5.2.2 同角三角函数的基本关系 基础巩固 1.如果sina=5 a∈（侵，那么cosa等于(） A号 B品 c品 D唱 答案：A 解析"sna是∴cos2a=l--ina- 169 又a∈（度cosa0,即cosA-sinA<0 (cos 4-sin 4)-cos4-2sin Acos4+si)cos -sin 5已知sma-导则sin'的值为 A号 B月 c D 答案B 解析：sin'a-cos+a=(sin2a+cos2a)(sin2a-cos2a)=sin2a-cos2a=2sin2a-1=2× 1- 6在△ABC中，若am4-号则snA- 答案图 解析由amA号0，且角A是△1BC的内商，可得0KA .（sin2A+cos2A=1 sinA v2 解得n4Ξ (cosA=3
5.2.2 同角三角函数的基本关系 基础巩固 1.如果 sin α= 5 13,α∈( π 2 ,π),那么 cos α 等于( ) A.- 12 13 B. 5 12 C.- 5 12 D.12 13 答案:A 解析:∵sin α= 5 13,∴cos2α=1-sin2α= 144 169. 又 α∈( π 2 ,π),∴cos α0,即 cos A-sin A0,且角 A 是△ABC 的内角,可得 0<A<π 2 . 由{ sin 2𝐴 + cos 2𝐴 = 1, sin𝐴 cos𝐴 = √2 3 , 解得 sin A=√22 11
7.已知a∈R,sina+2cosa= 则tana- 2 答案3或对 1⑩ 解析：由 sina 2cosa 2 (sin2a+cos2a =1, (sina=-10或 √10 3v10 sina 解得 10 (cosa=3v四 cosa V10 10 10 当sina四 ，cos d-3时，tana=- 10 当sina3 10 ,cos a= 时，iana-3. 10 综上，tana= 钱tama-3. 8.己知tana=4,求下列代数式的值： (2)sin2a-cosa 解(1)原式4na+-=18. 5-tana (2)原式-sin2a-cos2a 器=品=号 tan2a-1 sin2a+cos2a 拓展提高 1.若角a的终边经过点P(sin780°，cos(-330°)，则sina= A号 B时 c D.1 答案C 解析：sin780°-sin(2x360°+60°)=sin60°写 2 c0-309)-e0m-360+309)-eos309-号 所以点P的坐标为 (V3 3 22 ),所以，点P到原点0的距离OP,由三角画数的定义，得sin 2 炉 已知g-则的值是( cOSx A B月 C.2 D.-2 案：A 解析因为+s恤.s1=n2:一-1， COSxCoSx cos2x 又1+sinx 所以迎 1 cosx =2 COSx 所以C0sx sinx-1 3化简（品+品）1-cos四的结果是( A.sin a B.cos a C.1+sin a D.1+cos a 答案：A 解析（位+台）1-cs因-（品+1-osg(-osa2-二sna sina sina sina eos0得则m0- 4.己知sin0=m-3
7.已知 α∈R,sin α+2cos α= √10 2 ,则 tan α= . 答案:3 或- 1 3 解析:由{ sin𝛼 + 2cos𝛼 = √10 2 , sin 2𝛼 + cos 2𝛼 = 1, 解得{ sin𝛼 = - √10 10 , cos𝛼 = 3√10 10 或 { sin𝛼 = 3√10 10 , cos𝛼 = √10 10 , 当 sin α=- √10 10 ,cos α= 3√10 10 时,tan α=- 1 3 ; 当 sin α= 3√10 10 ,cos α= √10 10 时,tan α=3. 综上,tan α=- 1 3或 tan α=3. 8.已知 tan α=4,求下列代数式的值: (1)4sin𝛼+2cos𝛼 5cos𝛼-sin𝛼 ; (2)sin2α-cos2α. 解:(1)原式= 4tan𝛼+2 5-tan𝛼 =18. (2)原式= sin 2𝛼-cos 2𝛼 sin2𝛼+cos 2𝛼 = tan 2𝛼-1 tan2𝛼+1 = 16-1 16+1 = 15 17. 拓展提高 1.若角 α 的终边经过点 P(sin 780°,cos(-330°)),则 sin α= ( ) A.√3 2 B.1 2 C.√2 2 D.1 答案:C 解析:sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= √3 2 , cos(-330°)=cos(-360°+30°)=cos 30°= √3 2 . 所以点 P 的坐标为( √3 2 , √3 2 ),所以点 P 到原点 O 的距离|OP|=√6 2 ,由三角函数的定义,得 sin α= √3 2 √6 2 = √2 2 . 2.已知1+sin𝑥 cos𝑥 =- 1 2 ,则 cos𝑥 sin𝑥-1的值是( ) A.1 2 B.- 1 2 C.2 D.-2 答案:A 解析:因为1+sin𝑥 cos𝑥 · sin𝑥-1 cos𝑥 = sin 2𝑥-1 cos 2𝑥 =-1, 又 1+sin𝑥 cos𝑥 =- 1 2 ,所以sin𝑥-1 cos𝑥 =2, 所以 cos𝑥 sin𝑥-1 = 1 2 . 3.化简( 1 sin𝛼 + 1 tan𝛼 )(1-cos α)的结果是( ) A.sin α B.cos α C.1+sin α D.1+cos α 答案:A 解析:( 1 sin𝛼 + 1 tan𝛼 )(1-cos α)=( 1 sin𝛼 + cos𝛼 sin𝛼 )(1-cos α)= 1+cos𝛼 sin𝛼 ·(1-cos α)= 1-cos 2𝛼 sin𝛼 = sin 2𝛼 sin𝛼 =sin α. 4.已知 sin θ= 𝑚-3 𝑚+5 ,cos θ= 4-2𝑚 𝑚+5 ,则 tan θ=
答案或品 解桥由sm0os0-()}'+( ）=1,解得m=0或m=8 当m-0时，sn0=号cos0-号故tam0-是 当m-8时sn0音os0-号故am0-品 13 综上，an0=我tan0= 5 5.若tana+ =3,则sinac0sa= tan-a+ 1 tana tan2a 答案号7 解析：tan tana =3,..sina cosa-3 cosa sina 即n2a+cos2 1 sinacosa =3,.'.sin acos a tan a+tan2 1 112 =(tana+tana) -2tan atana 1 -=9-2=7. 6.已知sina-cosa= 乞则tana+ 1 ana 答案-8 解析tana 1 =Sina tcosa =sin2a+cos2a 1 tana cosa sina sinacosa sinacosa 5 ..'sin a-cos a=-2. ..(sin a-cos a)2=1-2sin acosa ∴.sin acos a=-g 1 1 =-8.∴.tan a+ =-8. sinacosa tana 挑战创新 求证，tanasina tana+sina tana-sina tanasing 证明：右边 tan-a-sin2a (tana-sina)tanasina tan2a-tan2acos2a (tana-sina)tanasina tan2a(1-cos2a) (tana-sina)tanasina tan2asina (tana-sina)tanasina tanasina tana-sina =左边 原等式成立
答案:- 3 4或- 5 12 解析:由 sin2θ+cos2θ=( 𝑚-3 𝑚+5 ) 2 + ( 4-2𝑚 𝑚+5 ) 2 =1,解得 m=0 或 m=8. 当 m=0 时,sin θ=- 3 5 ,cos θ= 4 5 ,故 tan θ=- 3 4 ; 当 m=8 时,sin θ= 5 13,cos θ=- 12 13,故 tan θ=- 5 12. 综上,tan θ=- 3 4或 tan θ=- 5 12. 5.若 tan α+ 1 tan𝛼 =3,则 sin αcos α= ,tan2α+ 1 tan2𝛼 = . 答案: 1 3 7 解析:∵tan α+ 1 tan𝛼 =3,∴ sin𝛼 cos𝛼 + cos𝛼 sin𝛼 =3, 即 sin 2𝛼+cos 2𝛼 sin𝛼cos𝛼 =3,∴sin αcos α= 1 3 . tan2α+ 1 tan2𝛼 = (tan𝛼 + 1 tan𝛼 ) 2 -2tan α· 1 tan𝛼 =9-2=7. 6.已知 sin α-cos α=- √5 2 ,则 tan α+ 1 tan𝛼 = . 答案:-8 解析:tan α+ 1 tan𝛼 = sin𝛼 cos𝛼 + cos𝛼 sin𝛼 = sin 2𝛼+cos 2𝛼 sin𝛼cos𝛼 = 1 sin𝛼cos𝛼 . ∵sin α-cos α=- √5 2 , ∴(sin α-cos α) 2=1-2sin αcos α= 5 4 , ∴sin αcos α=- 1 8 , ∴ 1 sin𝛼cos𝛼 =-8,∴tan α+ 1 tan𝛼 =-8. 挑战创新 求证: tan𝛼sin𝛼 tan𝛼-sin𝛼 = tan𝛼+sin𝛼 tan𝛼sin𝛼 . 证明:∵右边= tan 2𝛼-sin 2𝛼 (tan𝛼-sin𝛼)tan𝛼sin𝛼 = tan 2𝛼-tan 2𝛼cos 2𝛼 (tan𝛼-sin𝛼)tan𝛼sin𝛼 = tan 2𝛼(1-cos 2𝛼) (tan𝛼-sin𝛼)tan𝛼sin𝛼 = tan 2𝛼sin 2𝛼 (tan𝛼-sin𝛼)tan𝛼sin𝛼 = tan𝛼sin𝛼 tan𝛼-sin𝛼 =左边, ∴原等式成立