第四章数列 4.1 数列的概念 第1课时数列的基本概念与通项公式 素养·目标定位 目标素养 知识概览 定义 数列的定义 数列的项 数列的首项 L.理解数列及其有关概念，提升数学抽象核心素养 数列与函数的关系 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的 任意一项，提升逻辑推理和数学运算核心素养. 按项数分：有穷数列、无穷 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一 数列的概 数列的 数列 个通项公式，提升逻辑推理核心素养. 分类 按项的变化分：递增数列、 递减数列、常数列 通项公式 课前·基础认知 1.数列及其有关概念 提示 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数 列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个 位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二 个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示…第n 个位置上的数叫做这个数列的第n项，用a。表示.其中第 1项也叫做首项， 数列的一般形式是a1a2,…,am…,简记为{a.. 如图，数列可以看成以正整数集N”(或它的有限子集 微思考D数列的项和它的项数是否相同？ {1,2,…,n})为定义域的函数，a.=f()是当自变量从1开 提示数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是 始，按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 指这个数列中的某一个确定的数，而项数是指该数列中的项 不同之处是定义域，数列中的必须是从1开始且连续的正 的个数. 整数，函数的定义域可以是任意非空数集」 2.数列与函数的关系 3.数列的分类 数列{an}是从正整数集N”(或它的有限子集{1,2，…， 类别 含义 n})到实数集R的函数，其自变量是序号n,对应的函数值是 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 数列的第n项am,记为a.=f(n),与其他函数一样，数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 也可以用表格和图象来表示 微据究数列的通项公式a.=f(n)与函数解析式 常数列 各项都相等的数列 y=f(x)有什么异同？ 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列
第四章 数列 4.1 数列的概念 第1课时 数列的基本概念与通项公式 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.理解数列及其有关概念,提升数学抽象核心素养. 2.理解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的 任意一项,提升逻辑推理和数学运算核心素养. 3.对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一 个通项公式,提升逻辑推理核心素养. 课前·基础认知 1.数列及其有关概念 一般地,我们把按照 确定的 顺序排列的一列数称为数 列,数列中的每一个数叫做这个数列的 项 .数列的第一个 位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1 表示,第二 个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2 表示……第n 个位置上的数叫做这个数列的第n项,用 an 表示.其中第 1项也叫做 首项 . 数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}. 微思考 1 数列的项和它的项数是否相同? 提示 数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是 指这个数列中的某一个确定的数,而项数是指该数列中的项 的个数. 2.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集 N* (或它的有限子集{1,2,…, n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是 数列的第n项an,记为 an=f(n).与其他函数一样,数列 也可以用表格和图象来表示. 微探究 数列的通项公式an=f(n)与函数解析式 y=f(x)有什么异同? 提示 如图,数列可以看成以正整数集 N* (或它的有限子集 {1,2,…,n})为定义域的函数,an=f(n)是当自变量从1开 始,按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 不同之处是定义域,数列中的n必须是从1开始且连续的正 整数,函数的定义域可以是任意非空数集. 3.数列的分类 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都 大于 它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 1
数学 选择性必修第二册 配人教A版 4.通项公式 是递增数列，故选D, 如果数列{a.}的第n项a。与它的序号n之间的对应关 系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 微训练2(1)数列2,3,4,5，…的一个通项公式 通项公式· 为( 微思考2是不是所有数列都能写出通项公式？若 A.a.=n B.a.=n十1 数列有通项公式，则通项公式的表达式是唯一的吗？ C.a.=n十2 D.a=2n 提示不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项 (2)已知数列{a.)的通项公式a,=一”，则 公式，则通项公式的表达式不一定唯一 2n-1 微训练D下列叙述正确的是( ) 41= aa+1= A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 答案(1)B(2)1 (-1)"(n+1) 2m+1 B.数列0.1,2,3，…可以表示为{n} 解析(1)这个数列的前4项都比序号大1，故它的一个 C.数列0,1,0,1，…是常数列 通项公式为an=n十1. n数列{} 是递增数列 (-1)1-1×1 (2)a1=2×1-1 =1,am+1= (-1)+-1(n+1_ 答案D 2(n+1)-1 (-1)"(n+1) 解析由数列的通项公式a。 17 n十1，知 2n+1 n+1 am+1一am n十2n十(n+2)(m+1>0, 课堂·重难突破 数列的概念及分类 ②由数列的图象可知，只要每一项对应的点比它前 典例剖析 面相邻的一项对应的点高（低），即图象呈上升（下降）趋 势，则为递增（减）数列. 1.下列数列既是无穷数列又是递增数列的是( A1写安 学以致用 2π 3π 4π 1.下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些 是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ c-1-g… (1)2014,2016,2018,2020,2022: 12n-1 D.1,2,3,4,…,30 (2023…, n 答案C 11 1 111 解析数列1,33…是无穷数列，但不是递增数 (31,2…2… (4)9,9,9,9,9,9. 3π 4π 列，而是递减数列：数列si血3in3in3,in时…是无 解(1)(4)是有穷数列：(2)(3)是无穷数列：(1)(2)是递 穷数列，但它既不是递增数列，又不是递减数列：数列 增数列：(3)是递减数列：(4)是常数列 一1子了…是无穷级列，也是运将软列：我到 由数列的前几项写出数列的一个通项 公式 1,2,3,4,…,30是递增数列，但不是无穷数列. 规律总结 典例剖析 处理数列分类问题的技巧： 2.根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： (1)有穷数列与无穷数列 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观 （2号8… 察数列是有限项还是无限项.若数列是有限项，则该数列 (2)9,99,999,9999,: 是有穷数列，否则为无穷数列。 1 1 1 1 (2)递增数列与递减数列 (3)-1X22X33X4'4X5 ①观察从第2项起，数列中每一项与前一项的大小 解(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都 关系，依据定义进行判断： 14916 统一成分数再观察，豆2豆2…
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 4.通项公式 如果数列{an}的第n项an 与它的序号n之间的对应关 系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 通项公式 . 微思考 2 是不是所有数列都能写出通项公式? 若 数列有通项公式,则通项公式的表达式是唯一的吗? 提示 不是所有数列都能写出通项公式,若数列有通项 公式,则通项公式的表达式不一定唯一. 微训练 1 下列叙述正确的是( ). A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n} C.数列0,1,0,1,…是常数列 D.数列 n n+1 是递增数列 答案 D 解析 由数列的通项公式an= n n+1 ,知 an+1-an= n+1 n+2 - n n+1 = 1 (n+2)(n+1)>0, 即数列 n n+1 是递增数列,故选D. 微训练 2 (1)数列 2,3,4,5,… 的一个通项公式 为( ). A.an=n B.an=n+1 C.an=n+2 D.an=2n (2)已知数列{an}的通项公式an = (-1)n-1·n 2n-1 ,则 a1= ,an+1= . 答案 (1)B (2)1 (-1)n(n+1) 2n+1 解析 (1)这个数列的前4项都比序号大1,故它的一个 通项公式为an=n+1. (2)a1 = (-1)1-1×1 2×1-1 =1,an+1 = (-1)n+1-1(n+1) 2(n+1)-1 = (-1)n(n+1) 2n+1 . 课堂·重难突破 一 数列的概念及分类 典例剖析 1.下列数列既是无穷数列又是递增数列的是( ). A.1, 1 3 , 1 32, 1 33,… B.sin π 13 ,sin 2π 13 ,sin 3π 13 ,sin 4π 13 ,… C.-1,- 1 2 ,- 1 3 ,- 1 4 ,… D.1,2,3,4,…,30 答案 C 解析 数列1, 1 3 , 1 32, 1 33,…是无穷数列,但不是递增数 列,而是递减数列;数列sin π 13 ,sin 2π 13 ,sin 3π 13 ,sin 4π 13 ,…是无 穷数列,但 它 既 不 是 递 增 数 列,又 不 是 递 减 数 列;数 列 -1,- 1 2 ,- 1 3 ,- 1 4 ,…是无穷数列,也是递增数列;数列 1,2,3,4,…,30是递增数列,但不是无穷数列. 处理数列分类问题的技巧: (1)有穷数列与无穷数列 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,只需观 察数列是有限项还是无限项.若数列是有限项,则该数列 是有穷数列,否则为无穷数列. (2)递增数列与递减数列 ①观察从第2项起,数列中每一项与前一项的大小 关系,依据定义进行判断; ②由数列的图象可知,只要每一项对应的点比它前 面相邻的一项对应的点高(低),即图象呈上升(下降)趋 势,则为递增(减)数列. 学以致用 1.下列数列哪些是有穷数列? 哪些是无穷数列? 哪些 是递增数列? 哪些是递减数列? 哪些是常数列? (1)2014,2016,2018,2020,2022; (2)0, 1 2 , 2 3 ,…, n-1 n ,…; (3)1, 1 2 , 1 4 ,…, 1 2n-1,…; (4)9,9,9,9,9,9. 解 (1)(4)是有穷数列;(2)(3)是无穷数列;(1)(2)是递 增数列;(3)是递减数列;(4)是常数列. 二 由数列的前几项写出数列的一个通项 公式 典例剖析 2.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式: (1) 1 2 ,2, 9 2 ,8,…; (2)9,99,999,9999,…; (3)- 1 1×2 , 1 2×3 ,- 1 3×4 , 1 4×5 ,…. 解 (1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都 统一成分数再观察, 1 2 , 4 2 , 9 2 , 16 2 ,…, 2
第四章 数列 n2 即它的一个通项公式为a。= 数列的通项公式的应用 (2)各项加1后，变为10,100,1000,10000，…，此数列 典例剖析 的通项公式为10"，可得原数列的一个通项公式为4.= 10"-1. (-1)"(n+1) 3.已知数列{a.的通项公式为a.=2-1)(2m十1 (3)这个数列前4项的分母都是序号数乘比序号数大1 (1)写出它的第10项： 的数，并且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式为 10* 《2)判断是不是该数列中的项 n(n+1) (-1)10×1111 规律总结 解(1)ao= 19×21 399 1.根据所给数列的前几项求其通项公式 n+1 2 时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (2)令2m-102m+1D-3 (1)分式（分数）中分子、分母的特征： 化简得8m2-33n-35=0. (2)相邻项的变化特征： (3)拆项后的特征： 解得m=5或n=-日（舍去》 (4)各项符号的特征等： 22 最后，对以上特征进行归纳、联想 当n=5时，a=一33≠3： 2.观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出 项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数 女后不是接数列的项 列（如自然数列、奇偶数列等）来转换而使问题得到解决 对于正负符号的变化，可用（一1）或（一1）+1来表示. 规律总结」已知数列{a,}的通项公式，判断某一个数 是不是数列{a.}的项，即令通项公式等于该数，解关于n 学以致用 的方程，若解得n为正整数k,则该数为数列{a.}的第飞 项，若关于n的方程无解或有非正整数解，则该数不是数 2,根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： 列{an}的项. 121.32-142-153-1 23,45… 学以致用 (2)7,77,777,7777,…. 3.已知数列{a.}的每一项是它的序号的算术平方根加 解(1)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数， 上序号的2倍 分子都是比序号大1的数的平方减1，故它的一个通项公式 (1)求这个数列的第4项与第25项： 为a=n十1)2-1 n+1 (2)253和153是不是这个数列的项？如果是，是第 (2)这个载列的前4项可以支为号×0，日×9，日× 几项？ 7 解(1)由题意，知a.=m十2. 7 999,9×9999, 则a4=-4+2X4=10,a5=√25+2×25=55. (2)假设253是这个数列的项，则253=√m+2m, 即号×10-10，号×100-10，号×100-1，g× 解得n=121, 故253是这个数列的第121项. (10000-1) ×10-1.×102-1).号×(10-1.号× 假设153是这个数列的项，则153=√n十2m, 7 解得n=289 这与n是正整数矛盾，故153不是这个数 （10-1),故它的一个通项公式为a.=写×(10-1D。 7 列的项 随堂训练 1.有下面四个说法： ①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子 A.① B.①② C.③④ D.②④ 集)上的函数： 答案A ②数列的项数一定是无限的： 解析结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷 ③数列的通项公式的形式是唯一的： 数列的项数是有限的，因此②错误：数列的通项公式的形 ④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式。 式不一定唯一，③错误：数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，… 其中正确的是( 存在通项公式，④错误.故选A
第四章 数列 即它的一个通项公式为an= n2 2 . (2)各项加1后,变为10,100,1000,10000,…,此数列 的通项公式为 10n,可得原数列的一个通项公式为an= 10n -1. (3)这个数列前4项的分母都是序号数乘比序号数大1 的数,并且奇数项为负,偶数项为正,故它的一个通项公式为 an= (-1)n n(n+1). 1.根据所给数列的前几项求其通项公式 时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征: (1)分式(分数)中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号的特征等; 最后,对以上特征进行归纳、联想. 2.观察、分析数列中各项的特点是最重要的,观察出 项与序号之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数 列(如自然数列、奇偶数列等)来转换而使问题得到解决. 对于正负符号的变化,可用(-1)n 或(-1)n+1 来表示. 学以致用 2.根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式: (1) 22-1 2 , 32-1 3 , 42-1 4 , 52-1 5 ,…; (2)7,77,777,7777,…. 解 (1)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数, 分子都是比序号大1的数的平方减1,故它的一个通项公式 为an= (n+1)2-1 n+1 . (2)这个数列的前4项可以变为 7 9 ×9, 7 9 ×99, 7 9 × 999, 7 9 ×9999, 即 7 9 ×(10-1), 7 9 ×(100-1), 7 9 ×(1000-1), 7 9 × (10000-1), 即 7 9 ×(10-1), 7 9 ×(102-1), 7 9 ×(103-1), 7 9 × (104-1),故它的一个通项公式为an= 7 9 ×(10n -1). 三 数列的通项公式的应用 典例剖析 3.已知数列{an}的通项公式为an= (-1)n(n+1) (2n-1)(2n+1). (1)写出它的第10项; (2)判断 2 33 是不是该数列中的项. 解 (1)a10= (-1)10×11 19×21 = 11 399 . (2)令 n+1 (2n-1)(2n+1)= 2 33 , 化简得8n2-33n-35=0, 解得n=5或n=- 7 8 (舍去). 当n=5时,a5=- 2 33 ≠ 2 33 . 故 2 33 不是该数列的项. 已知数列{an}的通项公式,判断某一个数 是不是数列{an}的项,即令通项公式等于该数,解关于n 的方程,若解得n为正整数k,则该数为数列{an}的第k 项,若关于n的方程无解或有非正整数解,则该数不是数 列{an}的项. 学以致用 3.已知数列{an}的每一项是它的序号的算术平方根加 上序号的2倍. (1)求这个数列的第4项与第25项; (2)253和153是不是这个数列的项? 如果是,是第 几项? 解 (1)由题意,知an= n+2n. 则a4= 4+2×4=10,a25= 25+2×25=55. (2)假设253是这个数列的项,则253= n+2n, 解得n=121, 故253是这个数列的第121项. 假设153是这个数列的项,则153= n+2n, 解得n= 289 4 ,这与n是正整数矛盾,故153不是这个数 列的项. 随堂训练 1.有下面四个说法: ①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子 集)上的函数; ②数列的项数一定是无限的; ③数列的通项公式的形式是唯一的; ④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,…不存在通项公式. 其中正确的是( ). A.① B.①② C.③④ D.②④ 答案 A 解析 结合数列的定义与函数的概念可知,①正确;有穷 数列的项数是有限的,因此②错误;数列的通项公式的形 式不一定唯一,③错误;数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,… 存在通项公式,④错误.故选 A. 3
数学 选择性必修第二册 配人教A版 2.已知数列a.的通项公式为a.=1+(一1) 一，则该数列 2 C.a,=n(m+1) 2 的前4项依次为( D.a.=n2+1 A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 答案C c7o70 1 D.2,0,2,0 解析令n=1,2,3,4,分别代入选项A,B,C,D中检验， 即可排除A,B,D,故选C. 答案A 1 1 解析当n分别等于1,2,3,4时，数列{a.}的前4项依次 5已知数列a,}的通项公式为a,-nm十2那么20是这 为1,0.1,0. 个数列的第 项 3.已知数列{a.}满足a1>0,2a+1=a。,则数列{a.} 答案10 是(). 1 1 A.递增数列 解析由 (m+2=120,得n(n+2)=10X12,解得n= B.递减数列 10或n=-12(舍去)」 C.常数列 6.在数列{a.}中，a1=2,a?=66,通项公式am是关于n的 D.以上都不对 一次函数 答案B (1)求数列{a.}的通项公式： 1 (2)88是不是数列{a.}中的项？ 解析a1>0,a+1=2am 解(1)设an=kn十b,k≠0， 0≥0=1， 则a1=k+b=2, a17=17k+b=66 解得作二4， b=-2. a+1<a。,∴数列{an}是递减数列. 故an=4n-2. 4.数列1,3,6,10，…的一个通项公式是(). (2)令am=88,即4n-2=88, A.an=n2-n十1 解得n=22.5任N·. B.a,=1(n-1) 故88不是数列{am}中的项. 2 课后·训练提升 基础·巩固 解析由n2-n一50=一8，得n=7或n=一6（舍去）. 1.下列说法正确的是(). 4数列号，专，号号-的第10项是( A.数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的 16 B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的 A 18 B.9 c 器 c数列+ 是递增数列 答案C 解析由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a。= D数列+引是通诚数列 2n 2n十，当n=10时ao= 2×1020 2×10+12i 答案D 5.数列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一个通项公式am等 解析数列是有序的，而数集是无序的，故选项A,B不正 于() 确：选项C中的数列是递减数列：选项D中的数列是递减 1 1 数列. A.g10-1D B3(10"-1) 2.在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于(. A.11 B.12 C.13 D.14 c-) n10-1D 答案C 答案C 解析观察可知，该数列从第3项开始每一项都等于它前 解析代入n=1检验，排除选项A,B,D,故选C 面相邻两项的和，故x=5十8=13. 6.数列-1,3，一7,15，…的一个通项公式可以是( ). 3.已知数列{a.}的通项公式为a.=n2-n一50，则-8是该 A.am=(-1)·(2-1) 数列的(). B.an=(-1)"·(2m-1) A.第5项 B.第6项 C.an=(-1)+·(2"-1) C.第7项 D.非任何一项 D.a.=(-1)+1·(2-1) 答案C 答案A
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 2.已知数列{an}的通项公式为an= 1+(-1)n+1 2 ,则该数列 的前4项依次为( ). A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C. 1 2 ,0, 1 2 ,0 D.2,0,2,0 答案 A 解析 当n分别等于1,2,3,4时,数列{an}的前4项依次 为1,0,1,0. 3.已 知 数 列 {an}满 足 a1 >0,2an+1 =an,则 数 列 {an} 是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上都不对 答案 B 解析 ∵a1>0,an+1= 1 2 an, ∴an>0,∴ an+1 an = 1 2 <1, ∴an+1<an,∴数列{an}是递减数列. 4.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( ). A.an=n2-n+1 B.an= n(n-1) 2 C.an= n(n+1) 2 D.an=n2+1 答案 C 解析 令n=1,2,3,4,分别代入选项 A,B,C,D中检验, 即可排除 A,B,D,故选C. 5.已知数列{an}的通项公式为an= 1 n(n+2) ,那么 1 120 是这 个数列的第 项. 答案 10 解析 由 1 n(n+2)= 1 120 ,得n(n+2)=10×12,解得n= 10或n=-12(舍去). 6.在数列{an}中,a1=2,a17=66,通项公式an 是关于n 的 一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)88是不是数列{an}中的项? 解 (1)设an=kn+b,k≠0, 则 a1=k+b=2, a17=17k+b=66, 解得 k=4, b=-2. 故an=4n-2. (2)令an=88,即4n-2=88, 解得n=22.5∉N* . 故88不是数列{an}中的项. 课后·训练提升 基础 巩固 1.下列说法正确的是( ). A.数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的 B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的 C.数列 1+ 1 n 是递增数列 D.数列 1+ 1 n2 是递减数列 答案 D 解析 数列是有序的,而数集是无序的,故选项 A,B不正 确;选项C中的数列是递减数列;选项 D中的数列是递减 数列. 2.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x 等于( ). A.11 B.12 C.13 D.14 答案 C 解析 观察可知,该数列从第3项开始每一项都等于它前 面相邻两项的和,故x=5+8=13. 3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该 数列的( ). A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.非任何一项 答案 C 解析 由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去). 4.数列 2 3 , 4 5 , 6 7 , 8 9 ,…的第10项是( ). A. 16 17 B. 18 19 C. 20 21 D. 22 23 答案 C 解析 由数列的前4项可知,数列的一个通项公式为an= 2n 2n+1 ,当n=10时,a10= 2×10 2×10+1 = 20 21 . 5.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式an 等 于( ). A. 1 9 (10n -1) B. 1 3 (10n -1) C. 1 3 1- 1 10n D. 3 10 (10n -1) 答案 C 解析 代入n=1检验,排除选项 A,B,D,故选C. 6.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是( ). A.an=(-1)n·(2n -1) B.an=(-1)n·(2n-1) C.an=(-1)n+1·(2n -1) D.an=(-1)n+1·(2n-1) 答案 A 4
第四章数列 解析数列各项正、负交替，故可用（一1）”来调节，又1= 21-1,3=22-1,7=23-1,15=2-1,…,故通项公式为 拓展·提高 an=(-1)”·(2-1). 1,第七届国际数学教育大会（简称ICME-7)的会徽图案如 7已知数列{a.}的通项公式是a,-那么这个数列 图①所示，会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而 成的，如图②，其中OA1=A1A2=A2A1=…=A,Ag=1, 是(). 如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记 A递增数列 OA1,OA2,…,OA。,…的长度构成数列{an},那么此数列 B.递减数列 的通项公式为(). C.常数列 D.以上说法均不正确 答案A 解析a.-”一} n+1 12 千当n≥2时，a-a1=1- 222 2 图① 图② 是递增数列」 A.a=n 8.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，√5，√5，万， Ban=n十I C.a=n D.a=n2 ,1,… 答案3 答案C 解析因为数列的前几项中根号下的数都是由小到大的 解析OA1=1,OA2=√2，OA=3,…,OA.=√m,… 奇数，所以需要填空的数为√=3 a1=1,a2=√2，a3=3,…,am=n. 9.323是数列{n(n十2)}的第项. 1 2.设数列(a,}的通项公式为a.=n市十n十2十 答案17 1 1 解析由a。=n2+21=323,解得n=17或n=-19 n+3十…+ 元那么at1-a.等于( (舍去). 1 故323是数列{n(n十2)}的第17项， A2十门 B.2n+2 10.若数列{a.}的通项公式是a。=3一2，则a2= 1 1 1 1 d2 C.2m+十2m+2 D.2n+2m+2 0 答案D 答案3-吉 1 1 1 1 解析a.=十市十n十2十m十3十+20 解析根据通项公式可以求出这个数列的任意一项 1 1 1,1 ∴.am+1 因为a.=3-2”,所以a2=3-22=3-4,22= n+2十n+3++2n+2m+十2n+2 1 1 1 3-221 六a1-a.=2m++2n+2n+-2n中 3-2=5 1 11.在数列{a.}中，an=n(n一8)一20，请回答下列问题： 2n+2 (1)这个数列共有几项为负数？ 3.设数列{am}的通项公式为am=一2n2十29n十3，则数列 (2)这个数列从第几项开始递增？ {a.}的最大项是( ). (3)这个数列中有没有最小值？若有，求出最小值：若没 A.103 B566 C2 D.108 有，请说明理由 8 8 解(1)因为a.=n(n-8)-20=(n十2)(n-10),所以当 答案D 00时， .当n=7时，am取得最大值，最大值为a?=一2X 心子故就列以第4项开始适瑞 72+29×7+3=108.故选D. 1234 (3)a.=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函 4已知数列2,3,5…，那么0.94,0.96,0.98.0.99 数的性质知， 中是该数列中某一项值的数有(). 当n=4时，am取得最小值-36，即数列中有最小 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 值，最小值为一36. 答案C
第四章 数列 解析 数列各项正、负交替,故可用(-1)n 来调节,又1= 21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,…,故通项公式为 an=(-1)n·(2n -1). 7.已知数列{an}的通项公式是an = n-1 n+1 ,那么这个数列 是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.以上说法均不正确 答案 A 解析 an= n-1 n+1 =1- 2 n+1 ,当n≥2时,an-an-1=1- 2 n+1 - 1- 2 n = 2 n - 2 n+1 = 2 n(n+1)>0,故数列{an} 是递增数列. 8.观察数列的特点,用一个适当的数填空:1,3,5,7, , 11,…. 答案 3 解析 因为数列的前几项中根号下的数都是由小到大的 奇数,所以需要填空的数为 9=3. 9.323是数列{n(n+2)}的第 项. 答案 17 解析 由an =n2 +2n=323,解得n=17 或n= -19 (舍去). 故323是数列{n(n+2)}的第17项. 10.若 数 列 {an }的 通 项 公 式 是 an =3-2n,则 a2n = , a2 a3 = . 答案 3-4n 1 5 解析 根据通项公式可以求出这个数列的任意一项. 因为an=3-2n,所以a2n=3-22n =3-4n, a2 a3 = 3-22 3-23= 1 5 . 11.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题: (1)这个数列共有几项为负数? (2)这个数列从第几项开始递增? (3)这个数列中有没有最小值? 若有,求出最小值;若没 有,请说明理由. 解 (1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当 00时, n> 7 2 ,故数列{an}从第4项开始递增. (3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函 数的性质知, 当n=4时,an 取得最小值-36,即数列中有最小 值,最小值为-36. 拓展 提高 1.第七届国际数学教育大会(简称ICME 7)的会徽图案如 图①所示,会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而 成的,如图②,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1, 如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去,记 OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},那么此数列 的通项公式为( ). A.an=n B.an= n+1 C.an= n D.an=n2 答案 C 解析 ∵OA1=1,OA2= 2,OA3= 3,…,OAn= n,…, ∴a1=1,a2= 2,a3= 3,…,an= n. 2.设 数 列 {an }的 通 项 公 式 为 an = 1 n+1 + 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 2n ,那么an+1-an 等于( ). A. 1 2n+1 B. 1 2n+2 C. 1 2n+1 + 1 2n+2 D. 1 2n+1 - 1 2n+2 答案 D 解析 ∵an= 1 n+1 + 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 2n , ∴an+1= 1 n+2 + 1 n+3 +…+ 1 2n + 1 2n+1 + 1 2n+2 , ∴an+1 -an = 1 2n+1 + 1 2n+2 - 1 n+1 = 1 2n+1 - 1 2n+2 . 3.设数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,则数列 {an}的最大项是( ). A.103 B. 865 8 C. 825 8 D.108 答案 D 解析 ∵an=-2n- 29 4 2 +2× 292 16 +3, ∴当n=7时,an 取得最大值,最大值为a7=-2× 72+29×7+3=108.故选D. 4.已知数列 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99 中是该数列中某一项值的数有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C 5
数学 选择性必修第二册 配人教A版 解折载列宁，号子专一的道项公式方，=升 n 挑战·创新 9447 9624 9849 0.94=100-500.96=100-25,0.98=100-50,0.99= 已知数列{a,}的通项公式为a.=9m-9n十2 9m2-1 器中尝锡器都在数到(}中该有3个 (1)求证：该数列是递增数列： 2",n是奇数， (2在区间（合号）内有设有数列a,冲的项？若有，有 5.已知数列{an}的通项公式是a.= +2n是偶数.则 几项？若没有，请说明理由. 1 1)证明：a.=9n-+2=3m-13m-2= 9n2-1 ag十 (3n-1)(3m+1) as 答案号 子-1 3m+13n十1 解析由题意，知a,=2=,a 1 16 =8a-1+27-7 a-a.--3a+l-(-)- 即117 a16,故aa ,119 (3m十1)(3m十④>0，数列{a,}是递增数列. 9 a16 _3n-22 6.已知数列{a.}中，an=n2-kn,且数列{a}为递增数列，求 (2)解令- 解因为am+1=(n十1)2-k(n十1)，a.=n2-kn, 则十1二6”解得 6 即 8 所以am+1-an=(n+1)2-k(n十1)-n2+kn=2n十 9m-60, 且仅当=2时，上式或主，故在区间（停》内有数别 即2n十1一k>0恒成立，分离变量得k<2十1 4 故k<3即可，故k的取值范围为（一∞，3）. {a.}中的项，且只有一项，为a2=7 第2课时数列的递推公式及前项和 素养·目标定位 目标素养 知识概览 数列的递推 公式的概念 1.理解数列的几种表示方法，能用函数的观点研 数列递推公式与 究数列，提升数学抽象核心素养 通项公式的关系 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数 中 由数列的递推公 累加法 列的前几项，提升逻辑推理核心素养」 式求通项公式的 3.会应用前n项和公式求通项公式，提升逻辑相 推 方法 累乘法 理与数学运算核心素养。 4.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式，提 数列的前n项和定义 升逻辑推理核心素养 数列的前n项和 通过数列的前n项和 求通项公式： a=5=, lSm-Sm-1,n≥2 6
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 解析 数列 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 ,…的通项公式为an = n n+1 , 0.94= 94 100 = 47 50 ,0.96= 96 100 = 24 25 ,0.98= 98 100 = 49 50 ,0.99= 99 100 ,即 24 25 , 49 50 , 99 100 都在数列 n n+1 中,故有3个. 5.已知数列{an}的通项公式是an= 2-n,n是奇数, 1 1+2-n,n是偶数, 则 a3+ 1 a4 = . 答案 19 16 解析 由题意,知a3=2-3= 1 8 ,a4= 1 1+2-4= 16 17 , 即 1 a4 = 17 16 ,故a3+ 1 a4 = 19 16 . 6.已知数列{an}中,an=n2-kn,且数列{an}为递增数列,求 实数k的取值范围. 解 因为an+1=(n+1)2-k(n+1),an=n2-kn, 所以an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+ 1-k. 由于数列{an}为递增数列,故应有an+1-an>0, 即2n+1-k>0恒成立,分离变量得k0,∴数列{an}是递增数列. (2)解 令 1 3 7 6 , n< 8 3 , 即 7 6 <n< 8 3 ,即当 且仅当n=2时,上式成立,故在区间 1 3 , 2 3 内有数列 {an}中的项,且只有一项,为a2= 4 7 . 第2课时 数列的递推公式及前n 项和 素养·目标定位 目 标 素 养 知 识 概 览 1.理解数列的几种表示方法,能用函数的观点研 究数列,提升数学抽象核心素养. 2.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数 列的前几项,提升逻辑推理核心素养. 3.会应用前n 项和公式求通项公式,提升逻辑推 理与数学运算核心素养. 4.会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式,提 升逻辑推理核心素养. 6
第四章数列 课前·基础认知 1.递推公式 a+1=am十f(n)或at1=g(n)·an,则可以通过累加法或 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 累乘法求得通项公式. 个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式， (1)累加法：当a。=a。-1十f(n)时，常用am=(a。 微思考仅由数列{a.}的递推公式a.=a.-1十2(n≥ aw-1)十(a。-1-a-2)十…十(a2一a1)十a1求通项公式. 2)就能确定这个数列吗？ (2)累乘法：当2=g(n)时，常用a,=· 提示不能.数列的递推公式是由相邻两项或几项的递 an-1 d-1 推关系确定的，如果只有递推公式而无首项或前几项，那么 a=..2·a1求通项公式。 这个数列是不能确定的 Qw-2 3.数列的前n项和 微训练下列数列符合递推公式an=√2a。-1(n≥2) 我们把数列{a}从第1项起到第n项止的各项之和，称 的是() 为数列{a.}的前n项和，记作S。,即S.=a1十a2十…十 A1,2,3,4,… aa.如果数列{an}的前n项和Sm与它的序号n之间的对应 B.1,2,2,22,… 关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 C.2,22,2,… 前n项和公式.显然S1=a1,而S。-1=a1十a2十…十am-i D.0,√2,2,2√2，… (n≥2)，因此an= S1,n=1, 答案B lS。-S。-1n≥2 解析B中从第二项起，后一项是前一项的瓦倍，符合 微挪究若数列{an}的前n项和为S.,a2og十a2ao十 a22:如何用前n项和S。表示？ 递推公式am=√2am-1(n≥2). 2.累加法、累乘法 答案a2ow十a2om十a2o21=S221一S2o1g, 由数列的递推公式求通项公式时，若递推公式为 课堂 重难突破 由递推公式求数列中的项 3a 解因为a1=1,a+1 a。十3 典例剖析 3×13 3× 3a1 =3 1.已知数列{an}中，a1=l,a2=2,amt2=a+1一am,试写 所以a2= +31+3a=3a: a2十33 出aa,a4,as,a6,a7,ag.数列{am}具有怎样的规律？能否求 +3 出该数列中的第2021项？ 3 3× 1 解a1=1,a2=2,a4=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1 5 3a4 3 2,as= 立- a3十3 5+3 a4+3= 7 a2=1,a8=2, 2+3 发现：am+6=am,数列{an}具有周期性，周期T=6. 3313 证明如下：aut2=at1一aa, 故教列{a.}的前5项依次为1，，亏·27 ∴atg=amt2-amt1=(a+1一a.）-ar+1=一au' am+6=-at3=-（-an)=am, 二由递推公式归纳数列的通项公式 数列{an}是周期数列，且T=6, 典例剖析 即a2021=a38x6+5=a5=-2. 2.已知数列{a}的第1项是2，以后的各项由递推公式 规律总结」递推公式反映的是相邻两项或多项之间的 an-1 (n=2,3,4,…)给出，写出该数列的前5项，并 关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项；而 aa一1一am- 递推公式则要已知首项或前几项，才可依次求得其他的 归纳出数列{a.}的通项公式. 项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性 解根据首项和递推公式进行求值，a1=2,a2 2 -2 2 学以致用 12-2,a=1=(-2= 3 1已知在数列{a,}中，a1=l,at1 a,十3求该数列的 3a 2 前5项
第四章 数列 课前·基础认知 1.递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 递推公式 . 微思考 仅由数列{an}的递推公式an=an-1+2(n≥ 2)就能确定这个数列吗? 提示 不能.数列的递推公式是由相邻两项或几项的递 推关系确定的,如果只有递推公式而无首项或前几项,那么 这个数列是不能确定的. 微训练 下列数列符合递推公式an= 2an-1(n≥2) 的是( ). A.1,2,3,4,… B.1,2,2,22,… C.2,2,2,2,… D.0,2,2,22,… 答案 B 解析 B中从第二项起,后一项是前一项的 2倍,符合 递推公式an= 2an-1(n≥2). 2.累加法、累乘法 由数列 的 递 推 公 式 求 通 项 公 式 时,若 递 推 公 式 为 an+1=an+f(n)或an+1=g(n)·an,则可以通过累加法或 累乘法求得通项公式. (1)累加法:当an =an-1 +f(n)时,常用an =(anan-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 求通项公式. (2)累 乘 法:当 an an-1 =g(n)时,常 用 an = an an-1 · an-1 an-2 ·…· a2 a1 ·a1 求通项公式. 3.数列的前n项和 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称 为数列{an}的 前n 项和 ,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+ an.如果数列{an}的前n项和Sn 与它的序号n 之间的对应 关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的 前n项和公式.显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1 (n≥2),因此an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2 . 微探究 若数列{an}的前n项和为Sn,a2019+a2020+ a2021 如何用前n项和Sn 表示? 答案 a2019+a2020+a2021=S2021-S2018. 课堂·重难突破 一 由递推公式求数列中的项 典例剖析 1.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1-an,试写 出a3,a4,a5,a6,a7,a8.数列{an}具有怎样的规律? 能否求 出该数列中的第2021项? 解a1=1,a2=2,a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1, a7=1,a8=2,…. 发现:an+6=an,数列{an}具有周期性,周期T=6. 证明如下:∵an+2=an+1-an, ∴an+3=an+2-an+1=(an+1-an)-an+1=-an, ∴an+6=-an+3=-(-an)=an, ∴数列{an}是周期数列,且T=6, 即a2021=a336×6+5=a5=-2. 递推公式反映的是相邻两项或多项之间的 关系.对于通项公式,已知n 的值即可得到相应的项;而 递推公式则要已知首项或前几项,才可依次求得其他的 项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律性. 学以致用 1.已知在数列{an}中,a1=1,an+1= 3an an+3 ,求该数列的 前5项. 解 因为a1=1,an+1= 3an an+3 , 所以a2= 3a1 a1+3 = 3×1 1+3 = 3 4 ,a3= 3a2 a2+3 = 3× 3 4 3 4 +3 = 3 5 , a4= 3a3 a3+3 = 3× 3 5 3 5 +3 = 1 2 ,a5= 3a4 a4+3 = 3× 1 2 1 2 +3 = 3 7 . 故数列{an}的前5项依次为1, 3 4 , 3 5 , 1 2 , 3 7 . 二 由递推公式归纳数列的通项公式 典例剖析 2.已知数列{an}的第1项是2,以后的各项由递推公式 an= an-1 1-an-1 (n=2,3,4,…)给出,写出该数列的前5项,并 归纳出数列{an}的通项公式. 解 根 据 首 项 和 递 推 公 式 进 行 求 值,a1 =2,a2 = 2 1-2 =-2,a3= -2 1-(-2)=- 2 3 , a4= - 2 3 1- - 2 3 =- 2 5 ,a5= - 2 5 1- - 2 5 =- 2 7 . 7
数学 选择性必修第二册 配人教A版 即戴列的前5项你次为2.-2，-号-号-号 当n=1时，a1=1也符合上式， 电可写为导子号号号即分子是-2分母 长载列a的通项公式是a,=日 依次加2，且都是奇数.故a.=一2m-3 2 规律总结」形知a1一a,=fm)的递推公式，可以利 用a1十(a2-a1)十(a3-a2)十十(am-am-1)=an(n≥ 规律总结由递推公式归纳数列的通项公式，首先根 2)求通项公式：形如2中=f(n)的递推公式，可以利用 据递推公式写出数列的前儿项，然后由前儿项分析其特 点、规律，归纳总结出数列的一个通项公式. a1.…=a,n≥2)求通项公式以上方 al a2 a-1 法分别叫累加法和累乘法 学以致用 学以致用 2.已知数列{a.}满足a1=1,a.=a-十nm-D（n之 11 2),写出该数列的前5项，并归纳出它的一个通项公式 3.已知数列{an}满足a1=一1，a+1=am十 nn十1 解a1=1a:=a+议=1+号-是 1 求数列{a.}的通项公式. 11 1 =3+1=5,a 5 a:=a:十3X2=+6=3,a=a,+4X3-3十 解a+一a.=元一n十 11 17 17 ,1_9 12=4a5=a+5X4=4+20=5 ∴a2-a=i-2 11 故数列{a}的前5项依次为1，立，345 3579 aa-a2=2-3' 11 由于1-2x1号-2x2,号-28,7 a4一a3=3-4 12 23 2×4-19_2×5-1 455 aw一au-1= 1-1(m≥2)· n-l n 故教列{an}的一个通项公式为am= 2n-1 则(a2-a1)十(ag-a2)十(a4-a3)十…十(an n 三由累加法或累乘法求通项公式 a-=(1-）+(侵-）++（是） 即an-a1=1-(n≥2)， 典例剖析 3.(1)对于任意数列{an},等式a1十(a2-a1)十 得an=a1十1- -1+11 1 n (ag一a2)十…十(am一am-1)=a.(n≥2)都成立.试根据这一 当n=1时，a1=一1也符合上式. 结论，完成问题：已知数列{an}满足a1=1,am+1一a.=2,求 故数列{a}的通项公式为a.=一元 1 其通项公式： (2)若数列(a,}中各项均不为零，且有a1·2· 四an与Sm的关系的应用 =a.(m≥2)成立.试根据这一结论，完成问题： as-1 典例剖析 已知数列{a.}满足a,=1,a="二(m≥2)，求其通项 4.(1)已知数列{an}的前n项和S.=2m2-3m,则数列 an-1 {am}的通项公式为an= 公式. (2)已知数列{am}的前n项和S.=3”十1，则数列{a.} 解(1)当n≥2时，am=a1十(a2-a1)十(a8- 的通项公式为a,= a2)+…十(a。-aa-1)=1十2+2十…十2=2(n-1)+1= (-0个2 答案1)4n-5（2)m-1. 2.3-1,n≥2 2-1. 当n=1时，a1=1也符合上式， 解析(1)a1=S1=2-3=-1. 故数列{an}的通项公式是am=2-1. 当n≥2时，an=Sn-S.-1=(2n2-3n)-[2(n- 1)2-3(n-1)]=4n-5,由于a1也适合上式，故a。= （2)当n≥2时a=a,2；…品=1x号× al a2 aa-1 4n-5. (2)当n=1时，a1=S1=3十1=4： 当n≥2时，am=S。-S4-1=3"+1-3-1-1=2·3-1
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 即数列{an}的前5项依次为2,-2,- 2 3 ,- 2 5 ,- 2 7 . 也可写为 -2 -1 , -2 1 , -2 3 , -2 5 , -2 7 ,即分子都是-2,分母 依次加2,且都是奇数.故an=- 2 2n-3 . 由递推公式归纳数列的通项公式,首先根 据递推公式写出数列的前几项,然后由前几项分析其特 点、规律,归纳总结出数列的一个通项公式. 学以致用 2.已知数列{an}满足a1=1,an=an-1+ 1 n(n-1) (n≥ 2),写出该数列的前5项,并归纳出它的一个通项公式. 解a1=1,a2=a1+ 1 2×1 =1+ 1 2 = 3 2 , a3=a2+ 1 3×2 = 3 2 + 1 6 = 5 3 ,a4=a3+ 1 4×3 = 5 3 + 1 12 = 7 4 ,a5=a4+ 1 5×4 = 7 4 + 1 20 = 9 5 . 故数列{an}的前5项依次为1, 3 2 , 5 3 , 7 4 , 9 5 . 由于1= 2×1-1 1 , 3 2 = 2×2-1 2 , 5 3 = 2×3-1 3 , 7 4 = 2×4-1 4 , 9 5 = 2×5-1 5 , 故数列{an}的一个通项公式为an= 2n-1 n . 三 由累加法或累乘法求通项公式 典例剖析 3.(1)对 于 任 意 数 列 {an},等 式a1 + (a2 -a1)+ (a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2)都成立.试根据这一 结论,完成问题:已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=2,求 其通项公式; (2)若 数 列 {an}中 各 项 均 不 为 零,且 有 a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· an an-1 =an(n≥2)成立.试根据这一结论,完成问题: 已知数列{an}满足a1=1, an an-1 = n-1 n (n≥2),求其通项 公式. 解 (1)当 n≥2 时,an =a1 + (a2 -a1)+ (a3 - a2)+…+(an-an-1)=1+2+2+…+2 (n-1)个2 =2(n-1)+1= 2n-1. 当n=1时,a1=1也符合上式, 故数列{an}的通项公式是an=2n-1. (2)当n≥2时,an=a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· an an-1 =1× 1 2 × 2 3 ×…× n-1 n = 1 n . 当n=1时,a1=1也符合上式, 故数列{an}的通项公式是an= 1 n . 形如an+1-an=f(n)的递推公式,可以利 用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥ 2)求通项公式;形如 an+1 an =f(n)的递推公式,可以利用 a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· an an-1 =an(n≥2)求通项公式.以上方 法分别叫累加法和累乘法. 学以致用 3.已知数列{an}满足a1=-1,an+1=an+ 1 n - 1 n+1 , 求数列{an}的通项公式. 解 ∵an+1-an= 1 n - 1 n+1 , ∴a2-a1= 1 1 - 1 2 , a3-a2= 1 2 - 1 3 , a4-a3= 1 3 - 1 4 , …… an-an-1= 1 n-1 - 1 n (n≥2), 则(a2-a1)+ (a3 -a2)+ (a4 -a3)+ … + (an - an-1)= 1- 1 2 + 1 2 - 1 3 +…+ 1 n-1 - 1 n , 即an-a1=1- 1 n (n≥2), 得an=a1+1- 1 n =-1+1- 1 n =- 1 n (n≥2), 当n=1时,a1=-1也符合上式. 故数列{an}的通项公式为an=- 1 n . 四 an 与Sn 的关系的应用 典例剖析 4.(1)已知数列{an}的前n 项和Sn=2n2-3n,则数列 {an}的通项公式为an= . (2)已知数列{an}的前n 项和Sn=3n +1,则数列{an} 的通项公式为an= . 答案 (1)4n-5 (2) 4,n=1, 2·3n-1,n≥2 解析 (1)a1=S1=2-3=-1. 当n≥2 时,an =Sn -Sn-1 = (2n2 -3n)- [2(n- 1)2-3(n-1)]=4n-5,由 于a1 也 适 合 上 式,故an = 4n-5. (2)当n=1时,a1=S1=3+1=4; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n +1-3n-1-1=2·3n-1. 8
第四章数列 显然当n=1时，a1不满足上式. 4,n=1, 学以致用 则aa= 2·3"-1,n≥2. 4.若数列{a.}的前n项和S.=3m2-21十1，则数列 方法归纳」已知数列{a.}的前n项和公式S。,求通项 {an}的通项公式为an= 公式的步骤如下： 答案 2,n=1, 6n-5,n≥2 (1)当n=1时，a1=S1. 解析当n=1时，a1=S1=3X12-2X1十1=2； (2)当n≥2时，根据S.写出S.-1,化简an=S. 当n≥2时，an=S。-S.-1=3n2-2n十1-[3(n- Sw- (3)如果a1也满足当n≥2时，a.=S.-S.-1的通项 1)2-2(n-1)十1]=6m-5,显然当n=1时，a1不满足上 2,n=1, 公式，那么数列{am}的通项公式为an=Sn一S-1;如果a 式.故数列{an}的通项公式为a.= 6m-5,n≥2. 不满足当n≥2时，a.=S。一S-1的通项公式，那么数列 {a.}的通项公式要分段表示为a.= S1n=1 lS。-S-1,n≥2. 随堂训练 1.已知数列{an}满足aam-1=aw-1十（一1）”(n≥2)，且a1= 式为am=3-n, 1,则2等于( 4在数列，}中：若=11=一1，则 A c是 答案1 答案B 1 解析由a1=1,得a2a1=a1十（-1)2，则a2=2: 解析由题意得x1=1,工=一之工=1，即数列{z}为 周期数列，且周期为2，故x22=x1=1. 由a3a2=a:十(-1)°，得a=2:同理得a=3,a= 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且S.=2"十n一1，则数列 2 {a。}的通项公式为 3,故 3 3,故选B 答案an=1十2- a31 解析当n=1时，S1=21+1一1=2， 2.已知数列{an}满足a1=2,a.=am-1十2(n≥2)，则ag等 故a1=2; 于(. 当n≥2时，an=S.-S-1=1十2"-1，且a1=2符合 A.5 B.6 C.7 D.8 上式，故数列{a.}的通项公式为an=l十2-1 答案B 6.已知数列{a.中，a1=2at=a.十ln(1+）,求a 解析根据题意可知a2=a1十2=4，a3=a2十2=6. 3.已知数列{an}满足a1=2,a+1一an十1=0，则此数列的通 解由题意得a1-a,=ln"十出 项公式a.等于()， A.n2+1 B.n+1 则a.-a1=lnn马n≥2. C.1-n D.3-n 答案D 0.-wc-I 解析a+1一an=一l, 当n≥2时，an=a1十(a2-a1)十(aa-a2)十…十 ax-ai=In T. (an-aa-l） =2+(-1)+(-1)十+(-1)=2+(-1)× 当≥2时a,-a=h(片号…） 共（如-1）个 (n-1)=3-n. lnn,即an=2十lnn(n≥2)：当n=1时，a1=2十ln1=2, 当n=1时，a1=2也符合上式.故数列{an}的通项公 符合上式，故am=2十lnn, 9
第四章 数列 显然当n=1时,a1 不满足上式. 则an= 4,n=1, 2·3n-1,n≥2. 已知数列{an}的前n 项和公式Sn,求通项 公式的步骤如下: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出Sn-1,化简an=SnSn-1. (3)如果a1 也满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通项 公式,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1;如果a1 不满足当n≥2时,an=Sn-Sn-1 的通项公式,那么数列 {an}的通项公式要分段表示为an= S1,n=1, Sn-Sn-1,n≥2. 学以致用 4.若数列{an}的前n 项和Sn =3n2-2n+1,则数列 {an}的通项公式为an= . 答案 2,n=1, 6n-5,n≥2 解析 当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当n≥2时,an =Sn -Sn-1 =3n2 -2n+1-[3(n- 1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当n=1时,a1 不满足上 式.故数列{an}的通项公式为an= 2,n=1, 6n-5,n≥2. 随堂训练 1.已知数列{an}满足anan-1=an-1+(-1)n(n≥2),且a1= 1,则 a5 a3 等于( ). A. 16 15 B. 4 3 C. 8 15 D. 8 3 答案 B 解析 由a1=1,得a2a1=a1+(-1)2,则a2=2; 由a3a2=a2+(-1)3,得a3= 1 2 ;同理得a4=3,a5= 2 3 ,故 a5 a3 = 2 3 1 2 = 4 3 ,故选B. 2.已知数列{an}满足a1=2,an=an-1+2(n≥2),则a3 等 于( ). A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 解析 根据题意可知a2=a1+2=4,a3=a2+2=6. 3.已知数列{an}满足a1=2,an+1-an+1=0,则此数列的通 项公式an 等于( ). A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案 D 解析 ∵an+1-an=-1, ∴当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+ (an-an-1) =2+ (-1)+(-1)+…+(-1) 共(n-1)个 =2+ (-1)× (n-1)=3-n. 当n=1时,a1=2也符合上式.故数列{an}的通项公 式为an=3-n. 4.在数列{xn}中,若x1=1,xn+1= 1 xn+1 -1,则x2021= . 答案 1 解析 由题意得x1=1,x2=- 1 2 ,x3=1,即数列{xn}为 周期数列,且周期为2,故x2021=x1=1. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n +n-1,则数列 {an}的通项公式为 . 答案 an=1+2n-1 解析 当n=1时,S1=21+1-1=2, 故a1=2; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1+2n-1,且a1=2符合 上式,故数列{an}的通项公式为an=1+2n-1. 6.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln 1+ 1 n ,求an. 解 由题意得an+1-an=ln n+1 n , 则an-an-1=ln n n-1 (n≥2), an-1-an-2=ln n-1 n-2 , …… a2-a1=ln 2 1 . 当n≥2时,an -a1=ln n n-1 · n-1 n-2 ·…· 2 1 = lnn,即an=2+lnn(n≥2);当n=1时,a1=2+ln1=2, 符合上式,故an=2+lnn. 9
数学 选择性必修第二册 配人教A版 课后·训练提升 基础·巩固 答案A 解析由a1=1,a。·a+1=-2可得， 1.已知数列{an}满足a1=-4a.=1 1 (n>1),则a4 a2=-2,a=1,a:=-2,故数列{am}是以2为周期 as-1 的周期数列，即a8=一2. 等于(). A.5 4 B.4 c-1 D.5 7.已知数列{a.}满足a+1·(1-a.)=1,且a1=-2则 a22n等于( 答案C 1 A.3 解析由题意可知a2=1一 =5,a3=1 B-7 c号 D1345 2 a2 5a4 答案B 1 解析：am+1·(1一an)=l,且a1=一 21 2.已知数列{an}的前n项和Sn=一n2,则(). A.a,=2n+1 B.an=-2n+1 a=3,a=一2数列a,是周期数列. 2 1 a2= C.am=-2n-1 D.a.=2n-1 1 答案B 且周期T=3.2020=673X3+1a2am=a1=-2: 解析由am=S。-Sm-1(n≥2)，得am=1-21,当n=1 8.数列{am}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列， 时，S1=a1=一1，符合上式 是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例 故am=-2n十1. 子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每 3.已知数列{an}对任意的p,q∈N“满足apta=a,十ag,且 项等于其前相邻两项之和.即a+2=at1十a若该数列 a2=-6,那么ao等于( ). {a.}的前n项和为S,,则下列结论正确的是(). A.-165 B.-33 A.S2o9=a2o2m十2 B.S2o19=a2o21十2 C.-30 D.-21 C.S2019=a2000-1 D.S2os=a2021-1 答案C 答案D 解析由已知得a2=a1十a1=2a1=一6，即a1=-3.故 解析因为a+2=a+1十a。,所以a。=am+2一a+1,所以 a10=2a5=2(a2十a3)=2a2十2(a1十a2)=4a2十2a1=4X Sm=a1十a2十ag十十am=(aa-a2)十(a4-aa)十 (-6)十2×(-3)=-30. (a5一a4)十十(amt2-aat1)=ar+2-a2=am+2-1,所以 4.在数列{an}中，a-1=ma.十1(n>1),且a2=3,aa=5,则 S2o19=a2021-1,故选D. 实数m等于(). 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形： A号 R号 C.2 D.3 答案A 按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a。与所搭三角形 解析由题意得a2=ma3十1，即3=5m十1， 的个数n之间的关系式可以是」 故m=号 答案am=2n十1 解析a1=3,a2=3十2=5，a3=3+2+2=7,a4=3+2+ 5.已知数列{an}满足a1=1,a+1= |am十3，n为奇数， 2a.十1，n为偶数， 则as 2十2=9，…，故am=2n十1. 10.若数列{a.}满足(m-1)an=(n十1)a.-1(n≥2)，且a1= 等于( A.16 B.25 C.28 D.33 1,则2.= a100= an-1 答案C 解析当n=1时，a2=1十3=4； 答案”+1 n-1 5050 当n=2时，a3=2X4十1=9： 解析由(n一1)am=(n十1)a-1, 当n=3时，a4=9十3=12： a=i-（n≥2)，则a1mw=a1·a... 得a。=n十1 当n=4时，a5=2×12+1=25: al az 当n=5时，a6=25十3=28. 6.在数列{an}中，如果a1=1,a。·am+1=一2，那么ag等 2=1x2××…×9=50 于(). 1l.已知数列{an}满足a1=1,at1=pan十qm,其中p,9均 为正数，且a2=3,a4=13. A.-2 R-司 C.1 D.2 (1)求p,q的值： 10
数 学 选择性必修 第二册 配人教 A版 课后·训练提升 基础 巩固 1.已知数列{an}满足a1=- 1 4 ,an=1- 1 an-1 (n>1),则a4 等于( ). A. 4 5 B. 1 4 C.- 1 4 D. 1 5 答案 C 解析 由题意可知a2=1- 1 a1 =5,a3=1- 1 a2 = 4 5 ,a4= 1- 1 a3 =- 1 4 . 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2,则( ). A.an=2n+1 B.an=-2n+1 C.an=-2n-1 D.an=2n-1 答案 B 解析 由an=Sn-Sn-1(n≥2),得an=1-2n,当n=1 时,S1=a1=-1,符合上式. 故an=-2n+1. 3.已知数列{an}对任意的p,q∈N* 满足ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么a10 等于( ). A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 答案 C 解析 由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,即a1=-3.故 a10=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2)=4a2+2a1=4× (-6)+2×(-3)=-30. 4.在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则 实数m 等于( ). A. 2 5 B. 2 3 C.2 D.3 答案 A 解析 由题意得a2=ma3+1,即3=5m+1, 故m= 2 5 . 5.已知数列{an}满足a1=1,an+1= an+3,n为奇数, 2an+1,n为偶数, 则a6 等于( ). A.16 B.25 C.28 D.33 答案 C 解析 当n=1时,a2=1+3=4; 当n=2时,a3=2×4+1=9; 当n=3时,a4=9+3=12; 当n=4时,a5=2×12+1=25; 当n=5时,a6=25+3=28. 6.在数列{an}中,如果a1=1,an·an+1=-2,那么a8 等 于( ). A.-2 B.- 1 2 C.1 D.2 答案 A 解析 由a1=1,an·an+1=-2可得, a2=-2,a3=1,a4=-2,故数列{an}是以2为周期 的周期数列,即a8=-2. 7.已知数列{an}满足an+1·(1-an)=1,且a1=- 1 2 ,则 a2020 等于( ). A.3 B.- 1 2 C. 2 3 D. 1345 2 答案 B 解析 ∵an+1·(1-an)=1,且a1=- 1 2 , ∴a2= 2 3 ,a3=3,a4=- 1 2 ,∴数列{an}是周期数列, 且周期T=3.∵2020=673×3+1,∴a2020=a1=- 1 2 . 8.数列{an}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…称为斐波那契数列, 是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例 子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每 项等于其前相邻两项之和.即an+2=an+1+an.若该数列 {an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是( ). A.S2019=a2020+2 B.S2019=a2021+2 C.S2019=a2020-1 D.S2019=a2021-1 答案 D 解析 因为an+2=an+1+an,所以an=an+2-an+1,所以 Sn=a1 +a2 +a3 +…+an =(a3 -a2)+(a4 -a3)+ (a5-a4)+…+(an+2-an+1)=an+2-a2=an+2-1,所以 S2019=a2021-1,故选D. 9.用火柴棒按下图的方法搭三角形: 按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数an 与所搭三角形 的个数n之间的关系式可以是 . 答案 an=2n+1 解析 a1=3,a2=3+2=5,a3=3+2+2=7,a4=3+2+ 2+2=9,…,故an=2n+1. 10.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),且a1= 1,则 an an-1 = ;a100= . 答案 n+1 n-1 5050 解析 由(n-1)an=(n+1)an-1, 得 an an-1 = n+1 n-1 (n≥2),则a100=a1· a2 a1 · a3 a2 ·…· a100 a99 =1× 3 1 × 4 2 ×…× 101 99 =5050. 11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+qn,其中p,q 均 为正数,且a2=3,a4=13. (1)求p,q的值; 10