4.5.2用二分法求方程的近似解 基础巩固 1.若函数y=x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是() A.若ab)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得c=0 B.若ab)0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得c)=0 D.若ab)0时，零 点是否存在不确定.例如x)=x2,x∈[-1,1]-11)>0，但x=0∈「-1,1]，使x)=0,故A说法不正 确：C说法正确. 2.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε的说法正确的是 A.e越大，零点的精确度越高 B.c越大，零点的精确度越低 C.重复计算次数就是ε D.重复计算次数与ε无关 答案B 解析：依“二分法”的具体步骤可知，￡越大，零点的精确度越低 3.用二分法求函数x)的零点时，图象如图所示，不可能求出的零点是() A.x1 B.X2 C.x3 D.x4 答案：C 解析：由二分法的思想可知，零点1,2，x4两侧的函数值符号相反且图象连续，即存在区间[a,b, 使得ab)<0,故x1,x2,x4可以用二分法求解，但x3∈[a,b]时，均有ab)≥0，故不能用二分法 求出该零点。 4.某同学求函数x)=x+2x-6的零点时，用计算工具算得部分函数值如下表所示 2≈-1.3069 3)=1.0986 2.5户-0.084 2.75F0.512 2.625)F0.215 f2.5625)≈0.066 则方程lnx+2x-6=0的近似解（精确度为0.1）可取为 A.2.52 B.2.625 C.2.66 D.2.75 答案：A 解析：由题中表格可知方程lnx+2x-6=0的近似解在区间 (2,3),(2.5,3),(2.5,2.75),2.5,2.625),(2.5,2.5625)内，据此分析选项A中2.52符合 5.已知函数y=x)在区间[a,b]上的图象连续不断，且x)在区间(a,b)内有唯一零点，当 a=1.2,b=1.4,精确度=0.1时，应将区间(a,b)等分的次数至少为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案B
4.5.2 用二分法求方程的近似解 基础巩固 1.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( ) A.若 f(a)f(b)>0,则不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)0,则有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)0 时,零 点是否存在不确定.例如 f(x)=x2 ,x∈[-1,1],f(-1)f(1)>0,但 x=0∈[-1,1],使 f(x)=0,故 A 说法不正 确;C 说法正确. 2.用“二分法”可求近似解,对于精确度 ε 的说法正确的是 ( ) A.ε 越大,零点的精确度越高 B.ε 越大,零点的精确度越低 C.重复计算次数就是 ε D.重复计算次数与 ε 无关 答案:B 解析:依“二分法”的具体步骤可知,ε 越大,零点的精确度越低. 3.用二分法求函数 f(x)的零点时,图象如图所示,不可能求出的零点是( ) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 答案:C 解析:由二分法的思想可知,零点 x1,x2,x4 两侧的函数值符号相反且图象连续,即存在区间[a,b], 使得 f(a)f(b)<0,故 x1,x2,x4 可以用二分法求解,但 x3∈[a,b]时,均有 f(a)f(b)≥0,故不能用二分法 求出该零点. 4.某同学求函数 f(x)=ln x+2x-6 的零点时,用计算工具算得部分函数值如下表所示: f(2)≈-1.306 9 f(3)≈1.098 6 f(2.5)≈-0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程 ln x+2x-6=0 的近似解(精确度为 0.1)可取为 ( ) A.2.52 B.2.625 C.2.66 D.2.75 答案:A 解析:由题中表格可知方程 ln x+2x-6=0 的近似解在区间 (2,3),(2.5,3),(2.5,2.75),(2.5,2.625),(2.5,2.562 5)内,据此分析选项 A 中 2.52 符合. 5.已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且 f(x)在区间(a,b)内有唯一零点,当 a=1.2,b=1.4,精确度 ε=0.1 时,应将区间(a,b)等分的次数至少为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B
6.在用二分法求函数x)的一个正实数零点时，经计算，0.64)0,0.68)0，则函数fx)的零点的初始区间为0.64,0.72]，又 0.68-×(0.64+0.72),且0.68)0:④ab20 答案：①② 8求方程gx-(月)1的近似解（精确度为0） 解作出函数ygx和y(1的大致图象如下图所示， y=lgx =-1 由图象可知，方程gx=(份)-1有唯一实数解，且在区间0,1)内，设)=gx份)+11)0，用 计算工具计算，列表如下： 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 0,1) 0.5 -0.0081 0.5,1) 0.73 0.2805 0.5 0.5,0.75) 0.625 0.1475 0.25 0.5.0.625) 0.5625 0.0730 0.125 0.5,0.5625) 0.53125 0.0333 0.0625 由于区间(0.5,0.5625)的长度为0.0625a,则xo)的值满足( A.fxo)=0 B.Axo)>0 C.Axo)a时，2x>log1xo,故xo)P0, 2已知函数)=0gx会在区间1,3]上有零点，则用二分法判断含有零点的区间为( ) A[1,引 B.2]
6.在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时,经计算,f(0.64)0,f(0.68)0,则函数 f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72],又 0.68= 1 2 ×(0.64+0.72),且 f(0.68)0;④f(a)f(b)≥0. 答案:①② 8.求方程 lg x=( 1 2 ) 𝑥 -1 的近似解(精确度为 0.1). 解:作出函数 y=lg x 和 y=( 1 2 ) 𝑥 -1 的大致图象如下图所示, 由图象可知,方程 lg x=( 1 2 ) 𝑥 -1 有唯一实数解,且在区间(0,1)内,设 f(x)=lg x-( 1 2 ) 𝑥 +1,f(1)= 1 2 >0,用 计算工具计算,列表如下: 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 (0,1) 0.5 -0.008 1 1 (0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5 (0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25 (0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125 (0.5,0.562 5) 0.531 25 0.033 3 0.062 5 由于区间(0.5,0.562 5)的长度为 0.062 5a,则 f(x0)的值满足( ) A.f(x0)=0 B.f(x0)>0 C.f(x0)a 时,2 𝑥0>log1 2 x0,故 f(x0)>0. 2.已知函数 f(x)=log3x- 3 2𝑥 在区间[1,3]上有零点,则用二分法判断含有零点的区间为( ) A.[1, 3 2 ] B.[ 3 2 ,2]
c2,引 D.3 答案：C 解析1)=三0,0.8)0， ∴.方程2=x2的一个根在区间(-0.8，-0.6)内， ∴a=1或a=-0.8 5.用二分法研究函数x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算0)0，可得其中一个零点 0∈ ,第二次应计算 答案：0,0.5)0.25) 解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算 由f0)0,知x0∈(0,0.5). 再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断和更准确的位置 6已知函数)学2+1. (1)证明方程x)=0在区间(0,2)内有实数解： (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程x)=0(x∈[0,2])的实数解和在哪个较小的区间 内 (1)证明：因为0)=1>0,2)=0， 所以0)2)<0， 又函数x)的图象在R上是连续不断的曲线。 由函数零，点存在定理可得方程x)=0在区间(0,2)内有实数解。 (2)解取1×(0+2)=1，得1)令0， 由此可得1)2)<0，下一个有解区间为(1,2)， 再取x(1+2)-2得)0 所以1月0，下一个有解区间为(1，》
C.[2, 5 2 ] D.[ 5 2 ,3] 答案:C 解析:f(1)=- 3 2 0,f(2)=log32- 3 4 =log32-log33 3 4=log3 2 √3 3 4 =log3 √ 16 27 4 log3 5 2 √32 5 =log3 5 4 >0,因此,函数 f(x)的零点在区间[2, 5 2 ]上. 故选 C. 3.已知 f(x)=x2+6x+c 有零点,但不能用二分法求出,则 c 的值是( ) A.9 B.8 C.7 D.6 答案:A 解析:由题意可知,x 2+6x+c=0 有两个相等的实数根,则 Δ=36-4c=0,解得 c=9. 4.利用计算工具,列出自变量和函数值的对应值如下表: x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 … y=2 x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 … y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 … 若方程 2 x=x2 有一个根位于区间(a,a+0.4)内(a 在表格中第一行中的数据中取值),则 a 的值 为 . 答案:-1 或-0.8 解析:令 f(x)=2 x -x 2 ,由题中表格内的数据可得 f(-1)0,f(-0.8)0, ∴方程 2 x=x2 的一个根在区间(-0.8,-0.6)内, ∴a=-1 或 a=-0.8. 5.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)0,可得其中一个零点 x0∈ ,第二次应计算 . 答案:(0,0.5) f(0.25) 解析:二分法要不断地取区间的中点值进行计算. 由 f(0)0,知 x0∈(0,0.5). 再计算 0 与 0.5 的中点 0.25 的函数值,以判断 x0 更准确的位置. 6.已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -x 2+1. (1)证明方程 f(x)=0 在区间(0,2)内有实数解; (2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程 f(x)=0(x∈[0,2])的实数解 x0 在哪个较小的区间 内. (1)证明:因为 f(0)=1>0,f(2)=- 1 3 0, 由此可得 f(1)f(2)<0,下一个有解区间为(1,2). 再取 x2= 1 2 ×(1+2)= 3 2 ,得 f( 3 2 )=- 1 8 <0, 所以 f(1)f( 3 2 )<0,下一个有解区间为 1,3 2
再取(1+》导得得)=品0， 所以()f(月0，下一个有解区间为（保） 综上所述，所求的实数解和在区间（停》内， 挑战创新 已知函数x)-3+号在区间←1，+o)内单调递增，求方程-0的正根精确度为0.01 解由于函数)-3”号在区间(l,四)内单调递增，故在区间0，+四)内单调递增， 因此x)=0的正根最多有一个 国为0)=-1<01)0， 所以方程的正根在区间(0,1)内，取区间(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 0,1) 0.5 0.732 0,0.5) 0.25 -0.084 0.25,0.5) 0.375 0.328 0.25,0.375) 0.3125 0.124 0.25,0.3125) 0.28125 0.021 0.25,0.28125) 0.265625 -0.032 0.265625.0.28125) 0.2734375 -0.00543 0.2734375,0.28125) 因为10.2734375-0.28125=0.0078125<0.01，所以方程的根的近似值可取为0.2734375，即 x)=0的正根约为0.2734375
再取 x3= 1 2 × 1+ 3 2 = 5 4 ,得 f( 5 4 ) = 17 192 >0, 所以 f( 5 4 ) 𝑓 ( 3 2 )0, 所以方程的正根在区间(0,1)内,取区间(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表: 零点所在区间 中点的值 中点函数近似值 (0,1) 0.5 0.732 (0,0.5) 0.25 -0.084 (0.25,0.5) 0.375 0.328 (0.25,0.375) 0.312 5 0.124 (0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25,0.281 25) 0.265 625 -0.032 (0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 -0.005 43 (0.273 437 5,0.281 25) — — 因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 5<0.01,所以方程的根的近似值可取为 0.273 437 5,即 f(x)=0 的正根约为 0.273 437 5