3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 基础巩固 1.已知定义在区间[-5,5]上的函数y=x)的图象如图所示，则下列关于函数x)的说法错误的 是() 2-1 A.函数在区间[-5，-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]U[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上不具有单调性 答案C 解析：由题图可知x)在区间[-3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集符号“U”连接故 选C 2.已知区间[0,3]是函数x)定义域的一个子区间，若1)),所以函数)之在区间(0，+o)内单调递减 同理可得函数y是在区间(，0)内单调递增。 对于B,易知函数y-二在区间(-0,0)和(0，+∞)内都单调递减 对于C,易知函数y=x2在区间(-0,0)内单调递减，在区间(0，+0)内单调递增 对于D,易知函数y=x在区间(-o,+o)上单调递增 4.已知函数x)的单调递增区间是(-2,3)，则y=x+5)的单调递增区间是() A.(3,8) B.(-7.-2) C.(-2,3) D.(0,5) 答案B 解析：，函数x)的单调递增区间是(-2,3)，y=x+5)的单调递增区间应由-2<x+5<3解得，故 x∈(-7，-2)，此即为函数y=x+5)的单调递增区间. 5.已知当0s2时，a<-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是() A.(-0,1] B.(-0,0]
3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大(小)值 基础巩固 1.已知定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则下列关于函数 f(x)的说法错误的 是( ) A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上不具有单调性 答案:C 解析:由题图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集符号“∪”连接.故 选 C. 2.已知区间[0,3]是函数 f(x)定义域的一个子区间,若 f(1)0, 即 f(x1)>f(x2),所以函数 y= 1 𝑥 2在区间(0,+∞)内单调递减. 同理可得函数 y= 1 𝑥 2在区间(-∞,0)内单调递增. 对于 B,易知函数 y= 1 𝑥在区间(-∞,0)和(0,+∞)内都单调递减. 对于 C,易知函数 y=x2 在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增. 对于 D,易知函数 y=x3 在区间(-∞,+∞)上单调递增. 4.已知函数 f(x)的单调递增区间是(-2,3),则 y=f(x+5)的单调递增区间是( ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5) 答案:B 解析:∵函数 f(x)的单调递增区间是(-2,3),∴y=f(x+5)的单调递增区间应由-2<x+5<3 解得,故 x∈(-7,-2),此即为函数 y=f(x+5)的单调递增区间. 5.已知当 0≤x≤2 时,a<-x 2+2x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,0]
C.(-0,0) D.(0.+oo) 答案：C 解析：令x)=-x2+2x,则x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又x∈[0,2]，∴x)mn=0)=2)=0..a0,则几-3)与-π)的大小关系 是 答案-3)>-π) 解析：由题意得几x)为增函数，又-3>-元 所以-3)>-). 8.己知函数)Fx-3,2≤x≤5 3-x2,-1≤x1的解集 解(1x)的图象如图所示 2101 3456x -2 (2)由图可知x)的单调递增区间为[-1,0]，2,5]，值域为[-1,3] (3)令3-x2=1,解得x=VZ或x=-VZ(舍去)；令x-3=1,解得x=4.结合图象可知不等式x)>1的解 集为[-1,2)U(4,5] 拓展提高 1.(多选题)已知函数x)=x2-2x+2,关于x)的最大（小）值有如下结论，其中正确的是() Ax)在区间[-1,0]上的最小值为1 Bx)在区间[-1,2]上既有最小值，又有最大值 Cx)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5 D.当01时，x)在区间[0，ad上的最小值为1 答案：BCD 解析：函数x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上，对称轴为直线x=1. 在选项A中，因为x)在区间[-1,0]上单调递减，所以x)在区间[1,0]上的最小值为0)=2，所 以A中结论错误； 在选项B中，因为x)在区间[-1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x)在区间[1,2] 上的最小值为1)=1， 又因为几-1)=52)=2几-1)>2)，所以x)在区间[-1,2]上的最大值为几-1)=5，所以B中结论正 确
C.(-∞,0) D.(0,+∞) 答案:C 解析:令 f(x)=-x 2+2x,则 f(x)=-x 2+2x=-(x-1)2+1.又 x∈[0,2],∴f(x)min=f(0)=f(2)=0.∴a0,则 f(-3)与 f(-π)的大小关系 是 . 答案:f(-3)>f(-π) 解析:由题意得 f(x)为增函数,又-3>-π, 所以 f(-3)>f(-π). 8.已知函数 f(x)={ 3-𝑥 2 ,-1 ≤ 𝑥 1 的解集. 解:(1)f(x)的图象如图所示. (2)由图可知 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5],值域为[-1,3]. (3)令 3-x 2=1,解得 x=√2或 x=-√2(舍去);令 x-3=1,解得 x=4.结合图象可知不等式 f(x)>1 的解 集为[-1,√2)∪(4,5]. 拓展提高 1.(多选题)已知函数 f(x)=x2 -2x+2,关于 f(x)的最大(小)值有如下结论,其中正确的是( ) A.f(x)在区间[-1,0]上的最小值为 1 B.f(x)在区间[-1,2]上既有最小值,又有最大值 C.f(x)在区间[2,3]上有最小值 2,最大值 5 D.当 01 时,f(x)在区间[0,a]上的最小值为 1 答案:BCD 解析:函数 f(x)=x2 -2x+2=(x-1)2+1 的图象开口向上,对称轴为直线 x=1. 在选项 A 中,因为 f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以 f(x)在区间[-1,0]上的最小值为 f(0)=2,所 以 A 中结论错误; 在选项 B 中,因为 f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,所以 f(x)在区间[-1,2] 上的最小值为 f(1)=1, 又因为 f(-1)=5,f(2)=2,f(-1)>f(2),所以 f(x)在区间[-1,2]上的最大值为 f(-1)=5,所以 B 中结论正 确;
在选项C中，因为x)在区间[2,3]上单调递增，所以x)在区间[2,3]上的最小值为2)=2，最大 值为几3)=5，所以C中结论正确： 在选项D中，当01时x) 在区间[0，ad上的最小值为1)=1，所以D中结论正确. 2.己知函数x)=x2-2x+3在区间[0，)上有最大值3，最小值2，则1的取值范围是( ) A[1,+o) B.[0,2] C.(-00,2] D.[1,2] 答案D 解析：函数x)=x2-2x+3=(x-1)2+2在x=1时有最小值2，且0)=3,2)=3. 因为x)=x2-2x+3在区间[0，上有最大值3，最小值2，所以1≤2 3.函数y=V-x2+x+2的最大值、最小值分别为 答案0 解析：由-x2+x+2≥0，解得-1sr2, ∴.函数y=Vx2+x+2的定义域为[-1,2] y+x+2=-(》+是 ∴当x时，函数y-x2+x+2有最大值，且最大值为2：-2+x+220, ∴.函数y=Vx2+x+2有最小值，且最小值为0. “所求函数的最大值为最小值为0， 4.有下列四种说法： ①函数y=2x2+x+1在区间(0，+o)内不是单调递增的： ②函数)本在区间(-1u(1,+o)内单调递减 ③若函数x)= (2b-1)x+b-1,x>0 在R上为增函数，则实数b的取值范围是1≤bs2: -x2+(2-b)x,x≤0 ④若函数y=x-a在区间(-o,4]上单调递减，则实数a的取值范围是a24 其中说法正确的有 (填序号) 答案：③④ 解析对于①)-2r+x1=2(红+)+在区间，+四内单调道增，故该函数在区间0，+回 内单调递增，故①中说法错误； 对于②，函数)本在区间(m,-)内单调递减，在区间1，+)内单调递减但在共并集(0U (-1,+∞)内不单调递减，故②中说法错误 对于③，因为函数x)= 2b-1)x+b-1,x>0, x2+(2-b)x,x≤0 在R上为增函数， 2b-1>0 所以有 9≥0，解得1≤2.故③中说法正角： 2 b-1≥0 对于@，函载)r-a国为函载ma在区间(c4上单调造减所以心4 故④中说法正确 5.已知二次函数x)的最小值为1,0)=2)=3 (1)求x)的解析式， (2)若x)在区间[2a,2a+1]上不单调，求a的取值范围：
在选项 C 中,因为 f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以 f(x)在区间[2,3]上的最小值为 f(2)=2,最大 值为 f(3)=5,所以 C 中结论正确; 在选项 D 中,当 01 时,f(x) 在区间[0,a]上的最小值为 f(1)=1,所以 D 中结论正确. 2.已知函数 f(x)=x2 -2x+3 在区间[0,t]上有最大值 3,最小值 2,则 t 的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] 答案:D 解析:函数 f(x)=x2 -2x+3=(x-1)2+2 在 x=1 时有最小值 2,且 f(0)=3,f(2)=3. 因为 f(x)=x2 -2x+3 在区间[0,t]上有最大值 3,最小值 2,所以 1≤t≤2. 3.函数 y=√-𝑥 2 + 𝑥 + 2的最大值、最小值分别为 . 答案: 3 2 ,0 解析:由-x 2+x+2≥0,解得-1≤x≤2, ∴函数 y=√-𝑥 2 + 𝑥 + 2的定义域为[-1,2]. ∵y=√-𝑥 2 + 𝑥 + 2 = √- (𝑥- 1 2 ) 2 + 9 4 , ∴当 x= 1 2时,函数 y=√-𝑥 2 + 𝑥 + 2有最大值,且最大值为3 2 .∵-x 2+x+2≥0, ∴函数 y=√-𝑥 2 + 𝑥 + 2有最小值,且最小值为 0. ∴所求函数的最大值为3 2 ,最小值为 0. 4.有下列四种说法: ①函数 y=2x 2+x+1 在区间(0,+∞)内不是单调递增的; ②函数 y= 1 𝑥+1在区间(-∞,-1)∪(-1,+∞)内单调递减; ③若函数 f(x)={ (2𝑏-1)𝑥 + 𝑏-1,𝑥 > 0, -𝑥 2 + (2-𝑏)𝑥,𝑥 ≤ 0 在 R 上为增函数,则实数 b 的取值范围是 1≤b≤2; ④若函数 y=|x-a|在区间(-∞,4]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 a≥4. 其中说法正确的有 (填序号). 答案:③④ 解析:对于①,y=2x 2+x+1=2(𝑥 + 1 4 ) 2 + 7 8 在区间[- 1 4 , + ∞)内单调递增,故该函数在区间(0,+∞) 内单调递增,故①中说法错误; 对于②,函数 y= 1 𝑥+1在区间(-∞,-1)内单调递减,在区间(-1,+∞)内单调递减,但在其并集(-∞,-1)∪ (-1,+∞)内不单调递减,故②中说法错误; 对于③,因为函数 f(x)={ (2𝑏-1)𝑥 + 𝑏-1,𝑥 > 0, -𝑥 2 + (2-𝑏)𝑥,𝑥 ≤ 0 在 R 上为增函数, 所以有{ 2𝑏-1 > 0, 2-𝑏 2 ≥ 0, 𝑏-1 ≥ 0, 解得 1≤b≤2.故③中说法正确; 对于④,函数 y=|x-a|={ 𝑥-𝑎,𝑥 ≥ 𝑎, -𝑥 + 𝑎,𝑥 < 𝑎, 因为函数 y=|x-a|在区间(-∞,4]上单调递减,所以 a≥4. 故④中说法正确. 5.已知二次函数 f(x)的最小值为 1,f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,2a+1]上不单调,求 a 的取值范围;
(3)若x∈[l,1+2],试求x)的最小值. 解(1)x)是二次函数，且0)=2)， ∴其图象的对称轴为直线x=1 又x)的最小值为1， ∴.可设x)=m(x1)2+1,又0)=3，∴.m=2 .∴x)=2(x-1)2+1=2x2.4x+3 (2)要使x)在区间[2a,2a+1上不单调，需2a0: (2)设当x0),证明x)在R上为减函数. (1)解：由题意知0)0)=0) f0)0,0)=1 月0， 偵周=f ∴.对任意的x∈R,都有x)>0. (2)证明：设x1,2∈R,且x10)=1, ∴.x1-x2)-1>0. 又fx2)>0,∴x2)[x1-2)-1]>0, x1)≥fx2), x)在R上为减函数
(3)若 x∈[t,t+2],试求 f(x)的最小值. 解:(1)∵f(x)是二次函数,且 f(0)=f(2), ∴其图象的对称轴为直线 x=1. 又 f(x)的最小值为 1, ∴可设 f(x)=m(x-1)2+1,又 f(0)=3,∴m=2. ∴f(x)=2(x-1)2+1=2x 2 -4x+3. (2)要使 f(x)在区间[2a,2a+1]上不单调,需 2a0; (2)设当 xf(0),证明:f(x)在 R 上为减函数. (1)解:由题意知,f(0)·f(0)=f(0), ∵f(0)≠0,∴f(0)=1. ∵f( 𝑥 2 )≠0, ∴f(x)=f( 𝑥 2 )·f( 𝑥 2 ) = [𝑓 ( 𝑥 2 )] 2 >0. ∴对任意的 x∈R,都有 f(x)>0. (2)证明:设 x1,x2∈R,且 x1f(0)=1, ∴f(x1-x2)-1>0. 又 f(x2)>0,∴f(x2)[f(x1-x2)-1]>0, ∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数