(*)式知,r2θ+r1θ= 40 3 − 4 3 (r2-r1), 记 r2-r1=x,则 0<x<10, 所以 S=1 2 ( 40 3 - 4 3 𝑥)x=- 2 3 (x-5)2+ 50 3 ,x∈(0,10), 故当 x=5 时,S 取得最大值,即 AD=5 米时,花坛的面积最大