第2课时 指数函数的图象与性质 基础巩固 1设xa a .0v>2 B.2>m>3 C.yi>y2>y3 Dy1>y3>2 答案D 解折49-2848-214()5 =21.5 根据函数y=2在R上是增函数， 得218>25>244，即1>>2.故选D 5若函数x)=a2r(a>0,且a时l),满足1)号则x)的单调递减区间是( )
第 2 课时 指数函数的图象与性质 基础巩固 1.设 xa, ∴0y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 答案:D 解析:4 0.9=2 1.8 ,80.48=2 1.44 ,( 1 2 ) -1.5 =2 1.5 , 根据函数 y=2 x在 R 上是增函数, 得 2 1.8>2 1.5>2 1.44 ,即 y1>y3>y2.故选 D. 5.若函数 f(x)=a|2x-4| (a>0,且 a≠1),满足 f(1)= 1 9 ,则 f(x)的单调递减区间是( )
A.(-,2] B.[2,+o) C.[-2,+o） D.(-0,-2] 答案B 解析由)号得号 所以aa=号舍去)即-目 因为y=2x-4在区间(-0,2]上单调递减，在区间[2，+0)内单调递增， 所以x)在区间(-0,2]上单调递增，在区间[2，+o)内单调递减.故选B. x2+6x-5 6(多选题)在下列区间上函数)-() 单调递减的有( A.[0,2] B.[1,3] C.[1,41 D.[2,5] 答案：AB 解析令1-+6x-5,由)個)在其定义线上单调递减知，当1二-r+6x-5单调递增 时-③+65 单调递减，而1=-x2+6x-5的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x=3,故 只要在对称轴x=3左侧的区间均可. 7.设函数x)的定义域为，它的图象关于直线x=1对称，且当之1时x)=3-1,则 )())之间的大小关系是 答案囹) 解析：由题意可知，得)③目=（得）x)在区间l,+∞)内单调递增 11,且a时2)的大小 解a>1,且a42,∴a-1>0,且a-1≠1. 若a-1>1,即a>2,则y=(a-1是增函数， (a-1)13(a-1)24 9已知函数)-目好 (1)当a=-1时，求函数x)的单调递增区间； (2)若函数x)有最大值3，求实数a的值 解0当a1时-目 令g(x)=-x2.4x+3=-(x+22+7 因为8)在区间(-2，+)内单调递减，()在R上是减函数， 所以x)在区间(-2，+0)内单调递增，即儿x)的单调递增区间是(-2，+o). ②令a24r+3-⑤m 因为x)有最大值3，所以h(x)应有最小值-1 a>0, 因此必有 2-16=1,解得a-l,即当x)有最大值3时，实数a的值为1. 4
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 答案:B 解析:由 f(1)= 1 9 ,得 a 2= 1 9 , 所以 a= 1 3 (𝑎 = - 1 3 舍去),即 f(x)=( 1 3 ) |2𝑥-4| . 因为 y=|2x-4|在区间(-∞,2]上单调递减,在区间[2,+∞)内单调递增, 所以 f(x)在区间(-∞,2]上单调递增,在区间[2,+∞)内单调递减.故选 B. 6.(多选题)在下列区间上函数 f(x)=( 1 3 ) -𝑥 2+6𝑥-5 单调递减的有( ) A.[0,2] B.[1,3] C.[1,4] D.[2,5] 答案:AB 解析:令 t=-x 2+6x-5,由 y=( 1 3 ) 𝑡 在其定义域上单调递减知,当 t=-x 2+6x-5 单调递增 时,f(x)=( 1 3 ) -𝑥 2+6𝑥-5 单调递减,而 t=-x 2+6x-5 的图象为开口向下的抛物线,对称轴为直线 x=3,故 只要在对称轴 x=3 左侧的区间均可. 7.设函数 f(x)的定义域为 R,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时,f(x)=3 x -1,则 f( 1 3 ),f( 3 2 ),f( 2 3 )之间的大小关系是 . 答案:f( 2 3 )1,且 a≠2)的大小. 解:∵a>1,且 a≠2,∴a-1>0,且 a-1≠1. 若 a-1>1,即 a>2,则 y=(a-1)x是增函数, (a-1)1.3(a-1)2.4 . 9.已知函数 f(x)=( 1 3 ) 𝑎𝑥 2 -4𝑥+3 . (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)有最大值 3,求实数 a 的值. 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=( 1 3 ) -𝑥 2 -4𝑥+3 , 令 g(x)=-x 2 -4x+3=-(x+2)2+7, 因为 g(x)在区间(-2,+∞)内单调递减,y=( 1 3 ) 𝑥 在 R 上是减函数, 所以 f(x)在区间(-2,+∞)内单调递增,即 f(x)的单调递增区间是(-2,+∞). (2)令 h(x)=ax2 -4x+3,f(x)=( 1 3 ) ℎ(𝑥) . 因为 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1. 因此必有{ 𝑎 > 0, 12𝑎-16 4𝑎 = -1, 解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,实数 a 的值为 1
拓展提高 1.若函数x)=a+(a>0,且a1)在区间0，]上的最大值比最小值大号则实数a等于() A号 B明 c导或 答案：C 解析：当a>1时x)在区间[0,1]上单调递增，此时fx)的最大值为1)=2，最小值为0)=a 则a2-a导解得a-0舍去)或a兰 当0b>a>0, 所以P0,且a味1)与函数y=(a-1)x2-2x在同一直角坐标系内的图象（如图所示）可能是 (） 答案：A 解析：当a>1时，函数y=为增函数，函数y=(a-1)x2-2x的图象开口向上，对称轴为直线 x0,且与y轴的交点为(0,0)，排除B 当01对一切实数x成立，则实数m的取值范围是 答案[1，+o) 解析：4+2+1+m>1等价于(2)2+2-2+1>2-m
拓展提高 1.若函数 f(x)=a|x+1| (a>0,且 a≠1)在区间[0,1]上的最大值比最小值大𝑎 3 ,则实数 a 等于( ) A.4 3 B.2 3 C.2 3 或 4 3 D.3 2 答案:C 解析:当 a>1 时,f(x)在区间[0,1]上单调递增,此时 f(x)的最大值为 f(1)=a2 ,最小值为 f(0)=a, 则 a 2 -a= 𝑎 3 ,解得 a=0(舍去)或 a= 4 3 ; 当 0b>a>0, 所以 a b0,且 a≠1)与函数 y=(a-1)x 2 -2x 在同一直角坐标系内的图象(如图所示)可能是 ( ) 答案:A 解析:当 a>1 时,函数 y=ax为增函数,函数 y=(a-1)x 2 -2x 的图象开口向上,对称轴为直线 x= 1 𝑎-1 >0,且与 y 轴的交点为(0,0),排除 B. 当 01 对一切实数 x 成立,则实数 m 的取值范围是 . 答案:[1,+∞) 解析:4 x+2 x+1+m>1 等价于(2x ) 2+2·2x+1>2-m
即(2+1)2>2-m. .2∈(0，+0)， ∴.2+1∈(1，+0)， ∴.2-1，解得m心1 5.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量x)(单位：mgmL)随时间x(单位：h)变化的规律近似满足 5x-2,0≤x≤1 解析式x)= 规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02mgmL,据此可知， ,x>1 此驾驶员至少要过 h后才能开车（精确到1h). 答案4 解析当031时云5号此时不宜开车： ()0.02,可得24 故至少要过4h后才能开车 6已知=，8-固)-m若对任意n∈[1,3引总存在∈0,2引，使得2ga)成立，则实数 m的取值范围是 答案层，+) 解析：由x)的单调性可知x)=x2在区间[-1,3]上的最小值为0)=0. 又gx)在区间[0,2]上单调递减，故g)的最小值为g2)m 由题意得0子m, 即m心是 7已知函数九- (I)判断x)的奇偶性并证明； (2)判断x)的单调性并说明理由： (3)若ar-1)+2-x)>0对任意a∈(-o,2]恒成立，求x的取值范围. 解(1x)为奇函数， 证明如下：易知函数的定义城为R爪-3所以-)=.所以)为奇函数 (2x)33二在R上是增函数 2 理由如下：因为-在R上是增函数，=3在R上是减函数，所以)，在R上是增函 2 数 (3)由(1)(2)知x)为奇函数且在R上是增函数， 因为ax-1)+2-x)>0,所以ax-1)>-f2-x)=x-2), 所以ar-1>x-2对任意a∈(-0,2]恒成立 令ga)=ar+(1-x),a∈(-o,2], 则只6”2x+-020 称59 所以-1<x≤0. 所以x的取值范围为(-1,0] 挑战创新
即(2x+1)2>2-m. ∵2 x∈(0,+∞), ∴2 x+1∈(1,+∞), ∴2-m≤1,解得 m≥1. 5.某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量 f(x)(单位:mg/mL)随时间 x(单位:h)变化的规律近似满足 解析式 f(x)={ 5 𝑥-2 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 3 5 · ( 1 3 ) 𝑥 ,𝑥 > 1. 规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.02 mg/mL,据此可知, 此驾驶员至少要过 h 后才能开车(精确到 1 h). 答案:4 解析:当 0≤x≤1 时, 1 25≤5x-2≤ 1 5 ,此时不宜开车; 由 3 5 · ( 1 3 ) 𝑥 ≤0.02,可得 x≥4. 故至少要过 4 h 后才能开车. 6.已知 f(x)=x2 ,g(x)=( 1 2 ) 𝑥 -m.若对任意 x1∈[-1,3],总存在 x2∈[0,2],使得 f(x1)≥g(x2)成立,则实数 m 的取值范围是 . 答案:[ 1 4 , + ∞) 解析:由 f(x)的单调性可知 f(x)=x2 在区间[-1,3]上的最小值为 f(0)=0. 又 g(x)在区间[0,2]上单调递减,故 g(x)的最小值为 g(2)= 1 4 -m. 由题意得 0≥1 4 -m, 即 m≥ 1 4 . 7.已知函数 f(x)= 3 𝑥 -3 -𝑥 2 . (1)判断 f(x)的奇偶性并证明; (2)判断 f(x)的单调性并说明理由; (3)若 f(ax-1)+f(2-x)>0 对任意 a∈(-∞,2]恒成立,求 x 的取值范围. 解:(1)f(x)为奇函数. 证明如下:易知函数的定义域为 R,f(-x)= 3 -𝑥 -3 𝑥 2 ,所以 f(-x)=-f(x).所以 f(x)为奇函数. (2)f(x)= 3 𝑥 -3 -𝑥 2 在 R 上是增函数. 理由如下:因为 y=3 x在 R 上是增函数,y=3 -x在 R 上是减函数,所以 f(x)= 3 𝑥 -3 -𝑥 2 在 R 上是增函 数. (3)由(1)(2)知 f(x)为奇函数且在 R 上是增函数. 因为 f(ax-1)+f(2-x)>0,所以 f(ax-1)>-f(2-x)=f(x-2), 所以 ax-1>x-2 对任意 a∈(-∞,2]恒成立. 令 g(a)=ax+(1-x),a∈(-∞,2], 则只需{ 𝑥 ≤ 0, 𝑔(2) = 2𝑥 + (1-𝑥) > 0, 解得{ 𝑥 ≤ 0, 𝑥 > -1. 所以-1<x≤0. 所以 x 的取值范围为(-1,0]. 挑战创新
某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材 蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9 年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米（精确到0.1万立方米）？ 解：列表如下 经过的年数 木材蓄积量万立方米 200 200(1+5%) 200(1+5%)2 200(1+5%)3 200(1+5%) 由上表得，经过x年后，该林区的木材蓄积量为x)=200×(1+5%)=200×1.05(万立方米). 当x=9时，f9)=200×1.059≈310.3. 故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米
某林区 2020 年木材蓄积量为 200 万立方米,由于采取了封山育林、严禁采伐等措施,使木材 蓄积量的年平均增长率达到了 5%.经过 x 年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米?经过 9 年后,该林区的木材蓄积量约为多少万立方米(精确到 0.1 万立方米)? 解:列表如下: 经过的年数 木材蓄积量/万立方米 0 200 1 200(1+5%) 2 200(1+5%)2 3 200(1+5%)3 … … x 200(1+5%)x 由上表得,经过 x 年后,该林区的木材蓄积量为 f(x)=200×(1+5%)x=200×1.05x (万立方米). 当 x=9 时,f(9)=200×1.059≈310.3. 故经过 9 年后,该林区的木材蓄积量约为 310.3 万立方米