第九章解三角形 9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 第1课时 正孩定理 1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程 课标定位 2.能应用正弦定理解三角形 素养阐释 3.加强逻辑推理与数学运算能力的培养 课前·基础认知 正弦定理 4.做一做： 【问题思考】 (1)在△ABC中，若A=60°，B=45,BC=32,则AC= b 1在R△ABC中，若C=90,则有nA=nB=c= (2)在△4BC中，若a=3,b=5,A=号，则C= sC:若△ABC为斜三角形，式子nA-snB一nC成 立吗？ 提示成立。 解析(1)由正弦定理得3，巨 AC sin60°sin45, 2.填空： 3√2·sin45 =2√3 (1)正弦定理 所以AC= sin60° (2)由正弦定理得3 图示 sin 3 又因为a>b,所以A>B, 正弦定理 则B=若C=x-(受+若)=受 文字 在一个三角形中，各边的长和它 语言 所对角的正弦的比相等 答案(125(2)号 符号 【思考辨析】 语言 sinA sin B sin C 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里画 (2)面积公式 “√”，错误的画“X”. S= 2absin C= 2acsin B= (1)正弦定理适用于任何三角形 (√) 2bcsin A. (2)在△ABC中，等式bsin A=asin B一定成立.（√/） (3)解三角形 (3)在△ABC中，a:b:c=simA:sinB:sinC. 三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知 (√/) 三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形。 (4)在△ABC中，若sinA=sinC,则△ABC必为等腰 3.在一个三角形中，若只知道三个角，能解这个三角形吗？ 三角形. (√) 提示不能 (5)SAnc=absin C=bcsin A. (×)
第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1 正弦定理 第1课时 正弦定理 课标定位 素养阐释 1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程. 2.能应用正弦定理解三角形. 3.加强逻辑推理与数学运算能力的培养. 课前·基础认知 正弦定理 【问题思考】 1.在Rt△ABC 中,若C=90°,则有 a sinA = b sinB =c= c sinC ;若△ABC 为斜三角形,式子 a sinA = b sinB = c sinC 成 立吗? 提示 成立. 2.填空: (1)正弦定理 (2)面积公式 S= 1 2 absinC= 1 2 acsinB= 1 2 bcsinA. (3)解三角形 三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素,已知 三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形. 3.在一个三角形中,若只知道三个角,能解这个三角形吗? 提示 不能. 4.做一做: (1)在△ABC中,若A=60°,B=45°,BC=32,则AC= . (2)在 △ABC 中,若a=3,b= 3,A = π 3 ,则 C= . 解析 (1)由正弦定理得 32 sin60° = AC sin45° , 所以AC= 32·sin45° sin60° =23. (2)由正弦定理得 3 sin π 3 = 3 sinB ,sinB= 1 2 . 又因为a>b,所以A>B, 则B= π 6 ,C=π- π 3 + π 6 = π 2 . 答案 (1)23 (2) π 2 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)正弦定理适用于任何三角形. (√) (2)在△ABC 中,等式bsinA=asinB 一定成立.(√) (3)在△ABC 中,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. (√) (4)在△ABC 中,若sinA=sinC,则△ABC 必为等腰 三角形. (√) (5)S△ABC=absinC=bcsinA. (×) 1
数学 必修 第四册 配人教B版 课堂·重难突破 63 探究一已知三角形两角和任一边解三角形 再由 b 可得b 1×65_ sin A sin B 3 3 【例1】在△ABC中，已知A=45°，B=30°，a=2,解此 三角形 分析利用A十B十C=180°及正弦定理求解. 蓄案(1(2器 解根据三角形内角和定理知 探究二已知三角形两边和其中一边的对角 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105° 解三角形 由正弦定理得6=asin B_2sim30° 2×2 sin A sin45°= =√2， 2 【例2】(1)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为 2 a,b,c.已知A=60°，a=45,b=42,则B= 2x6+2 (2)在△ABC中，已知a=2√5，b=6.A=30°，求B.C c=asin C2sin 105 2sin 75 4 =/3+1. 和c. sin45° sin 45 分析(1)由正弦定理的特点直接求解，注意三角形解 曾延伸探究 的个数问题 本例变为：在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c= (2)利用正弦定理及内角和定理求解，注意三角形解的 √5+1，解此三角形. 个数问题 解由已知可得C=180°-A-B=105°， 1)解析由正弦定理得a b sin A sin B' 由正弦定理得a C sin A sin C' 把A=60°，a=4V5,b=4V2代入， 所以a=esinA-5+1)n45°=2. sin C sin 105 解释血B=号， 同理，b=asin B_2sim30° ∴.B=45°或B=135° sin A sin45°=2. b<a,∴B<A. 反思感悟 .B=45°. 已知两角与一边解三角形的步骤： 答案45° (1)由三角形内角和定理求出第三个角： (2②)解由正孩定理得品AB b (2)由正弦定理求另外两边 【变式训练1】(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分 则sinB=bsin A_6sin30°_5 25 -2 别为a6c,若a=5.smB=分C=若则6= 又a=25,b=6,a<b, (2)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 ∴.B=60°或B=120°. sA=号C=品a=1,则6= 当B=60°时，C=90°， a 解析(1在△ABC中，由smB=子，可得B=管或 由正弦定理得 sin C-sin A' B= 6 则c=asin C=25sin90 sin30° =4√3： sin A 因为C=晋， 当B=120°时，C=30，°c=asin C_25sin30° sin A sin30° 25. 所以B=吾从而A 3 综上，B=60°，C=90°，c=43或B=120°，C=30°，c= 由品品B可得61 25. 飞反思感悟 (②南已可得A-号C= 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的 方法： 则B=(A+0)=号×是+号×是-器， (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值 2
数 学 必修 第四册 配人教B版 课堂·重难突破 探究一 已知三角形两角和任一边解三角形 【例1】在△ABC 中,已知A=45°,B=30°,a=2,解此 三角形. 分析 利用A+B+C=180°及正弦定理求解. 解 根据三角形内角和定理知 C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°. 由正弦定理得b= asinB sinA = 2sin30° sin45° = 2× 1 2 2 2 = 2, c= asinC sinA = 2sin105° sin45° = 2sin75° sin45° = 2× 6+ 2 4 2 2 = 3+1. 本例变为:在 △ABC 中,已知 A =45°,B=30°,c= 3+1,解此三角形. 解 由已知可得C=180°-A-B=105°, 由正弦定理得 a sinA = c sinC , 所以a= csinA sinC = (3+1)sin45° sin105° =2, 同理,b= asinB sinA = 2sin30° sin45° = 2. 已知两角与一边解三角形的步骤: (1)由三角形内角和定理求出第三个角; (2)由正弦定理求另外两边. 【变式训练1】(1)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,若a= 3,sinB= 1 2 ,C= π 6 ,则b= . (2)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 cosA= 4 5 ,cosC= 5 13 ,a=1,则b= . 解析 (1)在△ABC 中,由sinB= 1 2 ,可得B= π 6 或 B= 5π 6 , 因为C= π 6 , 所以B= π 6 ,从而A= 2π 3 , 由 a sinA = b sinB ,可得b=1. (2)由已知可得sinA= 3 5 ,sinC= 12 13 , 则sinB=sin(A+C)= 3 5 × 5 13 + 4 5 × 12 13 = 63 65 , 再由 a sinA = b sinB 可得b= 1× 63 65 3 5 = 21 13 . 答案 (1)1 (2) 21 13 探究二 已知三角形两边和其中一边的对角 解三角形 【例2】(1)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知A=60°,a=43,b=42,则B= . (2)在△ABC 中,已知a=2 3,b=6,A=30°,求B,C 和c. 分析 (1)由正弦定理的特点直接求解,注意三角形解 的个数问题. (2)利用正弦定理及内角和定理求解,注意三角形解的 个数问题. (1)解析 由正弦定理得 a sinA = b sinB . 把A=60°,a=43,b=42代入, 解得sinB= 2 2 , ∴B=45°或B=135°. ∵b<a,∴B<A. ∴B=45°. 答案 45° (2)解 由正弦定理得 a sinA = b sinB , 则sinB= bsinA a = 6sin30° 23 = 3 2 . 又a=23,b=6,a<b, ∴B=60°或B=120°. 当B=60°时,C=90°, 由正弦定理得 c sinC = a sinA , 则c= asinC sinA = 23sin90° sin30° =43; 当B=120°时,C=30°,c= asinC sinA = 23sin30° sin30° =23. 综上,B=60°,C=90°,c=43或B=120°,C=30°,c= 23. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的 方法: (1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值. 2
第九章 解三角形 且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状】 (2)当已知的角为大边所对的角时，由三角形中大 b 边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角 解法一由正弦定理可知nA一sinB一sinC 为锐角，由正弦值可求唯一锐角。 .sinA=sin'B+sinC,..a2=62+c2, (3)当已知的角为小边所对的角时，不能判断另一 ∴.A是直角，B+C=90°. 边所对的角为锐角，这时由正弦值可求出两个角，并分 .'.2sin Bcos C=2sin Bcos(90-B)=2sinB=sin A= 类讨论 1血8-号 【变式训练2】在△ABC中，c=6,C= 3a=2,求 0°aC>AA=子B=0 ∴.a2=b2+c2,∴.A是直角. .A=180-(B+C),sin A=2sin Bcos C, 而血晋=(--)=如（+）-× .'sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴.sin(B-C)=0. π 又-90°A=30° (2)化角为边：①利用边角互化公式将题目中的角 .B=45°或B=135 化为边：②利用分解因式、配方法等得到a,b,c的关系 当B=45时，C=180°-(A十B)=180°-(30°+45)= (如a=b,a2十b2=c2);③确定三角形形状. 105°. C 【变式训练3】在△ABC中，若sinA=2 sin Bcos C, 又snC=simA' 3
第九章 解三角形 (2)当已知的角为大边所对的角时,由三角形中大 边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角 为锐角,由正弦值可求唯一锐角. (3)当已知的角为小边所对的角时,不能判断另一 边所对的角为锐角,这时由正弦值可求出两个角,并分 类讨论. 【变式训练2】在△ABC 中,c= 6,C= π 3 ,a=2,求 A,B,b. 解 ∵ a sinA = c sinC , ∴sinA= asinC c = 2 2 ,∴A= π 4 或A= 3π 4 . 又c>a,∴C>A,∴A= π 4 ,∴B= 5π 12 , 而sin 5π 12 =sin π- π 3 - π 4 =sin π 3 + π 4 = 3 2 × 2 2 + 1 2 × 2 2 = 6+ 2 4 ,b= csinB sinC = 6×sin 5π 12 sin π 3 = 3+1. 探究三 判断三角形的形状 【例3】在△ABC 中,已知acosA=bcosB,试判断三 角形的形状. 分析 判断三角形形状通常从三角形内角的关系入手, 也可以从三角形三边关系入手.本题由条件式可考虑首先应 用正弦定理把边化为角,寻找三角形角与角之间的关系,然 后予以判定. 解 由正弦定理得 a b = sinA sinB . 已知acosA=bcosB,即 a b = cosB cosA , 所以 sinA sinB = cosB cosA , 即sinAcosA=sinBcosB,则sin2A=sin2B. 所以2A=2B 或2A=π-2B. 可得A=B 或A+B= π 2 . 因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 判断三角形形状有两种思路: (1)化边为角:①利用边角互化公式,将题目中的 边化为角;②利用三角恒等变换整理得到内角关系; ③结合三角函数单调性确定角的关系,进而确定三角 形形状. (2)化角为边:①利用边角互化公式将题目中的角 化为边;②利用分解因式、配方法等得到a,b,c的关系 (如a=b,a2+b2=c2);③确定三角形形状. 【变式训练3】在△ABC 中,若sinA=2sinBcosC, 且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状. 解法一 由正弦定理可知 a sinA = b sinB = c sinC , ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2, ∴A 是直角,B+C=90°, ∴2sinBcosC=2sinBcos(90°-B)=2sin2B=sinA= 1,∴sinB= 2 2 . ∵0°A=30°, ∴B=45°或B=135°. 当B=45°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)= 105°, 又 c sinC = a sinA , 3
数学 必修 第四册 配人教B版 c=asmC-2sim10s°_巨sim75 2x6+3 故△ABC为等腰三角形. 4 答案B sin A sin30° sin30° 2 3.在△ABC中，AB=5,A=45°，B=60°，则BC= 3+1. 解析利用正弦定理BC=AB sin A sin C' 当B=135°时，C=180°一(4+B)=180°一(30°+ 而C=180°-(A+B)=75°， 135)=15°， Ex6-② 故BC=ABsinA-V3sim45° c=asin C-2sinl5° sin C 4 sin75°=3-5. sin A sin30° 1 =5-1. 答案3-5 2 4.在△ABC中，若a=15,b=10,A=60°，则c0sB= .B=45°，C=105°，c=5+1或B=135°，C=15°，c= b 解析由正弦定理 5-1. sin A sin B' 随堂训练。。·。·。。 得o=nB…sB3 10 3 :bsinB,则A与B的大小关系 为(). A.A>B sB=vm五(- B.A<B 答案 C.A≥B D.A,B的大小关系不能确定 5在△ABC中，A=60,simB=之a=3,求三角形中其他 答案A 边与角的大小。 2.在△ABC中，若c=2 cos B,则△ABC的形状为( 解A=60°，.0°<B<120, A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 又sinB= 1 2 解析，c=2 acos B, ∴.B=30°，C=90° ∴.sinC=2 sin Acos B,又sinC=sin(A+B)= C sin Acos B+cos Asin B, 由正弦定理得6 sin B sin C sin A' ,∴，2 sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, sin B 故b sin30° sin Acos B-cos Asin B=0, sinA·a sin 60X3=3, ∴sin(A-B)=0.又-π<A-B<π， sin C sinA·a sin90° C= ∴.A-B=0,.A=B. sin60X3=23. 课后·训练提升 1.在△ABC中，如果a=√2，b=5,B=60°，那么A等 于(). B∈0，）mB≠0∴mA- A.135 B.90° C.45° D.30° 又A∈(，号)A=号故选A 解析a b sin Asin B" 答案A .'.sin A=asin B x 3.在△ABC中，如果acos B=bcos A,那么△ABC一定 2 是(). b A.锐角三角形 B.钝角三角形 a<b,A<B,∴.A=45° C.直角三角形 D.等腰三角形 答案C 解析，由正弦定理和已知条件可得sin Acos B= 2.在锐角三角形ABC中，A,B所对的边分别为a,b.若 sin Bcos A, 2 asin B=3b,则A等于(). .sin(A-B)=0,∴.A=B. A号 Co D登 该三角形是等腰三角形 答案D 解析由正弦定理和已知条件可得2 sin Asin B=3sinB,4.△ABC的三个内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若
数 学 必修 第四册 配人教B版 ∴c= asinC sinA = 2sin105° sin30° = 2sin75° sin30° = 2× 6+ 2 4 1 2 = 3+1. 当B=135°时,C=180°-(A+B)=180°-(30°+ 135°)=15°, ∴c= asinC sinA = 2sin15° sin30° = 2× 6- 2 4 1 2 = 3-1. ∴B=45°,C=105°,c= 3+1或B=135°,C=15°,c= 3-1. 随堂训练 1.在△ABC 中,若sinA>sinB,则 A 与B 的大小关系 为( ). A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B 的大小关系不能确定 答案 A 2.在△ABC 中,若c=2acosB,则△ABC 的形状为( ). A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 解析 ∵c=2acosB, ∴sinC=2sinAcosB,又sinC=sin(A +B)= sinAcosB+cosAsinB, ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB, 即sinAcosB-cosAsinB=0, ∴sin(A-B)=0.又-π<A-B<π, ∴A-B=0,∴A=B. 故△ABC 为等腰三角形. 答案 B 3.在△ABC 中,AB= 3,A=45°,B=60°,则BC= . 解析 利用正弦定理 BC sinA = AB sinC , 而C=180°-(A+B)=75°, 故BC= ABsinA sinC = 3sin45° sin75° =3- 3. 答案 3- 3 4.在△ABC中,若a=15,b=10,A=60°,则cosB= . 解析 由正弦定理 a sinA = b sinB , 得 15 sin60° = 10 sinB ,∴sinB= 3 3 , ∵b<a,∴B<A.故角B 为锐角, ∴cosB= 1-sin2B= 1- 3 3 2 = 6 3 . 答案 6 3 5.在△ABC 中,A=60°,sinB= 1 2 ,a=3,求三角形中其他 边与角的大小. 解 ∵A=60°,∴0°<B<120°, 又sinB= 1 2 , ∴B=30°,C=90°. 由正弦定理得 b sinB = c sinC = a sinA , 故b= sinB sinA ·a= sin30° sin60° ×3= 3, c= sinC sinA ·a= sin90° sin60° ×3=23. 课后·训练提升 1.在△ABC 中,如果a= 2,b= 3,B=60°,那么 A 等 于( ). A.135° B.90° C.45° D.30° 解析 ∵ a sinA = b sinB , ∴sinA= asinB b = 2× 3 2 3 = 2 2 . ∵a<b,∴A<B,∴A=45°. 答案 C 2.在锐角三角形 ABC 中,A,B 所对的边分别为a,b.若 2asinB= 3b,则A 等于( ). A. π 3 B. π 4 C. π 6 D. π 12 解析 由正弦定理和已知条件可得2sinAsinB= 3sinB, ∵B∈ 0, π 2 ,∴sinB≠0,∴sinA= 3 2 . 又A∈ 0, π 2 ,∴A= π 3 ,故选 A. 答案 A 3.在△ABC 中,如果acosB=bcosA,那么△ABC 一定 是( ). A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 解析 ∵ 由 正 弦 定 理 和 已 知 条 件 可 得 sinAcosB = sinBcosA, ∴sin(A-B)=0,∴A=B. ∴该三角形是等腰三角形. 答案 D 4.△ABC 的三个内角A,B,C 的对边边长分别为a,b,c,若 4
第九章解三角形 a= Fb,A=2B,则cosB=( 8在△4BC中，A=行a=5c,则2 5 解析由正弦定理知血A=“=5】 3 4 C. sin Cc 5 2π 解析a= b,A=2B. 即sinC= sin 3 1 -2 由正弦定理知“ b b 又a>c,∴C=r sin A-sin Bsin 2B-sin B" .cos B=5 ∴6=c,即2=1. 4 答案1 答案B 5.在△ABC中，若a=5,b=√2，B=45°，则A=( ). 9在△ABC中，B=45AC=0,msC-25 求BC的长 5 A30° B.30°或105°C.60° D.60°或120° 解由asC=25浮如C=-mC-5 51 解析：sinA=asin B_ b2 2 sinA=sin(180°-45°-C)=2 乞(cosC+sin C)= 又asin B<b<a,.该三角形有两解. 30 A=60°或A=120°. 101 答案D 6.在△ABC中，若(3b-c)cosA=acos C,则cosA= 由正弦定理，得=AC4V而x3@ 10 sin B =32. ② 解析由正弦定理和已知条件可得 (3sin B-sin C)cos A=sin Acos C, 10.在△ABC中，cosA= 13c0sB=3 .'.3sin Bcos A-sin Ccos A=sin Acos C. (1)求sinC的值： .3sin Bcos A=sin(A++C)=sin B, (2)设BC=5,求△ABC的面积. fom 解(1)由cosA= 得sinA= 5 13 3 答率号 由mB=子得mB=号 sinC=sin(π-A-B)=sin(A十B)=sin Acos B+ 7.在锐角三角形ABC中，已知a=4 bsin A,则cosB= cos Asin B=16 51 解析：a=4 bsin A.46=sin Asin B b 咖8= 四E花充，将CC急_x子只 sin A 12 3 13 :△ABC是锐角三角形， 故△ABC的面积S= B=品- zBC·AC·sinC= 十 5x3×6=8 答案 3653 第2课时 正孩定理的应用 课标定位 1.掌握正弦定理及三角形的面积公式 2.能够灵活应用正弦定理解决有关三角形解的个数问题、三角形中的证明问题等. 素养阐释 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养】
第九章 解三角形 a= 5 2 b,A=2B,则cosB=( ). A. 5 3 B. 5 4 C. 5 5 D. 5 6 解析 ∵a= 5 2 b,A=2B, 由正弦定理知 a sinA = b sinB ,∴ 5 2 b sin2B = b sinB , ∴cosB= 5 4 . 答案 B 5.在△ABC 中,若a= 3,b= 2,B=45°,则A=( ). A.30° B.30°或105°C.60° D.60°或120° 解析 ∵sinA= asinB b = 3× 2 2 2 = 3 2 , 又asinBc,∴C= π 6 ,∴B=π- 2π 3 - π 6 = π 6 =C, ∴b=c,即 b c =1. 答案 1 9.在△ABC中,B=45°,AC= 10,cosC= 25 5 ,求BC的长. 解 由cosC= 25 5 ,得sinC= 1-cos2C= 5 5 . sinA=sin(180°-45°-C)= 2 2 (cosC+sinC)= 3 10 10 . 由正弦定理,得BC= ACsinA sinB = 10× 3 10 10 2 2 =32. 10.在△ABC 中,cosA=- 5 13 ,cosB= 3 5 . (1)求sinC 的值; (2)设BC=5,求△ABC 的面积. 解 (1)由cosA=- 5 13 ,得sinA= 12 13 . 由cosB= 3 5 ,得sinB= 4 5 . sinC=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sinAcosB+ cosAsinB= 16 65 . (2)由正弦定理,得AC= BC·sinB sinA = 5× 4 5 12 13 = 13 3 , 故△ABC 的面积S= 1 2 BC·AC·sinC= 1 2 × 5× 13 3 × 16 65 = 8 3 . 第2课时 正弦定理的应用 课标定位 素养阐释 1.掌握正弦定理及三角形的面积公式. 2.能够灵活应用正弦定理解决有关三角形解的个数问题、三角形中的证明问题等. 3.加强逻辑推理和数学运算能力的培养. 5
数学 必修 第四册 配人教B版 课前·基础认知 正弦定理的应用 sin C=csin B=1. 【问题思考】 b 1填空： C=90°，.A=180°-90°-30°=60°， 正弦定理：a b ∴a=2-b=√42-22=25. mA-snB-nC=2R.(R为△ABC外 【思考辨析】 接圆的半径) 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里画 2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型？ “/”,错误的画“×” 提示(1)已知两角和一边解三角形：(2)已知两边和其 (1)在△ABC中，若sinA>sinB,则a>b. (√) 中一边的对角解三角形 (2)在△ABC中，有sinA=cos(B十C). (X) 3.做一做：在△ABC中，已知B=30°，c=4,b=2,解此 (3)在△ABC中，必有absin C=acsin B. (√) 三角形. b (④存在△ABC,使A=30,a= 2c=2. (X) 解在△ABC中，由正弦定理知 sin B sin C' 课堂 重难突破 【变式训练1】不解三角形，判断下列说法是否正确. 探究一三角形解的个数 (1)a=7,b=14,A=30°，有两解； 【例1】(1)在△ABC中，已知a=2,b=6,A=45°，则 (2)a=30,b=25,A=150°，有一解： 满足条件的三角形的个数是(). (3)a=6,b=9,A=45°，有两解： A.1 B.2 C.0 D.无法确定 (4)a=9,b=10,A=60°，无解. (2)在△ABC中，a=4.b=42,A=45°，则满足条件 解(1)a=bsin A,有一解，故说法错误 的三角形的个数是(). (2)A>90°，a>b,有一解，故说法正确. A.0 B.1 C.2 D.不确定 (3)aa>bsin A,有两解，故说法错误」 ∴.bsin Ab a<h bsin A asb cos CcoA=4R(cos A-cos C). 所以原式左边=4R2(cosB-cosA十cosC-cosB+ 解的 情况 一解 两解 无解 一解 无解 c0sA一cosC)=0=右边. 所以等式成立 6
数 学 必修 第四册 配人教B版 课前·基础认知 正弦定理的应用 【问题思考】 1.填空: 正弦定理: a sinA = b sinB = c sinC =2R.(R 为△ABC 外 接圆的半径) 2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型? 提示 (1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边和其 中一边的对角解三角形. 3.做一做:在△ABC 中,已知B=30°,c=4,b=2,解此 三角形. 解 在△ABC 中,由正弦定理知 b sinB = c sinC , ∴sinC= csinB b =1, ∴C=90°,∴A=180°-90°-30°=60°, ∴a= c2-b2 = 42-22 =23. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)在△ABC 中,若sinA>sinB,则a>b. (√) (2)在△ABC 中,有sinA=cos(B+C). (×) (3)在△ABC 中,必有absinC=acsinB. (√) (4)存在△ABC,使A=30°,a= 2 2 ,c=2. (×) 课堂·重难突破 探究一 三角形解的个数 【例1】(1)在△ABC 中,已知a=2,b= 6,A=45°,则 满足条件的三角形的个数是( ). A.1 B.2 C.0 D.无法确定 (2)在△ABC 中,a=4,b=4 2,A=45°,则满足条件 的三角形的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.不确定 解析 (1)∵bsinA= 6× 2 2 = 3, ∴bsinAb a≤b 解的 情况 一解 两解 无解 一解 无解 【变式训练1】不解三角形,判断下列说法是否正确. (1)a=7,b=14,A=30°,有两解; (2)a=30,b=25,A=150°,有一解; (3)a=6,b=9,A=45°,有两解; (4)a=9,b=10,A=60°,无解. 解 (1)a=bsinA,有一解,故说法错误. (2)A>90°,a>b,有一解,故说法正确. (3)aa>bsinA,有两解,故说法错误. 探究二 利用正弦定理证明恒等式 【例 2】 在 △ABC 中,求 证: a2-b2 cosA+cosB + b2-c2 cosB+cosC + c2-a2 cosC+cosA =0. 分析 观察等式的特点,式子中有边有角,要把边角统 一,为此利用正弦定理将a2,b2,c2 转化为sin2A,sin2B,sin2C. 证明 由 a sinA = b sinB = c sinC =2R(R 为△ABC 外接 圆半径), 得 a2-b2 cosA+cosB = 4R2sin2A-4R2sin2B cosA+cosB = 4R2[(1-cos2A)-(1-cos2B)] cosA+cosB = 4R2(cos2B-cos2A) cosA+cosB =4R2(cosB-cosA). 同理, b2-c2 cosB+cosC =4R2(cosC-cosB), c2-a2 cosC+cosA =4R2(cosA-cosC). 所以原式左边=4R2(cosB-cosA+cosC-cosB+ cosA-cosC)=0=右边. 所以等式成立. 6
第九章 解三角形 ①反思感悟 √6 利用正弦定理证明恒等式，既要用到三角形中特 解在△ABC中，由cosB=了，得sinB三 有的恒等变形公式，又要用到任意角的三角函数恒等 因为A十B十C=π， 变形公式，两者结合起来，灵活运用。 所以sinC=sin(A+B)=5 9 【变式训练2】在△ABC中，求证.os2A_o2B a2 62 因为sinC<sinB,所以C<B,可知C为锐角， 11 53 a2 62 所以cosC= 9 证明“品品 b 因此sinA=sin(B十C) =sin Bcos C+cos Bsin C .sin Asin B -6×55+5x622 a 9+3×g=3 .sin'Asin'B 3十 a2 由Q sin A sin C' :1-c0s2A1-0s2B 22 a2 b2 0s24_0s2B11 可得a=sin4 、39 sin C =2W3c, √6 a2 9 探究三正弦定理与三角函数的综合问题 又ac=25,所以c=1. 【例3】在△ABC中，已知asim2B=5 bsin A. 思想方法 (1)求角B: 应用转化与化归思想解三角形问题 (2)若cosA=3求sinC的值 【典例】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知asin C=√3 ccos A. 分析(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为关 (1)求角A: 于角B的三角函数式并求解；(2)利用三角形的内角和定理 及两角和的正弦公式求sinC的值. (2)若6=2，且香<B≤受求c的取值范围， 解(1)在△ABC中，由a b 分析(I)将边化为角，整理可得tanA,进而求得A的 sin A sin B' 大小：(2)由于已知b的值与B的范图，结合(1)及正弦定理 可得asin B=bsin A, 将c用tanB表示，再求c的取值范围， 又由asin2B=√3 bsin A, 得2 a sin Bcos B=√5 bsin A=√5 asin B, 解(1)由题意得， a 3cos A sin C 所以cosB= sin A sin C 2 3cos Asin C=1. 因为B∈(0，x),所以B= 6 tanA=3.:0<A<元，A= 3 (2)由msA=行，可得如A-2 3 (2)b=2,A= 3 则sinC=sin[π-(A+B)门=sin(A+B)= 如A+）=g。 mA+20sA=26+ 1 2sin C 2n(昏-B) ∴.c= 6 sin B sin B 3cos B+1= sin B nB十1， ①反思感悟 正弦定理与三角函数的综合问题主要涉及正弦定 :<B≤行l≤amB<E, 理与三角恒等变换的综合，先利用正弦定理求得相关 ∴.2≤c≤5+1，即c的取值范围为[2，W5+1]. 角（或其正弦值），再利用同角三角函数的基本关系式 反思感悟 与和、差、倍、半角等公式求解其他问题。 在解三角形时，常用正弦定理“化边为角”或“化角 为边”，从而发现三角形中各元素之间的关系，因此要 【变式训练3】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 理解并领悟转化与化归的数学思想，以便应用于要解 为a,b,c.已知cosB= 3,si血(A+B)= 9,ac=23,求 决的问题中 sinA和c的值. 【变式训练】在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对
第九章 解三角形 利用正弦定理证明恒等式,既要用到三角形中特 有的恒等变形公式,又要用到任意角的三角函数恒等 变形公式,两者结合起来,灵活运用. 【变式训练2】在△ABC 中,求证: cos2A a2 - cos2B b2 = 1 a2- 1 b2. 证明 ∵ a sinA = b sinB , ∴ sinA a = sinB b , ∴ sin2A a2 = sin2B b2 , ∴ 1-cos2A a2 = 1-cos2B b2 , ∴ cos2A a2 - cos2B b2 = 1 a2- 1 b2. 探究三 正弦定理与三角函数的综合问题 【例3】在△ABC 中,已知asin2B= 3bsinA. (1)求角B; (2)若cosA= 1 3 ,求sinC 的值. 分析 (1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为关 于角B 的三角函数式并求解;(2)利用三角形的内角和定理 及两角和的正弦公式求sinC 的值. 解 (1)在△ABC 中,由 a sinA = b sinB , 可得asinB=bsinA, 又由asin2B= 3bsinA, 得2asinBcosB= 3bsinA= 3asinB, 所以cosB= 3 2 , 因为B∈(0,π),所以B= π 6 . (2)由cosA= 1 3 ,可得sinA= 22 3 . 则sinC =sin[π- (A +B)]=sin(A +B)= sinA+ π 6 = 3 2 sinA+ 1 2 cosA= 26+1 6 . 正弦定理与三角函数的综合问题主要涉及正弦定 理与三角恒等变换的综合,先利用正弦定理求得相关 角(或其正弦值),再利用同角三角函数的基本关系式 与和、差、倍、半角等公式求解其他问题. 【变式训练3】在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别 为a,b,c.已知cosB= 3 3 ,sin(A+B)= 6 9 ,ac=2 3,求 sinA 和c的值. 解 在△ABC 中,由cosB= 3 3 ,得sinB= 6 3 , 因为A+B+C=π, 所以sinC=sin(A+B)= 6 9 . 因为sinC<sinB,所以C<B,可知C 为锐角, 所以cosC= 53 9 . 因此sinA=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC = 6 3 × 53 9 + 3 3 × 6 9 = 22 3 . 由 a sinA = c sinC , 可得a= csinA sinC = 22 3 c 6 9 =23c, 又ac=23,所以c=1. 思 想 方 法 应用转化与化归思想解三角形问题 【典例】在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知asinC= 3ccosA. (1)求角A; (2)若b=2,且 π 4 ≤B≤ π 3 ,求c的取值范围. 分析 (1)将边化为角,整理可得tanA,进而求得A 的 大小;(2)由于已知b的值与B 的范围,结合(1)及正弦定理 将c用tanB 表示,再求c的取值范围. 解 (1)由题意得, a 3cosA = c sinC ⇔ sinA 3cosA = sinC sinC =1, ∴tanA= 3.∵0<A<π,∴A= π 3 . (2)∵b=2,A= π 3 , ∴c= 2sinC sinB = 2sin 2π 3 -B sinB = 3cosB sinB +1= 3 tanB +1, ∵ π 4 ≤B≤ π 3 ,∴1≤tanB≤ 3, ∴2≤c≤ 3+1,即c的取值范围为[2,3+1]. 在解三角形时,常用正弦定理“化边为角”或“化角 为边”,从而发现三角形中各元素之间的关系,因此要 理解并领悟转化与化归的数学思想,以便应用于要解 决的问题中. 【变式训练】在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对 7
数学 必修 第四册 配人教B版 边分别为a,b,c,若osB+0sC=23sin4 b c 3sin C cos B+ √3sinB=2,则a十c的取值范围是 答案A 解析，osB+osC_23sinA b 3sin C 3.在△ABC中，若B=2Aa:b=1:5,则A= 解析由正弦定理得，a:b=sinA:sinB, ∴.ccos B+bcos C= 23bcsin A 23ab 3sin C 3 sin2A√3' ,所以A=30° .sin(BC)-2bsin A 3 2 答案30° osB+5nB=2,即2msB+ 2sin B=1, 4在△ABC中，若a=√2，b=2,sinB十cosB=2,则A= 对m(B十)=1B=子 解析“sinB十cosB=巨sim(B+天）=巨。 设△ABC外接圆的半径为R b ∴sim(B+F）=1, 剥2R=sB1, a+c=2R (sin A+sin C)=1x sin A+ 又0Bbsin C, 解（白6asA=号得如A-号 3 又c<b,∴此三角形有两解 答案B 5cos C=sin B=sin (A+C) 3 cos C+ 2在△MBC中，B=云，BC边上的高等于号BC,则 3sinC,所以tanC=5. sin∠BAC=(). (2)由1amC=5及0<C<,知0<C<受， A30 10 R细 c-0 D.-30 10 6,cos C=6 再由inC+cos2C=1,得inC=y30】 6 解析如图，设BC边上的高线为AD」 则BC=3AD,又B=年 由已知得sinB=5cosC=30 6 所以AD=BD,DC=2AD. 所以AC=√AD2+DC2=V5AD. 由正孩定理，得=mC2×@ 6 sin A =√5 5 mBsm2BAc,得6AD34D 由C BC 2 sin∠BAC' 1 P 所以△ABC的面积S= 2acsin B2XX3X 解得sin∠BAC=3 30_5 10 62 8
数 学 必修 第四册 配人教B版 边分别为a,b,c,若 cosB b + cosC c = 23sinA 3sinC ,cosB + 3sinB=2,则a+c的取值范围是 . 解析 ∵ cosB b + cosC c = 23sinA 3sinC , ∴ccosB+bcosC= 23bcsinA 3sinC = 23ab 3 , ∴sin(B+C)= 23bsinA 3 ,∴b= 3 2 . ∵cosB+ 3sinB=2,即 1 2 cosB+ 3 2 sinB=1, 则sinB+ π 6 =1,∴B= π 3 . 设△ABC 外接圆的半径为R, 则2R= b sinB =1, ∴a +c=2R (sin A +sinC)=1× sin A + sin 2π 3 -A = 3 2 sinA+ 3 2 cosA= 3sinA+ π 6 . ∵△ABC 为锐角三角形,且B= π 3 , ∴ π 6 bsinC, 又c<b,∴此三角形有两解. 答案 B 2.在 △ABC 中,B = π 4 ,BC 边 上 的 高 等 于 1 3 BC,则 sin∠BAC=( ). A. 3 10 10 B. 10 10 C.- 10 10 D.- 3 10 10 解析 如图,设BC 边上的高线为AD, 则BC=3AD,又B= π 4 , 所以AD=BD,DC=2AD, 所以AC= AD2+DC2 = 5AD. 由 AC sinB = BC sin∠BAC ,得 5AD 2 2 = 3AD sin∠BAC , 解得sin∠BAC= 3 10 10 . 答案 A 3.在△ABC 中,若B=2A,a∶b=1∶ 3,则A= . 解析 由正弦定理得,a∶b=sinA∶sinB, 所以 sinA sin2A = 1 3 ,则cosA= 3 2 ,所以A=30°. 答案 30° 4.在△ABC 中,若a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则A= . 解析 ∵sinB+cosB= 2sinB+ π 4 = 2, ∴sinB+ π 4 =1, 又0<B<π,∴ π 4 <B+ π 4 < 5π 4 , ∴B+ π 4 = π 2 ,∴B= π 4 . 由正弦定理,得 a sinA = b sinB , ∴sinA= asinB b = 2sin π 4 2 = 2× 2 2 2 = 1 2 , 又a<b,∴A<B,∴A= π 6 . 答案 π 6 5.在△ABC 中,已知cosA= 2 3 ,sinB= 5cosC. (1)求tanC 的值; (2)若a= 2,求△ABC 的面积. 解 (1)由cosA= 2 3 ,得sinA= 5 3 . 又 5cosC =sinB =sin(A +C)= 5 3 cosC + 2 3 sinC,所以tanC= 5. (2)由tanC= 5及0<C<π,知0<C< π 2 , 再由sin2C+cos2C=1,得sinC= 30 6 ,cosC= 6 6 , 由已知得sinB= 5cosC= 30 6 . 由正弦定理,得c= asinC sinA = 2× 30 6 5 3 = 3. 所以△ABC 的面积S= 1 2 acsinB= 1 2 × 2× 3× 30 6 = 5 2 . 8
第九章解三角形 课后·训练提升 1.由下列条件解△ABC,其中有两解的是( 解析由正孩定理知A品B b A.b=20.∠A=45°，∠C=80° B.a=30,c=28,∠A=60° 则asin B=bsin A,在△ABC中，0simB≤l, C.a=14,c=16,∠A=45 故asin B≤a,所以bsin A≤a,故选D. D.a=12,c=15,∠A=120 答案D 解析C选项中，16sin45°0),三式联 2停mc+9c 7 5. -3 = 立可求得a=2k,b=2k,c=2k, sin C++cos C 答案瓦 所以a:b:c=7:5:3, sin A sin B:sin C=7:5:3. 9.在△ABC中，AcC+sin Asin C+-B=子，且 答案C b2=ac. 5.在△ABC中，下列关系中一定成立的是( (1)求角B; A.a>bsin A B.a=bsin A C.a<bsin A D.a≥bsin A (2若a量A十CB判断此三角形的形状 9
第九章 解三角形 课后·训练提升 1.由下列条件解△ABC,其中有两解的是( ). A.b=20,∠A=45°,∠C=80° B.a=30,c=28,∠A=60° C.a=14,c=16,∠A=45° D.a=12,c=15,∠A=120° 解析 C选项中,∵16sin45°0),三式联 立可求得a= 7 2 k,b= 5 2 k,c= 3 2 k, 所以a∶b∶c=7∶5∶3, 即sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3. 答案 C 5.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( ). A.a>bsinA B.a=bsinA C.a<bsinA D.a≥bsinA 解析 由正弦定理知 a sinA = b sinB , 则asinB=bsinA,在△ABC 中,0<sinB≤1, 故asinB≤a,所以bsinA≤a.故选D. 答案 D 6.已知在△ABC 中,A= π 3 ,BC=3,则△ABC 的周长l= f(B)= . 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 AC sinB = BC sinA = 3 3 2 = 23,化简得AC=23sinB, AB sinπ- B+ π 3 = BC sinA = 3 3 2 =23,化简得AB=2 3sin 2π 3 -B ,所以三角形的 周长l=3+AC+AB=3+23sinB+23sin 2π 3 -B = 3+33sinB+3cosB=6sinB+ π 6 +3. 答案 6sinB+ π 6 +3 7.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,B=60°,b= 2,若这个三角形有两解,则a的取值范围是 . 解析 ∵△ABC 有两解, ∴asinB<b<a,即asin60°<2<a,∴2<a< 43 3 . 答案 2, 43 3 8.在△ABC 中,若a=1,A= π 4 ,则 2b sinC+cosC = . 解析 ∵a=1,A= π 4 , ∴ 1 2 2 = b sinB ,即b= 2sinB, ∴ 2b sinC+cosC = 2sinB sinC+cosC = 2sin 3π 4 -C sinC+cosC = 2 2 2 cosC+ 2 2 sinC sinC+cosC = 2. 答案 2 9.在△ABC 中,cosAcosC+sinAsinC+cosB= 3 2 ,且 b2=ac. (1)求角B; (2)若 a tanA + c tanC = 2b tanB ,判断此三角形的形状. 9
数学必修 第四册 配人教B版 解（I)己知AC十in Asin C-十cmsB=三，：cosB= 外接圆的半径) 所以Q b2 c2 a b cos(π-A-C)=-cos(A+C),∴.2 sin Asin C= 2又 R+4R4R-2R2R1 整理得a2+b2-c2=ab, 公=acB=in Asin C,2sirB=多，即nB 即a2+b2-c2-ab=0. 11.已知△ABC三边各不相等，A,B,C的对边分别为a,b, 了b2=ac,b不是最大边，故B为锐角，则B=608 c,且acos A=bosB,求十也的取值范围 ②+ic=A+m 解，acos A=bcos B,∴.sin AcosA=sin Bcos B. sin A sin C ∴.sin2A=sin2B. 2bcos B sin B ,利用正弦定理可得cosA十cosC=2cosB=1, 2A,2B∈(0,2π)，.2A=2B或2A十2B=元 :A+C-子msA+m(管-A)=2msA+ A=B支A+B=受 A=nA+》=1培<A+<A+ 如果A=B,那么a=b,不符合题意A十B=受 受A=C=号△ABC是等边三角形. :atb_imA+simB=inA十nB=sinA十 sin C 10.在△ABC中，(sinA+sinB)2-sim2C=3 sin Asin B,求 cosA=巨im(A+F） 证：a2+b2-c2-ab=0. 证明因为(sinA+sinB)2-sin2C=3 sin Asin B, abC=受∴A∈(o,U(年） 所以sim2A+sin2B-sin2C=sin Asin B. :at地e1w2). 又si血A=录simB=最imC=录R为△MBC 9.1.2 余弦定理 1.理解余弦定理的证明. 课标定位 2熟练掌握余弦定理及其变形，并会应用余弦定理及其变形解三角形. 素养阐释 3.能利用正、余弦定理解决与三角形相关的问题 4.体会数学抽象的过程，加强数学运算、逻辑推理能力的培养， 课前·基础认知 一、余弦定理 25. 【问题思考】 答案25 1.在Rt△ABC中，C=90°，有a2+b2=c2,此式在斜三 二、余弦定理的变形 角形中是否成立？ 【问题思考】 提示不成立 1.在△ABC中，若已知内角A,B,C所对的边分别为 2.填表： a,b,c,能否求角A? 语言描述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方 提示能.利用0sA=+-a且A∈(0，)求 和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 2bc a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B; 角A. 表达形式 c2=a2+62-2abcos C 2填空： 适用范围 对任意的三角形都成立 b2+c2-a2 余弦定理的变形：cOsA= 结构特征 “三边的平方”、两边及夹角的余弦 2bc,cos B= a2+c2-b 3.做一做：在△ABC中，若a=c=2,B=120°，则b= 2ac -.cos C=a2b2-c2 2ab 3.余弦定理及其变形对于任意三角形都成立吗？ 解析b=√a2+x2-2 ccos B=√？+2-2X2X20s120= 提示成立 10
数 学 必修 第四册 配人教B版 解 (1)已知cosAcosC+sinAsinC+cosB= 3 2 ,∵cosB= cos(π-A-C)=-cos A+C ,∴2sinAsinC= 3 2 ,又 b2=ac,∴sin2B=sinAsinC,∴2sin2B= 3 2 ,即sinB= 3 2 .∵b2=ac,∴b不是最大边,故B 为锐角,则B=60°. (2)由 a tanA + c tanC = 2b tanB ,得 acosA sinA + ccosC sinC = 2bcosB sinB ,利用正弦定理可得cosA+cosC=2cosB=1, ∵A+C= 2π 3 ,∴cosA+cos 2π 3 -A = 1 2 cosA+ 3 2 sinA=sinA+ π 6 =1.∵ π 6 <A+ π 6 < 5π 6 ,∴A+ π 6 = π 2 .∴A=C= π 3 ,∴△ABC 是等边三角形. 10.在△ABC 中,(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB,求 证:a2+b2-c2-ab=0. 证明 因为(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB, 所以sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB. 又sinA= a 2R ,sinB= b 2R ,sinC= c 2R (R 为△ABC 外接圆的半径), 所以 a2 4R2+ b2 4R2- c2 4R2= a 2R · b 2R , 整理得a2+b2-c2=ab, 即a2+b2-c2-ab=0. 11.已知△ABC 三边各不相等,A,B,C 的对边分别为a,b, c,且acosA=bcosB,求 a+b c 的取值范围. 解 ∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB. ∴sin2A=sin2B. ∵2A,2B∈(0,2π),∴2A=2B 或2A+2B=π. ∴A=B 或A+B= π 2 . 如果A=B,那么a=b,不符合题意,∴A+B= π 2 . ∴ a+b c = sinA+sinB sinC =sinA+sinB=sinA+ cosA= 2sinA+ π 4 . ∵a≠b,C= π 2 ,∴A∈ 0, π 4 ∪ π 4 , π 2 , ∴ a+b c ∈(1,2). 9.1.2 余弦定理 课标定位 素养阐释 1.理解余弦定理的证明. 2.熟练掌握余弦定理及其变形,并会应用余弦定理及其变形解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决与三角形相关的问题. 4.体会数学抽象的过程,加强数学运算、逻辑推理能力的培养. 课前·基础认知 一、余弦定理 【问题思考】 1.在Rt△ABC 中,C=90°,有a2+b2=c2,此式在斜三 角形中是否成立? 提示 不成立. 2.填表: 语言描述 三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方 和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 表达形式 a 2=b 2+c 2-2bccosA;b 2=a 2+c 2-2accosB; c 2=a 2+b 2-2abcosC 适用范围 对任意的三角形都成立 结构特征 “三边的平方”、两边及夹角的余弦 3.做一做:在△ABC 中,若a=c=2,B=120°,则b= . 解析 b= a2+c2-2accosB= 22+22-2×2×2cos120°= 23. 答案 23 二、余弦定理的变形 【问题思考】 1.在△ABC 中,若已知内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,能否求角A? 提示 能.利用cosA = b2+c2-a2 2bc 且A ∈ (0,π)求 角A. 2.填空: 余弦 定 理 的 变 形:cos A = b2+c2-a2 2bc ,cosB = a2+c2-b2 2ac ,cosC= a2+b2-c2 2ab . 3.余弦定理及其变形对于任意三角形都成立吗? 提示 成立. 10