4.3对数 4.3.1对数的概念 基础巩固 1.有下列说法 ①0和负数没有对数： ②任何一个指数式都可以化成对数式： ③以10为底的对数叫做常用对数： ④以e为底的对数叫做自然对数， 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 答案C 解析：①③④说法正确，②说法不正确，只有a>0,且时1时，=N才能化为对数式 2.方程2gax-的解是 ) Ax号 B号 C.x=V3 D.x=9 答案：A 解析：2o8r=-2 .log3x=-2, =32号 3.下列四个等式： ①lg(lg10)=0,②lg(lne)=0,③若lgx=10,则x=10;④若lnx=e,则x=e2. 其中正确的是( A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 答案：C 解析：①1glg10)=lg1-0:②lg(In e)=lg1-0: ③若lgx=10,则x=1010:④若lnx=e,则x=e 4)+1ogs4的值为() A.6 B暇 C.0 D 答案：C 解析（写+hog0s4=)+1log4-2.2-0 5.已知49-2,1ogar=2a,则正实数x= 答案 解析4-2=4，∴a2则log1x=l,x之 6.己知log7[log3(log2x)]=0,则xi- 答案 4 解析：，log7log3(log2x]=0
4.3 对数 4.3.1 对数的概念 基础巩固 1.有下列说法: ①0 和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以 10 为底的对数叫做常用对数; ④以 e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:①③④说法正确,②说法不正确,只有 a>0,且 a≠1 时,a x=N 才能化为对数式. 2.方程2 log3𝑥 = 1 4的解是( ) A.x= 1 9 B.x= √3 3 C.x=√3 D.x=9 答案:A 解析:∵2 log3𝑥 = 1 4 =2 -2 , ∴log3x=-2, ∴x=3 -2= 1 9 . 3.下列四个等式: ①lg(lg 10)=0;②lg(ln e)=0;③若 lg x=10,则 x=10;④若 ln x=e,则 x=e 2 . 其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 答案:C 解析:①lg(lg 10)=lg 1=0;②lg(ln e)=lg 1=0; ③若 lg x=10,则 x=1010;④若 ln x=e,则 x=e e . 4.( 1 2 ) -1 +log0.54 的值为( ) A.6 B.7 2 C.0 D.3 7 答案:C 解析:( 1 2 ) -1 +log0.54=( 1 2 ) -1 +log1 2 4=2-2=0. 5.已知 4 a=2,logax=2a,则正实数 x= . 答案: 1 2 解析:∵4 a=2=4 1 2,∴a= 1 2 ,则 log1 2 x=1,∴x= 1 2 . 6.已知 log7[log3(log2x)]=0,则𝑥 - 1 2= . 答案: √2 4 解析:∵log7[log3(log2x)]=0
∴.log3(log2x)=1, .l0g2x=3, 23=x x-2=六=效=9 7.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (125-7(2log281=4 (3)24=16,(4)10g5125=3. 解(log7-5 2周-81 (3)log216=4. (4)53=125. 8.求下列各式中x的取值范围： (1)log0.5(x-3):(2)log-1)(2-x). 解(1)要使原式有意义，则x-3>0,故x的取值范围为(3，+0). 2-x>0. (2)要使原式有意义，则x1>0,故x的取值范围为(1,2) x-1≠1， 拓展提高 1.若l1oga3=m,loga5=n,则a2m+n的值是( ) A.15 B.75 C.45 D.225 答案C 解析：由loga3=m,得am=3,由loga5=n,得d”=5, ∴.a2m+m=(d"2d-32×5=45. 2.如果一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么α千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来 的一半所需的时间)1为() Alg号 B.g c品 D.g092 1g0.5 答案：C 解析a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为1， 则a(1-8%Y-号消去a两边同时取对数，得lg0.92'=lg0.5,即g0.92=lg0.5, 所以1品故选C 3.若a=l0g43,则2+2a= 答案4 3 解析aog3→4-3，即2”=3，国而2P+2-3+方=y 4方程3og2x=方的解是 答案君 解析38x=3,∴10gx=-3,x=2号 5.若正数a,b满足2+l0g2a=3+logεb=0gs(a+b,则日+ 答案：108
∴log3(log2x)=1, ∴log2x=3, ∴2 3=x, ∴𝑥 - 1 2=(23 ) - 1 2 = 1 √8 = 1 2√2 = √2 4 . 7.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: (1)2-5= 1 32;(2)log1 3 81=-4; (3)24=16;(4)log5125=3. 解:(1)log2 1 32=-5. (2)( 1 3 ) -4 =81. (3)log216=4. (4)53=125. 8.求下列各式中 x 的取值范围: (1)log0.5(x-3);(2)log(x-1)(2-x). 解:(1)要使原式有意义,则 x-3>0,故 x 的取值范围为(3,+∞). (2)要使原式有意义,则{ 2-𝑥 > 0, 𝑥-1 > 0, 𝑥-1 ≠ 1, 故 x 的取值范围为(1,2). 拓展提高 1.若 loga3=m,loga5=n,则 a 2m+n 的值是( ) A.15 B.75 C.45 D.225 答案:C 解析:由 loga3=m,得 a m=3,由 loga5=n,得 a n=5, ∴a 2m+n=(a m ) 2·a n=3 2×5=45. 2.如果一种放射性元素,每年的衰减率是 8%,那么 a 千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来 的一半所需的时间)t 为( ) A.lg 0.5 0.92 B.lg0.02 0.5 C. lg0.5 lg0.92 D.lg0.92 lg0.5 答案:C 解析:a 千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)为 t, 则 a(1-8%)t= 𝑎 2 ,消去 a 两边同时取对数,得 lg 0.92t=lg 0.5,即 tlg 0.92=lg 0.5, 所以 t= lg0.5 lg0.92,故选 C. 3.若 a=log43,则 2 a+2 -a= . 答案: 4√3 3 解析:a=log43⇒4 a=3,即 2 a=√3,因而 2 a+2 -a=√3 + 1 √3 = 4√3 3 . 4.方程3 log2𝑥 = 1 27的解是 . 答案: 1 8 解析:∵3 log2𝑥=3 -3 ,∴log2x=-3,x=2 -3= 1 8 . 5.若正数 a,b 满足 2+log2a=3+log3b=log6(a+b),则 1 𝑎 + 1 𝑏 = . 答案:108
解析：设2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k, 则a=2-2,b=33,a+b=6, 即4a=2,27b=3 .108ab=6,∴.108ab=a+b, ∴108+月 6.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值. ①1og2r=号②1og3- (2)已知6-8，试用a表示下列各式 ①log68,②og62,③log26, 解(1)D因为1ogx=号 所以=2_要 ②国为10g3-子所以xi3,所以x=3分 (2)①log68=a. ②由6=8得6°-2，即6i=2,所以1og2号 ®由62得2i-6,所以10g6 挑战创新 (1)若10=x,求3)的值： (2)计算23+1o823+350g39 解(1)令=10，则x=g1, )=g1,即x)=gx, 3)=g3. 224o83+35o9-220s3+器23号-24+27-51
解析:设 2+log2a=3+log3b=log6(a+b)=k, 则 a=2 k-2 ,b=3 k-3 ,a+b=6 k , 即 4a=2 k ,27b=3 k , ∴108ab=6 k ,∴108ab=a+b, ∴108= 1 𝑎 + 1 𝑏 . 6.(1)先将下列式子改写成指数式,再求各式中 x 的值. ①log2x=- 2 5 ;②logx3=- 1 3 . (2)已知 6 a=8,试用 a 表示下列各式. ①log68;②log62;③log26. 解:(1)①因为 log2x=- 2 5 , 所以 x=2 - 2 5 = √8 5 2 . ②因为 logx3=- 1 3 ,所以x - 1 3=3,所以 x=3 -3= 1 27. (2)①log68=a. ②由 6 a=8 得 6 a=2 3 ,即6 a 3=2,所以 log62= a 3 . ③由6 a 3=2 得2 3 a=6,所以 log26= 3 a . 挑战创新 (1)若 f(10x )=x,求 f(3)的值; (2)计算2 3+log23 + 3 5-log39 . 解:(1)令 t=10x ,则 x=lg t, ∴f(t)=lg t,即 f(x)=lg x, ∴f(3)=lg 3. (2)2 3+log23 + 3 5-log39=2 3×2 log23 + 3 5 3 log3 9=2 3×3+ 3 5 9 =24+27=51